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正确率40.0%已知$$2 \mathrm{s i n} ( \pi-\alpha)=3 \mathrm{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right)，$$则$$\operatorname{s i n}^{2} \alpha-\frac{1} {2} \mathrm{s i n} 2 \alpha-\mathrm{c o s}^{2} \alpha=$$（）
B
A.$$\frac{5} {1 3}$$
B.$$- \frac1 {1 3}$$
C.$$- \frac{5} {1 3}$$
D.$$\frac{1} {1 3}$$
2、['同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=2$$，则$$\operatorname{s i n} \Bigl( \alpha-\frac{\pi} {4} \Bigr) \operatorname{s i n} \Bigl( \alpha+\frac{\pi} {4} \Bigr)=$$（）
C
A.$${{−}}$$$$\frac{3} {1 0}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$\frac{3} {1 0}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
3、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \left( \frac{\theta} {2}-\frac{\pi} {6} \right)=2$$，则$$\operatorname{c o s} \left( \theta-\frac{\pi} {3} \right)=$$（）
B
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$- \frac{4} {5}$$
4、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=3，$$则$$2 \operatorname{s i n}^{2} \alpha+4 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha-9 \operatorname{c o s}^{2} \alpha$$的值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{2 1} {1 0}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {3 0}$$
5、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点与原点重合，始边与$${{x}}$$轴的正半轴重合，点$$P ( 1， 2 )$$在角$${{α}}$$的终边上，则$${\frac{\mathrm{s i n} \alpha-\mathrm{c o s} \alpha} {3 \mathrm{s i n} \alpha-2 \mathrm{c o s} \alpha}}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$${{4}}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
6、['利用诱导公式化简'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ( \pi+\alpha)=\frac{1} {2}，$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \， \alpha-\operatorname{c o s} \， \alpha} {2 \operatorname{s i n} \， \alpha+\operatorname{c o s} \， \alpha}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {4}$$
7、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} \alpha=2，$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}$$等于（）
D
A.$${{−}{3}}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{3}}$$
8、['同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )=\sqrt{2} ( \operatorname{s i n} \alpha+2 \operatorname{c o s} \alpha)，$$则$$\operatorname{s i n} 2 \alpha=~ ($$）
C
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$- \frac{3} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
9、['点到直线的距离'， '直线的点斜式方程'， '直线和圆相切'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$过点$$( \ -3， \ 0 )$$且倾斜角为$${{α}}$$，若$${{l}}$$与圆$$x^{2} ~+~ ( y-2 )^{\rho^{2}}=4$$相切，则$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=$$（）
C
A.$${{1}}$$
B.$$- \frac{1 1 9} {1 6 9}$$
C.$${{1}}$$或$$- \frac{1 1 9} {1 6 9}$$
D.$${{−}{1}}$$或$$- \frac{1 1 9} {1 6 9}$$
10、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边上一点$$P (-3， 4 )$$，则$$\frac{\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{s i n} \alpha} {\operatorname{c o s} \alpha-\operatorname{s i n} \alpha}$$等于（）
A
A.$$- \frac{1} {7}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$$\frac{1} {7}$$
1. 首先利用三角函数的诱导公式化简方程：
$$2 \sin (\pi - \alpha) = 2 \sin \alpha$$
$$3 \sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = 3 \cos \alpha$$
因此方程化为：
$$2 \sin \alpha = 3 \cos \alpha \Rightarrow \tan \alpha = \frac{3}{2}$$
将所求表达式化简：
$$\sin^2 \alpha - \frac{1}{2} \sin 2\alpha - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha - \cos^2 \alpha$$
$$= (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) - \sin \alpha \cos \alpha$$
$$= -\cos 2\alpha - \frac{1}{2} \sin 2\alpha$$
利用 $$\tan \alpha = \frac{3}{2}$$，设直角三角形邻边为 2，对边为 3，斜边为 $$\sqrt{13}$$，则：
$$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}, \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$$
代入得：
$$-\left( \frac{4}{13} - \frac{9}{13} \right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{13} = \frac{5}{13} - \frac{6}{13} = -\frac{1}{13}$$
答案为 $$\boxed{B}$$。
2. 已知 $$\tan \alpha = 2$$，利用积化和差公式：
$$\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} [\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) - \cos 2\alpha ]$$
$$= \frac{1}{2} [0 - \cos 2\alpha] = -\frac{1}{2} \cos 2\alpha$$
由 $$\tan \alpha = 2$$，得 $$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$$
因此原式 $$= -\frac{1}{2} \times \left( -\frac{3}{5} \right) = \frac{3}{10}$$
答案为 $$\boxed{C}$$。
3. 设 $$\beta = \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{6}$$，则 $$\tan \beta = 2$$，且 $$\theta = 2\beta + \frac{\pi}{3}$$。
所求为 $$\cos \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right) = \cos 2\beta$$。
由 $$\tan \beta = 2$$，得 $$\cos 2\beta = \frac{1 - \tan^2 \beta}{1 + \tan^2 \beta} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 已知 $$\tan \alpha = 3$$，将表达式除以 $$\cos^2 \alpha$$：
$$2 \sin^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha - 9 \cos^2 \alpha = 2 \tan^2 \alpha + 4 \tan \alpha - 9$$
$$= 2 \times 9 + 4 \times 3 - 9 = 18 + 12 - 9 = 21$$
再除以分母 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$（即 $$\cos^2 \alpha ( \tan^2 \alpha + 1 ) = \cos^2 \alpha \times 10$$），因此原式 $$= \frac{21}{10}$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
5. 点 $$P(1, 2)$$ 在终边上，因此 $$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$。
代入表达式：
$$\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{3 \sin \alpha - 2 \cos \alpha} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}}}{3 \times \frac{2}{\sqrt{5}} - 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{4}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{4}$$
答案为 $$\boxed{D}$$。
6. $$\tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha = \frac{1}{2}$$。
将表达式分子分母同除以 $$\cos \alpha$$：
$$\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{2 \sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha - 1}{2 \tan \alpha + 1} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{2 \times \frac{1}{2} + 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$$
答案为 $$\boxed{D}$$。
7. 将表达式分子分母同除以 $$\cos \alpha$$：
$$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$$
答案为 $$\boxed{D}$$。
8. 展开左边：
$$\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)$$
因此方程化为：
$$\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) = \sqrt{2} (\sin \alpha + 2 \cos \alpha)$$
化简得：
$$\sin \alpha + \cos \alpha = 2 \sin \alpha + 4 \cos \alpha \Rightarrow -\sin \alpha - 3 \cos \alpha = 0 \Rightarrow \tan \alpha = -3$$
利用 $$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$$
答案为 $$\boxed{C}$$。
9. 圆的方程为 $$x^2 + (y - 2)^2 = 4$$，圆心 $$(0, 2)$$，半径 $$r = 2$$。
直线 $$l$$ 过点 $$(-3, 0)$$，斜率为 $$\tan \alpha$$，方程为 $$y = \tan \alpha (x + 3)$$。
由相切条件，距离公式：
$$\frac{| \tan \alpha \times 0 - 1 \times 2 + 3 \tan \alpha |}{\sqrt{\tan^2 \alpha + 1}} = 2$$
化简得：
$$|3 \tan \alpha - 2| = 2 \sqrt{\tan^2 \alpha + 1}$$
平方后解得 $$\tan \alpha = 0$$ 或 $$\tan \alpha = \frac{12}{5}$$。
对应 $$\cos 2\alpha = 1$$ 或 $$\cos 2\alpha = \frac{1 - \left( \frac{12}{5} \right)^2}{1 + \left( \frac{12}{5} \right)^2} = -\frac{119}{169}$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
10. 点 $$P(-3, 4)$$ 在终边上，因此 $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$。
代入表达式：
$$\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}{-\frac{3}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{- \frac{7}{5}} = -\frac{1}{7}$$
答案为 $$\boxed{A}$$。