1、['三角恒等变换综合应用'， '积化和差公式与和差化积公式']正确率60.0%$$4 \mathrm{s i n} 4 0^{\circ}-\mathrm{t a n} 4 0^{\circ}$$的值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '正弦（型）函数的周期性'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=( \frac{1} {\operatorname{s i n}^{4} x}-1 ) ( \frac{1} {\operatorname{c o s}^{4} x}-1 )$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的最小正周期为（）
C
A.$${{2}{π}}$$
B.$${{π}}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
3、['三角恒等变换综合应用'， '正弦曲线的对称中心']正确率40.0%下列选项中为函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} \Bigl( 2 x-\frac{\pi} {6} \Bigr) \operatorname{s i n} 2 x-\frac1 4$$的一个对称中心为
A
A.$$( \frac{7 \pi} {2 4}， 0 )$$
B.$$( \frac{\pi} {3}， 0 )$$
C.$$( \frac{\pi} {3}，-\frac{1} {4} )$$
D.$$( \frac{\pi} {1 2}， 0 )$$
4、['三角恒等变换综合应用'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，已知$$\operatorname{t a n} \frac{A+B} {2}=\operatorname{s i n} C，$$给出以下四个论断
$$\oplus\， \frac{\operatorname{t a n} A} {\operatorname{t a n} B}=1$$
$${②}$$$$0 < \operatorname{s i n} A+\operatorname{s i n} B \leqslant\sqrt2$$
$$\odot\， \operatorname{s i n}^{2} A+\operatorname{c o s}^{2} B=1$$
$$\oplus\， \operatorname{c o s}^{2} A+\operatorname{c o s}^{2} B=\operatorname{s i n}^{2} C$$
其中正确的是（）
B
A.$${①{③}}$$
B.$${②{④}}$$
C.$${①{④}}$$
D.$${②{③}}$$
5、['三角恒等变换综合应用'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性']正确率60.0%函数$$f^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=2 \sqrt{2} \big| \operatorname{s i n} x \cdot\operatorname{c o s} x \big| \cdot\frac{\operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {4} )} {\operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x}$$是（）
B
A.周期为$$\frac{\pi} {2}$$的偶函数
B.周期为$${{π}}$$的非奇非偶函数
C.周期为$${{π}}$$的偶函数
D.周期为$$\frac{\pi} {2}$$的非奇非偶函数
6、['三角恒等变换综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的单调性']正确率40.0%已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的三个内角；$$A， ~ B， ~ C$$所对边分别为；$$a， ~ b， ~ c$$，若$$b^{2}+c^{2} < a^{2}$$，且$$\operatorname{c o s} 2 A-3 \operatorname{s i n} A+1=0，$$则$$\operatorname{s i n} ( C-A )+\frac{\sqrt{3}} {2} \operatorname{c o s} ( 2 A-B )$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ 0， \frac{\sqrt{3}} {4} \Biggr]$$
B.$$\left(-\frac{1} {2}，-\frac{\sqrt{3}} {4} \right]$$
C.$$\left(-\frac1 2，-\frac{\sqrt{3}} 4 \right)$$
D.$$\left(-\frac{2} {3}，-\frac{1} {2} \right)$$
7、['三角恒等变换综合应用'， '正弦（型）函数的单调性']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n} \left( \begin{matrix} {\omega} \\ {x+\varphi} \\ \end{matrix} \right)+\operatorname{c o s} \left( \begin{matrix} {\omega} \\ {x+\varphi} \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {\omega> 0} \\ {0 < \varphi< \pi} \\ \end{matrix} \right)$$满足$$f \ ( \ -\textbf{x} ) \ =-f \ ( \textbf{x} )$$，且直线$${{y}{=}{\sqrt {2}}}$$与函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为$$\frac{\pi} {2}，$$则（）
D
A.$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( 0， \; \; \frac{\pi} {4} )$$上单调递减
B.$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( \frac{\pi} {8}， \ \frac{3 \pi} {8} )$$上单调递减
C.$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( 0， \; \; \frac{\pi} {4} )$$上单调递增
D.$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( \frac{\pi} {8}， \ \frac{3 \pi} {8} )$$上单调递增
8、['三角函数与其他知识的综合应用'， '三角恒等变换综合应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=3+2 \operatorname{s i n} \omega x \operatorname{c o s} \omega x-2 \sqrt{3} c o s^{2} \omega x ( \omega> 0 )$$在区间$$( \pi， 2 \pi)$$内没有极值点，则$${{ω}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( {\frac{5} {1 2}}， {\frac{1 1} {2 4}} ]$$
B.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
C.$$( 0， \frac{5} {2 4} ] \cup[ \frac{5} {1 2}， \frac{1 1} {2 4} ]$$
D.$$( 0， \frac{5} {1 2} ] \cup[ \frac{1 1} {2 4}， \frac{1} {2} )$$
9、['三角恒等变换综合应用']正确率60.0%若$$S=\frac{1+2 \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x} {\operatorname{c o s}^{2} x-\operatorname{s i n}^{2} x}$$，则$${{S}}$$不能是（）
B
A.$$\frac{1+\operatorname{t a n} x} {1-\operatorname{t a n} x}$$
B.$$\frac{1-\operatorname{t a n} x} {1+\operatorname{t a n} x}$$
C.$$\frac{1+\operatorname{s i n} 2 x} {\operatorname{c o s} 2 x}$$
D.$$\frac{\operatorname{c o s} 2 x} {1-\operatorname{s i n} 2 x}$$
10、['三角恒等变换综合应用'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '数量积的运算律'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '向量的夹角'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{c o s} \alpha， \operatorname{s i n} \alpha)， \; \; \overrightarrow{b}=( \operatorname{c o s} \beta， \operatorname{s i n} \beta)，$$则$${{(}{)}}$$
C
A.$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$
B.$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$
C.$$( \vec{a}+\vec{b} ) \perp( \vec{a}-\vec{b} )$$
D.$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为$${{α}{+}{β}}$$
1. 解析：计算 $$4 \sin 40^\circ - \tan 40^\circ$$。
首先化简表达式：
$$4 \sin 40^\circ - \tan 40^\circ = 4 \sin 40^\circ - \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$$
通分后：
$$= \frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ - \sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$$
提取公因式：
$$= \frac{\sin 40^\circ (4 \cos 40^\circ - 1)}{\cos 40^\circ}$$
利用二倍角公式 $$2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ = \sin 80^\circ$$：
$$= \frac{2 \sin 80^\circ - \sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$$
进一步化简：
$$= \frac{\sin 80^\circ + (\sin 80^\circ - \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ}$$
利用和差化积：
$$\sin 80^\circ - \sin 40^\circ = 2 \cos 60^\circ \sin 20^\circ = \sin 20^\circ$$
所以：
$$= \frac{\sin 80^\circ + \sin 20^\circ}{\cos 40^\circ}$$
再次和差化积：
$$\sin 80^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin 50^\circ \cos 30^\circ = \sqrt{3} \sin 50^\circ$$
因此：
$$= \frac{\sqrt{3} \sin 50^\circ}{\cos 40^\circ}$$
注意到 $$\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$$，所以：
$$= \sqrt{3}$$
答案为 D。
2. 解析：求函数 $$f(x) = \left(\frac{1}{\sin^4 x} - 1\right)\left(\frac{1}{\cos^4 x} - 1\right)$$ 的最小正周期。
化简函数：
$$f(x) = \left(\frac{1 - \sin^4 x}{\sin^4 x}\right)\left(\frac{1 - \cos^4 x}{\cos^4 x}\right)$$
利用 $$1 - a^4 = (1 - a^2)(1 + a^2)$$：
$$= \left(\frac{(1 - \sin^2 x)(1 + \sin^2 x)}{\sin^4 x}\right)\left(\frac{(1 - \cos^2 x)(1 + \cos^2 x)}{\cos^4 x}\right)$$
代入 $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$：
$$= \left(\frac{\cos^2 x (1 + \sin^2 x)}{\sin^4 x}\right)\left(\frac{\sin^2 x (1 + \cos^2 x)}{\cos^4 x}\right)$$
化简后：
$$= \frac{(1 + \sin^2 x)(1 + \cos^2 x)}{\sin^2 x \cos^2 x}$$
展开分子：
$$1 + \sin^2 x + \cos^2 x + \sin^2 x \cos^2 x = 2 + \sin^2 x \cos^2 x$$
所以：
$$f(x) = \frac{2 + \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{2}{\sin^2 x \cos^2 x} + 1$$
利用 $$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$$：
$$= \frac{8}{\sin^2 2x} + 1$$
显然周期由 $$\sin^2 2x$$ 决定，其周期为 $$\frac{\pi}{2}$$，但 $$\frac{1}{\sin^2 2x}$$ 的周期仍为 $$\frac{\pi}{2}$$。因此最小正周期为 $$\frac{\pi}{2}$$，答案为 C。
3. 解析：求函数 $$f(x) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) \sin 2x - \frac{1}{4}$$ 的一个对称中心。
利用积化和差公式：
$$\cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) \sin 2x = \frac{1}{2} \left[\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]$$
所以：
$$f(x) = \frac{1}{2} \sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right)$$
对称中心满足 $$4x - \frac{\pi}{6} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{24}$$。当 $$k=1$$ 时，$$x = \frac{7\pi}{24}$$，此时 $$f(x) = 0$$。因此答案为 A。
4. 解析：在 $$\triangle ABC$$ 中，已知 $$\tan \frac{A+B}{2} = \sin C$$，判断四个论断的正确性。
首先化简条件：
$$\tan \frac{A+B}{2} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cot \frac{C}{2} = \sin C$$
利用 $$\cot \frac{C}{2} = \frac{1 + \cos C}{\sin C}$$：
$$\frac{1 + \cos C}{\sin C} = \sin C$$
整理得：
$$1 + \cos C = \sin^2 C = 1 - \cos^2 C$$
即：
$$\cos C + \cos^2 C = 0$$
解得 $$\cos C = 0$$ 或 $$\cos C = -1$$。由于 $$C \in (0, \pi)$$，所以 $$\cos C = 0$$，即 $$C = \frac{\pi}{2}$$。
现在判断论断：
1. $$\frac{\tan A}{\tan B} = 1$$：在直角三角形中，$$\tan A = \frac{a}{b}$$，$$\tan B = \frac{b}{a}$$，所以 $$\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{a^2}{b^2}$$，不一定为 1，错误。
2. $$\sin A + \sin B \leq \sqrt{2}$$：因为 $$\sin A + \sin B = \sin A + \cos A \leq \sqrt{2}$$，正确。
3. $$\sin^2 A + \cos^2 B = 1$$：因为 $$\cos B = \sin A$$，所以 $$\sin^2 A + \sin^2 A = 2 \sin^2 A$$，不一定为 1，错误。
4. $$\cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 C$$：因为 $$\cos B = \sin A$$ 且 $$\sin C = 1$$，所以 $$\cos^2 A + \sin^2 A = 1 = \sin^2 C$$，正确。
因此答案为 B。
5. 解析：分析函数 $$f(x) = 2 \sqrt{2} \frac{|\sin x \cos x| \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin x - \cos x}$$ 的性质。
化简分母：
$$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$
所以：
$$f(x) = 2 \sqrt{2} \frac{|\sin x \cos x| \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} = 2 |\sin x \cos x|$$
即：
$$f(x) = |\sin 2x|$$
显然周期为 $$\frac{\pi}{2}$$，且为偶函数。因此答案为 A。
6. 解析：在 $$\triangle ABC$$ 中，已知 $$b^2 + c^2 < a^2$$ 且 $$\cos 2A - 3 \sin A + 1 = 0$$，求 $$\sin(C - A) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(2A - B)$$ 的取值范围。
由余弦定理 $$b^2 + c^2 < a^2$$ 得 $$\cos A < 0$$，即 $$A \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$。
解方程 $$\cos 2A - 3 \sin A + 1 = 0$$：
利用 $$\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A$$：
$$1 - 2 \sin^2 A - 3 \sin A + 1 = 0$$
整理得：
$$2 \sin^2 A + 3 \sin A - 2 = 0$$
解得 $$\sin A = \frac{1}{2}$$（舍去负值），所以 $$A = \frac{5\pi}{6}$$。
因为 $$A + B + C = \pi$$，所以 $$B + C = \frac{\pi}{6}$$。
表达式化简：
$$\sin(C - A) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(2A - B) = \sin\left(C - \frac{5\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{5\pi}{3} - B\right)$$
利用 $$C = \frac{\pi}{6} - B$$：
$$= \sin\left(-\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} - B\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{5\pi}{3} - B\right)$$
$$= \sin\left(-\frac{2\pi}{3} - B\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{5\pi}{3} - B\right)$$
化简后：
$$= -\sin\left(\frac{2\pi}{3} + B\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{5\pi}{3} - B\right)$$
进一步计算可得取值范围为 $$\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$$，答案为 C。
7. 解析：函数 $$f(x) = \sin(\omega x + \varphi) + \cos(\omega x + \varphi)$$ 满足 $$f(-x) = -f(x)$$，且与 $$y = \sqrt{2}$$ 的交点横坐标差为 $$\frac{\pi}{2}$$，判断单调性。
首先化简函数：
$$f(x) = \sqrt{2} \sin\left(\omega x + \varphi + \frac{\pi}{4}\right)$$
由奇函数性质：
$$f(-x) = -f(x) \Rightarrow \varphi + \frac{\pi}{4} = k\pi$$
取 $$\varphi = -\frac{\pi}{4}$$（满足 $$0 < \varphi < \pi$$）。
与 $$y = \sqrt{2}$$ 的交点：
$$\sqrt{2} \sin(\omega x) = \sqrt{2} \Rightarrow \sin(\omega x) = 1$$
所以 $$\omega x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，相邻交点差为 $$\frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi}{2}$$，故 $$\omega = 2$$。
因此：
$$f(x) = \sqrt{2} \sin(2x)$$
在 $$\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$$ 上单调递增，在 $$\left(\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right)$$ 上单调递减。答案为 B。
8. 解析：函数 $$f(x) = 3 + 2 \sin \omega x \cos \omega x - 2 \sqrt{3} \cos^2 \omega x$$ 在 $$(\pi, 2\pi)$$ 内无极值点，求 $$\omega$$ 的取值范围。
化简函数：
$$f(x) = 3 + \sin 2\omega x - \sqrt{3} (1 + \cos 2\omega x)$$
$$= 3 - \sqrt{3} + \sin 2\omega x - \sqrt{3} \cos 2\omega x$$
$$= 3 - \sqrt{3} + 2 \sin\left(2\omega x - \frac{\pi}{3}\right)$$
极值点满足 $$2\omega x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$x = \frac{5\pi}{12\omega} + \frac{k\pi}{2\omega}$$。
要求在 $$(\pi, 2\pi)$$ 内无极值点，需：
$$\frac{5\pi}{12\omega} + \frac{k\pi}{2\omega} \notin (\pi, 2\pi)$$
解得 $$\omega \in \left(0, \frac{5}{12}\right] \cup \left[\frac{11}{24}, \frac{1}{2}\right)$$，答案为 D。
9. 解析：$$S = \frac{1 + 2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x}$$，判断哪个选项不是 $$S$$ 的表达式。
化简分子和分母：
$$S = \frac{1 + \sin 2x}{\cos 2x}$$
选项 C 直接匹配，选项 D 为 $$\frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x}$$，不等于 $$S$$。选项 A 和 B 通过 $$\tan x$$ 的表达式可以化为 $$S$$ 的形式。因此答案为 D。
10. 解析：已知向量 $$\vec{a} = (\cos \alpha, \sin \alpha)$$，$$\vec{b} = (\cos \beta, \sin \beta)$$，判断选项。
计算点积：
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta)$$
只有当 $$\alpha - \beta = \frac{\pi}{2}$$ 时 $$\vec{a} \perp \vec{b}$$，一般情况不成立，A 错误。
平行需 $$\cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta$$，即 $$\sin(\alpha - \beta) = 0$$，一般情况不成立，B 错误。
计算 $$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 1 - 1 = 0$$，所以垂直，C 正确。
夹角为 $$\cos^{-1}(\cos(\alpha - \beta)) = |\alpha - \beta|$$，不一定是 $$\alpha + \beta$$，D 错误。
因此答案为 C。
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