齐次式的求值问题-三角函数的拓展与综合知识点课后进阶单选题自测题答案-湖南省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1、['两角和与差的正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%若$${\frac{3 \mathrm{s i n} \alpha+2 \mathrm{c o s} \alpha} {2 \mathrm{s i n} \alpha-\mathrm{c o s} \alpha}}={\frac{8} {3}}，$$则$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=$$（）

A.$${{−}{3}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{2}}$$

2、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']

正确率40.0%已知$$\alpha\in[ 0， 2 \pi)， \， \， \， \mathrm{c o s} \alpha+3 \mathrm{s i n} \alpha=\sqrt{1 0}，$$则$$\mathrm{t a n} \alpha=$$（）

A.$${{−}{3}}$$

B.$${{3}}$$或$$\frac{1} {3}$$

C.$${{3}}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

3、['两角和与差的正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=-3，$$则$${\frac{2 \mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{c o s} \alpha} {\mathrm{c o s} \alpha-\mathrm{s i n} \alpha}}=$$（）

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{−}{5}}$$

4、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \left( \frac{\theta} {2}-\frac{\pi} {6} \right)=2$$，则$$\operatorname{c o s} \left( \theta-\frac{\pi} {3} \right)=$$（）

A.$$\frac{3} {5}$$

B.$$- \frac{3} {5}$$

C.$$\frac{4} {5}$$

D.$$- \frac{4} {5}$$

5、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']

正确率40.0%已知角$${{α}}$$的终边在直线$$y=-3 x$$上，则$$\operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha$$等于（）

A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$

B.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$

C.$$\frac{3} {1 0}$$

D.$$- \frac{3} {1 0}$$

6、['齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=-\frac{1} {3}，$$则$$\frac{1} {2 \operatorname{s i n} \alpha\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{c o s}^{2} \alpha}=\ ($$）

A.$$\frac{1 0} {3}$$

B.$${{3}}$$

C.$$- \frac{1 0} {3}$$

D.$${{−}{3}}$$

7、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '平面向量共线的坐标表示'， '齐次式的求值问题']

正确率40.0%设向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \， \cos x， \， \， \，-\sin x \， ) \， \， \，， \， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( \， \，-\cos\， \， ( \， \frac{\pi} {2}-x ) \， \， \，， \， \， \， \cos x \， ) \， \， \，，$$且$$\overrightarrow{a}=t \overrightarrow{b}， \; t \neq0，$$则$$\operatorname{s i n} 2 x$$值（）

A.$${{1}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{±}{1}}$$

D.$${{0}}$$

8、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=1，$$则$$\frac{1+2 \operatorname{c o s}^{2} \alpha} {\operatorname{s i n} 2 \alpha}=\Atvarnothing$$）

A.$${{2}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{−}{3}}$$

9、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点在坐标原点$${{O}}$$，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，将$${{α}}$$的终边按顺时针方向旋转$$\frac{\pi} {4}$$后经过点$$( 3， 4 )$$，则$$\operatorname{s i n} \， 2 \alpha=$$（）

A.$$- \frac{1 2} {2 5}$$

B.$$- \frac{7} {2 5}$$

C.$$\frac{7} {2 5}$$

D.$$\frac{2 4} {2 5}$$

10、['齐次式的求值问题']

正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \theta=2$$，则$$\frac{3 \operatorname{s i n} \theta+4 \operatorname{c o s} \theta} {\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta}=\alpha$$）

A.$$- \frac{1} {3}$$

B.$$\frac{3} {1 0}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$$\frac{1 0} {3}$$

1. 解析：首先解方程 $$\frac{3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha}{2 \sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{8}{3}$$。交叉相乘得 $$9 \sin \alpha + 6 \cos \alpha = 16 \sin \alpha - 8 \cos \alpha$$，整理得 $$7 \sin \alpha = 14 \cos \alpha$$，即 $$\tan \alpha = 2$$。利用 $$\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha}$$，代入得 $$\frac{2 + 1}{1 - 2} = -3$$，故选 A。

2. 解析：设 $$r = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$，将方程 $$\cos \alpha + 3 \sin \alpha = \sqrt{10}$$ 化为 $$\frac{1}{\sqrt{10}} \cos \alpha + \frac{3}{\sqrt{10}} \sin \alpha = 1$$。令 $$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{10}}$$，则 $$\sin \phi = \frac{3}{\sqrt{10}}$$，方程变为 $$\cos (\alpha - \phi) = 1$$，故 $$\alpha = \phi$$。因此 $$\tan \alpha = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = 3$$，选 C。

3. 解析：已知 $$\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = -3$$，利用公式 $$\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$$，解得 $$\tan \alpha = 2$$。将 $$\frac{2 \sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$$ 除以 $$\cos \alpha$$ 得 $$\frac{2 \tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} = \frac{5}{-1} = -5$$，故选 D。

4. 解析：设 $$\theta/2 - \pi/6 = \beta$$，则 $$\tan \beta = 2$$。利用 $$\cos 2\beta = \frac{1 - \tan^2 \beta}{1 + \tan^2 \beta} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$$。因为 $$\theta - \pi/3 = 2\beta$$，所以 $$\cos \left( \theta - \pi/3 \right) = -\frac{3}{5}$$，选 B。

5. 解析：角 $$\alpha$$ 的终边在 $$y = -3x$$ 上，设 $$x = 1$$，则 $$y = -3$$，$$r = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$。因此 $$\sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$$，故 $$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{3}{10}$$，选 D。

6. 解析：将分母 $$2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$$ 除以 $$\cos^2 \alpha$$ 得 $$2 \tan \alpha + 1$$。已知 $$\tan \alpha = -\frac{1}{3}$$，代入得 $$2 \times (-\frac{1}{3}) + 1 = \frac{1}{3}$$。因此原式等于 $$\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$$，选 B。

7. 解析：向量 $$\overrightarrow{a} = (\cos x, -\sin x)$$，$$\overrightarrow{b} = (-\sin x, \cos x)$$（因为 $$\cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x$$）。由 $$\overrightarrow{a} = t \overrightarrow{b}$$ 得 $$\cos x = -t \sin x$$ 和 $$-\sin x = t \cos x$$。两式相除得 $$\tan x = -1$$，故 $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x = -1$$，选 B。

8. 解析：已知 $$\tan \alpha = 1$$，即 $$\alpha = \frac{\pi}{4}$$。代入 $$\frac{1 + 2 \cos^2 \alpha}{\sin 2\alpha}$$，得 $$\frac{1 + 2 \times \frac{1}{2}}{1} = 2$$，选 A。

9. 解析：旋转后的角为 $$\alpha - \frac{\pi}{4}$$，其终边过点 $$(3, 4)$$，故 $$\tan \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$$。利用 $$\tan \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha}$$，解得 $$\tan \alpha = -7$$。因此 $$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = -\frac{14}{50} = -\frac{7}{25}$$，选 B。

10. 解析：将 $$\frac{3 \sin \theta + 4 \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta}$$ 除以 $$\cos \theta$$ 得 $$\frac{3 \tan \theta + 4}{\tan \theta + 1}$$。已知 $$\tan \theta = 2$$，代入得 $$\frac{10}{3}$$，选 D。

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