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正确率40.0%已知$$2 \mathrm{s i n} ( \pi-\alpha)=3 \mathrm{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right)，$$则$$\operatorname{s i n}^{2} \alpha-\frac{1} {2} \mathrm{s i n} 2 \alpha-\mathrm{c o s}^{2} \alpha=$$（）
B
A.$$\frac{5} {1 3}$$
B.$$- \frac1 {1 3}$$
C.$$- \frac{5} {1 3}$$
D.$$\frac{1} {1 3}$$
2、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%若$$\mathrm{t a n} \， \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=-3$$，则$${{c}{o}{s}{2}{α}{=}}$$（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$${{−}}$$$$\frac{3} {5}$$
3、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{α}}$$满足$${{t}{a}{n}{α}{=}{2}{，}}$$则$${{c}{o}{s}^{2}{α}{+}{{s}{i}{n}}{2}{α}}$$等于（）
B
A.$${\sqrt {5}{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {5}{+}{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$${\frac{\operatorname{s i n} \alpha+2 \operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}}=4，$$则$${{s}{i}{n}^{2}{α}{+}{{s}{i}{n}}{α}{{c}{o}{s}}{α}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{6} {5}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$${{3}}$$
5、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\mathrm{t a n} \alpha=\frac{1} {2}$$，则$${\frac{\mathrm{c o s} \alpha+\mathrm{s i n} \alpha} {\mathrm{c o s} \alpha-\mathrm{s i n} \alpha}}={\it(}$$$${）}$$．
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
6、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$${{s}{i}{n}{θ}{=}{2}{{c}{o}{s}}{θ}{，}}$$则$${{s}{i}{n}^{2}{θ}{+}{{s}{i}{n}}{θ}{{c}{o}{s}}{θ}{−}{2}{{c}{o}{s}^{2}}{θ}}$$等于$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac{4} {3}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
7、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$${{t}{a}{n}{α}{=}{3}{，}}$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}=$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['同角三角函数的商数关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$$\frac{\operatorname{s i n} \! \alpha-\mathrm{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \! \alpha+\mathrm{c o s} \alpha}=\frac{1} {6} \mathrm{t a n} \alpha，$$则$${{t}{a}{n}{α}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$或$$- \frac{1} {3}$$
C.$${{2}}$$或$${{3}}$$
D.$${{−}{2}}$$或$${{−}{3}}$$
9、['利用诱导公式求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%若$${{t}{a}{n}{α}{=}{2}}$$，则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}-2 \alpha)=$$（）
D
A.$$\frac{2} {5}$$或$$- \frac{2} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$或$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
10、['同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']正确率40.0%若$${{t}{a}{n}{θ}{=}{−}{2}}$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} \theta( 1+\operatorname{s i n} 2 \theta)} {\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta}=$$（）
C
A.$$- \frac{6} {5}$$
B.$$- \frac{2} {5}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\frac{6} {5}$$
1. 首先化简给定等式：$$2 \sin (\pi - \alpha) = 3 \sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right)$$。利用三角恒等式，$$\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha$$，$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha$$，因此等式化为：$$2 \sin \alpha = 3 \cos \alpha$$。两边平方得：$$4 \sin^2 \alpha = 9 \cos^2 \alpha$$。利用 $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$，解得 $$\sin^2 \alpha = \frac{9}{13}$$，$$\cos^2 \alpha = \frac{4}{13}$$。代入所求表达式：$$\sin^2 \alpha - \frac{1}{2} \sin 2\alpha - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha - \cos^2 \alpha$$。由 $$2 \sin \alpha = 3 \cos \alpha$$，得 $$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{6}{13}$$。最终结果为：$$\frac{9}{13} - \frac{6}{13} - \frac{4}{13} = -\frac{1}{13}$$。答案为 B。
2. 已知 $$\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = -3$$。利用和角公式：$$\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} = -3$$，解得 $$\tan \alpha = 2$$。再利用 $$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$$。答案为 D。
3. 已知 $$\tan \alpha = 2$$，则 $$\cos^2 \alpha + \sin 2\alpha = \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha$$。利用 $$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$，代入得：$$\frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$$。答案为 B。
4. 已知 $$\frac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = 4$$，化简得：$$\sin \alpha + 2 \cos \alpha = 4 \sin \alpha - 4 \cos \alpha$$，即 $$6 \cos \alpha = 3 \sin \alpha$$，因此 $$\tan \alpha = 2$$。所求表达式为 $$\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha$$，利用 $$\tan \alpha = 2$$，得 $$\sin^2 \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5}$$，和为 $$\frac{6}{5}$$。答案为 A。
5. 已知 $$\tan \alpha = \frac{1}{2}$$，则 $$\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 3$$。答案为 C。
6. 已知 $$\sin \theta = 2 \cos \theta$$，则 $$\tan \theta = 2$$。所求表达式为 $$\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 2 \cos^2 \theta$$，利用 $$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$，代入得：$$\frac{4}{5} + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$$。答案为 D。
7. 已知 $$\tan \alpha = 3$$，则 $$\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$$。答案为 B。
8. 给定 $$\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{1}{6} \tan \alpha$$，设 $$\tan \alpha = t$$，则 $$\frac{t - 1}{t + 1} = \frac{t}{6}$$。化简得 $$6t - 6 = t^2 + t$$，即 $$t^2 - 5t + 6 = 0$$，解得 $$t = 2$$ 或 $$t = 3$$。答案为 C。
9. 已知 $$\tan \alpha = 2$$，则 $$\cos \left( \frac{\pi}{2} - 2\alpha \right) = \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$。利用 $$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$，得 $$\sin 2\alpha = \frac{4}{5}$$。答案为 D。
10. 已知 $$\tan \theta = -2$$，则 $$\frac{\sin \theta (1 + \sin 2\theta)}{\sin \theta + \cos \theta} = \frac{\sin \theta (\sin \theta + \cos \theta)^2}{\sin \theta + \cos \theta} = \sin \theta (\sin \theta + \cos \theta)$$。利用 $$\sin \theta = \frac{-2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$，代入得：$$\frac{-2}{\sqrt{5}} \left( \frac{-2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{-2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{-1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}$$。答案为 C。