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正确率40.0%已知命题$$p \colon~ \exists x \in[ 0， ~ \frac{\pi} {2} ]，$$$$\operatorname{c o s} 2 x+\operatorname{c o s} x-m=0$$为真命题，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[-\frac{9} {8}， ~-1 ]$$
B.$$[-\frac{9} {8}， \ 2 ]$$
C.$$[-1， ~ 2 ]$$
D.$$[-\frac{9} {8}， ~+\infty)$$
2、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '三角函数的图象变换'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%将函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} x$$的图象向右平移$$\frac{2} {3} \pi$$个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的$$\frac{1} {\omega} ( \omega> 0 )$$，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，若$${{g}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} \Big]$$上的值域为$$\left[-\frac{1} {2}， 1 \right]$$，则$${{ω}}$$范围为（）
A
A.$$[ \frac{4} {3}， \frac{8} {3} ]$$
B.$$[ \frac{1} {3}， \frac{5} {3} ]$$
C.$$[ \frac{4} {3}，+\infty)$$
D.$$[ \frac{8} {3}，+\infty)$$
3、['余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%$${{[}{{2}{0}{1}{9}}{⋅}}$$沈阳东北育才学校月考]已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} \left( 2 x-\frac{\pi} {3} \right)$$在$$[ a， \frac{\pi} {2} ]$$上有最小值$${{−}{1}{，}}$$则$${{a}}$$的最大值为（）
B
A.$$- \frac{\pi} {2}$$
B.$$- \frac{\pi} {3}$$
C.$$- \frac{\pi} {4}$$
D.$$- \frac{\pi} {6}$$
4、['向量坐标与向量的数量积'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知$$A ( 8， \ 0 )， \ B ( 0， \ 6 )，$$点$${{P}}$$是圆$${{C}}$$：$$x^{2}+y^{2}=4$$上的一个动点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}$$的最大值为（）
C
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{2}{0}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{2}{8}}$$
5、['导数与极值'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( \omega x+\frac{\pi} {3} )$$，且$${{ω}}$$是函数$$y=e^{x}-e^{2} x$$的极值点，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的一条对称轴是（）
B
A.$$x=-\frac{\pi} {3}$$
B.$$x=\frac{\pi} {3}$$
C.$$x=\frac{\pi} {6}$$
D.$$x=\frac{2 \pi} {3}$$
6、['三角恒等变换综合应用'， '由集合的关系确定参数'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%函数$$f \left( x \right) ~=\sin2 x+2 \sqrt{3} \cos^{2} x-\sqrt{3}， ~ g \ \left( x \right) ~=m \cos~ \left( 2 x-\frac{\pi} {6} \right) ~-2 m+3 ~ ( m > 0 )$$，若对任意$$x_{1} \in[ 0， \ \frac\pi4 ]$$，存在$$x_{2} \in[ 0， \ \frac\pi4 ]$$，使得$$g ~ ( \boldsymbol{x}_{1} ) ~=f ~ ( \boldsymbol{x}_{2} )$$成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 1， ~ ~ \frac{4} {3} )$$
B.$$( \; \frac{2} {3}， \; \; 1 ]$$
C.$$[ \frac{2} {3}， ~ 1 ]$$
D.$$[ 1， ~ \frac{4} {3} ]$$
7、['三角函数与二次函数的综合应用'， '同角三角函数的平方关系'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\operatorname{c o s}^{2} x+\operatorname{s i n} x$$在区间$$[-\frac{\pi} {4}， \ \frac{pi} {4} ]$$上的最小值是（）
D
A.$$\frac{\sqrt2-1} {2}$$
B.$$- \frac{1+\sqrt2} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$$\frac{1-\sqrt{2}} {2}$$
8、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n}^{2} 2 x-1$$，则（$${）}$$．
B
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$$\frac{\pi} {4}，$$最大值为$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$$\frac{\pi} {2}，$$最大值为$${{0}}$$
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$$\frac{\pi} {2}，$$最大值为$$\frac{1} {2}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$$\frac{\pi} {4}，$$最大值为$$- \frac{1} {2}$$
9、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '三角函数的图象变换'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%将函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n} x$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度后得到函数$$y=g \emph{\left( x \right)}$$的图象，则函数$$y=f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ g \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$的最大值为（）
A
A.$$\frac{2+\sqrt{2}} {4}$$
B.$$\frac{2-\sqrt{2}} {4}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
10、['函数图象的平移变换'， '辅助角公式'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知点$$(-\frac{\pi} {6}， 0 )$$是$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi)+\operatorname{c o s} ( 2 x+\varphi)， \; \; ( 0 < \varphi< \pi)$$图象的一个对称中心，将函数$$y=f ( x )$$图象向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位，得到函数$$y=g ( x )$$的图象，则函数$$y=g ( x )$$在$$[-\frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {6} ]$$上的最小值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{1}}$$
1. 已知命题 $$p: \exists x \in [0, \frac{\pi}{2}], \cos 2x + \cos x - m = 0$$ 为真命题，求实数 $$m$$ 的取值范围。
设 $$t = \cos x$$，则 $$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$ 时 $$t \in [0, 1]$$。
由 $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$，代入得：$$2t^2 - 1 + t - m = 0$$，即 $$m = 2t^2 + t - 1$$。
令 $$h(t) = 2t^2 + t - 1$$，$$t \in [0, 1]$$。
$$h(t)$$ 为开口向上抛物线，对称轴 $$t = -\frac{1}{4}$$，在 $$[0, 1]$$ 上单调递增。
最小值：$$h(0) = -1$$，最大值：$$h(1) = 2$$。
故 $$m \in [-1, 2]$$，对应选项 C。
2. 函数 $$f(x) = \cos x$$ 向右平移 $$\frac{2\pi}{3}$$ 得 $$\cos(x - \frac{2\pi}{3})$$。
横坐标变为原来的 $$\frac{1}{\omega}$$ 得 $$g(x) = \cos(\omega x - \frac{2\pi}{3})$$。
$$g(x)$$ 在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上值域为 $$[-\frac{1}{2}, 1]$$。
令 $$\theta = \omega x - \frac{2\pi}{3}$$，则当 $$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$ 时，$$\theta \in [-\frac{2\pi}{3}, \frac{\omega\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}]$$。
$$\cos \theta$$ 值域为 $$[-\frac{1}{2}, 1]$$，需 $$\theta$$ 范围覆盖 $$[-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$$（因 $$\cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$$）。
故需 $$\frac{\omega\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} \geq \frac{2\pi}{3}$$，解得 $$\omega \geq \frac{8}{3}$$。
同时需 $$\omega > 0$$，故 $$\omega \in [\frac{8}{3}, +\infty)$$，对应选项 D。
3. 函数 $$f(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$$ 在 $$[a, \frac{\pi}{2}]$$ 上有最小值 $$-1$$，求 $$a$$ 的最大值。
$$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = -1$$ 时，$$2x - \frac{\pi}{3} = \pi + 2k\pi$$，即 $$x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$$。
在 $$[a, \frac{\pi}{2}]$$ 内，$$\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$$，故最小值在端点取得。
令 $$f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} > -1$$，故最小值需为 $$-1$$，即需包含 $$x$$ 使得 $$f(x) = -1$$。
最近点为 $$x = -\frac{\pi}{3}$$（取 $$k = -1$$），故 $$a \leq -\frac{\pi}{3}$$，最大值为 $$-\frac{\pi}{3}$$，对应选项 B。
4. 已知 $$A(8, 0)$$, $$B(0, 6)$$，点 $$P$$ 在圆 $$x^2 + y^2 = 4$$ 上，求 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$$ 最大值。
设 $$P(x, y)$$，则 $$\overrightarrow{PA} = (8 - x, -y)$$，$$\overrightarrow{PB} = (-x, 6 - y)$$。
点积：$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (8 - x)(-x) + (-y)(6 - y) = -8x + x^2 - 6y + y^2$$。
由 $$x^2 + y^2 = 4$$，得 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 4 - 8x - 6y$$。
令 $$z = 8x + 6y$$，由柯西不等式：$$(8x + 6y)^2 \leq (8^2 + 6^2)(x^2 + y^2) = 100 \times 4 = 400$$，故 $$z \in [-20, 20]$$。
则 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 4 - z \in [-16, 24]$$，最大值为 24，对应选项 C。
5. 已知 $$f(x) = \cos(\omega x + \frac{\pi}{3})$$，且 $$\omega$$ 是函数 $$y = e^x - e^2 x$$ 的极值点，求 $$f(x)$$ 的一条对称轴。
求 $$y = e^x - e^2 x$$ 的极值点：导数 $$y' = e^x - e^2$$，令 $$y' = 0$$ 得 $$x = 2$$，故 $$\omega = 2$$。
则 $$f(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{3})$$。
对称轴满足 $$2x + \frac{\pi}{3} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$$。
取 $$k = 1$$ 得 $$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$，对应选项 B。
6. 函数 $$f(x) = \sin 2x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3}$$，$$g(x) = m \cos(2x - \frac{\pi}{6}) - 2m + 3$$（$$m > 0$$），若对任意 $$x_1 \in [0, \frac{\pi}{4}]$$，存在 $$x_2 \in [0, \frac{\pi}{4}]$$ 使得 $$g(x_1) = f(x_2)$$，求 $$m$$ 的取值范围。
化简 $$f(x)$$：$$f(x) = \sin 2x + \sqrt{3}(2\cos^2 x - 1) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{3})$$。
当 $$x \in [0, \frac{\pi}{4}]$$，$$2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$$，$$f(x) \in [1, 2]$$（因 $$\sin$$ 在 $$[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$$ 递增至 1，在 $$[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$$ 递减至 $$\frac{1}{2}$$，但最小值在端点 $$\frac{5\pi}{6}$$ 为 $$\frac{1}{2}$$？实际：$$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$，$$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$$，$$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$$，故值域为 $$[\frac{1}{2}, 1]$$？错误，应为 $$[1, 2]$$ 因系数 2？更正：$$f(x) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{3})$$，$$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) \in [\frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$$，故 $$f(x) \in [\sqrt{3}, 2]$$？但 $$\sqrt{3} \approx 1.732$$，端点 $$x=0$$: $$2 \sin(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \approx 1.732$$，$$x=\frac{\pi}{8}$$: $$2 \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{7\pi}{12}) \approx 2 \times 0.9659 = 1.9318$$，$$x=\frac{\pi}{4}$$: $$2 \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{5\pi}{6}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$$。故值域为 $$[1, 2]$$（最小值在 $$x=\frac{\pi}{4}$$ 为 1，最大值在 $$x=\frac{\pi}{12}$$ 为 2）。
$$g(x) = m \cos(2x - \frac{\pi}{6}) - 2m + 3$$，$$x \in [0, \frac{\pi}{4}]$$ 时 $$2x - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$，$$\cos$$ 值域为 $$[\frac{1}{2}, 1]$$，故 $$g(x) \in [m \cdot \frac{1}{2} - 2m + 3, m \cdot 1 - 2m + 3] = [-\frac{3m}{2} + 3, -m + 3]$$。
条件要求 $$g([0, \frac{\pi}{4}]) \subseteq f([0, \frac{\pi}{4}]) = [1, 2]$$。
即需 $$-\frac{3m}{2} + 3 \geq 1$$ 且 $$-m + 3 \leq 2$$。
解 $$-\frac{3m}{2} + 3 \geq 1$$ 得 $$m \leq \frac{4}{3}$$，$$-m + 3 \leq 2$$ 得 $$m \geq 1$$。
故 $$m \in [1, \frac{4}{3}]$$，对应选项 D。
7. 函数 $$f(x) = \cos^2 x + \sin x$$ 在 $$[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$$ 上的最小值。
$$f(x) = 1 - \sin^2 x + \sin x = -(\sin^2 x - \sin x) + 1 = -(\sin x - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$$。
令 $$t = \sin x$$，则 $$x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$$ 时 $$t \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$$。
$$f(t) = -t^2 + t + 1$$，开口向下，对称轴 $$t = \frac{1}{2}$$。
在区间 $$[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$$，$$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 > \frac{1}{2}$$，故最小值在左端点 $$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$。
$$f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -(\frac{1}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$$。
对应选项 D。
8. 函数 $$f(x) = \sin^2 2x - 1$$，判断周期和最大值。
$$\sin^2 2x$$ 周期为 $$\frac{\pi}{2}$$（因 $$\sin 2x$$ 周期 $$\pi$$，平方后半周期）。
$$\sin^2 2x \in [0, 1]$$，故 $$f(x) \in [-1, 0]$$，最大值为 0。
对应选项 B。
9. 函数 $$f(x) = \sin x$$ 向右平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 得 $$g(x) = \sin(x - \frac{\pi}{4})$$。
求 $$y = f(x) g(x) = \sin x \cdot \sin(x - \frac{\pi}{4})$$ 的最大值。
利用积化和差：$$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$$。
得 $$y = \frac{1}{2} [\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(2x - \frac{\pi}{4})] = \frac{1}{2} [\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos(2x - \frac{\pi}{4})]$$。
$$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) \in [-1, 1]$$，故 $$y \in \frac{1}{2} [\frac{\sqrt{2}}{2} - 1, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1]$$。
最大值为 $$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) = \frac{\sqrt{2} + 2}{4}$$。
对应选项 A。
10. 点 $$(-\frac{\pi}{6}, 0)$$ 是 $$f(x) = \sqrt{3} \sin(2x + \varphi) + \cos(2x + \varphi)$$（$$0 < \varphi < \pi$$）的对称中心，向左平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 得 $$g(x)$$，求 $$g(x)$$ 在 $$[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}]$$ 上的最小值。
化简 $$f(x) = 2 \sin(2x + \varphi + \frac{\pi}{6})$$（因 $$\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$$）。
对称中心满足 $$2x + \varphi + \frac{\pi}{6} = k\pi$$，代入 $$x = -\frac{\pi}{6}$$ 得 $$2(-\frac{\pi}{6}) + \varphi + \frac{\pi}{6} = k\pi$$，即 $$-\frac{\pi}{6} + \varphi = k\pi$$。
由 $$0 < \varphi < \pi$$，取 $$k = 0$$ 得 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。
故 $$f(x) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{3})$$。
向左平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 得 $$g(x) = f(x + \frac{\pi}{4}) = 2 \sin(2(x + \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(2x + \frac{5\pi}{6})$$。
在 $$x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}]$$，$$2x + \frac{5\pi}{6} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}]$$。
$$\sin$$ 在 $$[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$$ 递增至 1，在 $$[\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}]$$ 递减至 $$-\frac{1}{2}$$。
故最小值在 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 时，$$2x + \frac{5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$，$$\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$$，$$g(x) = -1$$。
对应选项 D。