正弦（型）函数的奇偶性-5.4 三角函数的图象与性质知识点教师选题进阶自测题答案-福建省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['正弦（型）函数的奇偶性'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数图象的识别']

正确率60.0%我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图像的特征.观察以下四个图像的特征，则与函数$$f ( x )=\left( x-\frac{1} {x} \right) \operatorname{s i n} \lvert x \rvert(-\pi\leqslant x \leqslant\pi\cdot\; x \neq0 )$$相对应的图像是（）

A.svg异常

B.svg异常

C.svg异常

D.svg异常

2、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率40.0%已知定义在$$(-\infty， ~ 0 ) \cup( 0， ~+\infty)$$上的奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$(-\infty， \ 0 )$$上单调递减，且满足$$f ( 2 )=2，$$则关于$${{x}}$$的不等式$$f ( x ) < \mathrm{~ s i n} \pi x+x$$的解集为（）

A.$$(-\infty， ~-2 ) \cup( 2， ~+\infty)$$

B.$$(-2， ~ 0 ) \cup( 2， ~+\infty)$$

C.$$(-\infty， ~-2 ) \cup( 0， ~ 2 )$$

D.$$(-2， ~ 0 ) \cup( 0， ~ 2 )$$

3、['正弦（型）函数的奇偶性']

正确率60.0%某作图软件的工作原理如下：给定$$\delta\in( 0， 0. 0 1 )，$$对于函数$$y=f ( x )$$，用直线段连接各点$$( n \delta， f ( n \delta) ) (-\frac{5} {\delta} \leq n \leq\frac{5} {\delta}， n \in Z )$$，所得图形作为$$y=f ( x )$$的图象．因而，该软件所绘$$y=\operatorname{s i n} ( 2 0 0 1 x )$$与$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图象完全重合，若其所绘$$y=\operatorname{c o s} ( \omega x )$$与$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图象也重合，则$${{ω}}$$不可能等于$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{9}{9}{9}}$$

B.$${{1}{0}{0}{1}}$$

C.$${{9}{9}{9}}$$

D.$${{1}{0}{1}}$$

4、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-\operatorname{s i n} x， x > 0} \\ {} & {{} \operatorname{s i n} x， x \leq0} \\ \end{aligned} \right.$$，则下列结论正确的是（）

A.$${{f}{（}{x}{）}}$$是奇函数

B.$${{f}{（}{x}{）}}$$是偶函数

C.$${{f}{（}{x}{）}}$$是周期函数

D.$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$[-\frac{\pi} {2}+2 k \pi， \， \， \frac{\pi} {2}+2 k \pi] ( k \in z )$$上为减函数

5、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%函数$$y=\frac{1} {x-1}$$的图象与曲线$$y=2 \operatorname{s i n} \pi x (-\frac{5} {2} \leqslant x \leqslant\frac{9} {2} )$$所有的交点横坐标之和为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{6}}$$

6、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '正弦（型）函数的奇偶性']

正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{c o s} \ \left( \begin{matrix} {x+\varphi} \\ \end{matrix} \right) \ \ \left( \begin{matrix} {0 \leq\varphi\leq\pi} \\ \end{matrix} \right)$$的定义域为$${{R}}$$，若$$f \ ( \ -\textbf{x} ) \ =-f \ ( \textbf{x} )$$，则$${{φ}{=}{（}}$$）

A.$${{0}}$$

B.$$\frac{\pi} {4}$$

C.$$\frac{\pi} {2}$$

D.$${{π}}$$

7、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} 2 x$$的图像向左平移$$\varphi( \varphi> 0 )$$个单位长度得到的图像对应的函数为偶函数，则$${{φ}}$$的最小值是

A.$$\frac{\pi} {1 2}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$

8、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴']

正确率60.0%对函数$$f ( x )=3 \sqrt{3} \operatorname{s i n} \frac{x} {3}+3 \operatorname{c o s} \frac{x} {3}$$给出下列命题：
$\text{[math]}$ 的图象向右平移$$\frac{\pi} {2}$$个单位长度后所得的函数是非奇非偶函数；
$\text{[math]}$ 的图象关于点$$( \pi， 0 )$$中心对称；
$$\odot f ( x )$$的图象关于直线$$x=-2 0 1 9 \pi$$对称；
$\text{[math]}$ 在$$[-\pi， \frac{\pi} {2} ]$$上单调递增．
其中真命题的个数是（）

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

9、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x \!+\! \varphi) ( | \varphi| \! < \! \frac{\pi} {2} )$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位后得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，且$${{g}{(}{x}{)}}$$是$${{R}}$$上的奇函数，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} \Big]$$上的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

10、['函数奇、偶性的证明'， '正弦（型）函数的奇偶性']

正确率60.0%函数$$f ( x )=x \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}-x )$$（）

A.是奇函数

B.是非奇非偶函数

C.是偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

1. 解析：函数$$f(x)=\left(x-\frac{1}{x}\right)\sin|x|$$在区间$$[-\pi, \pi]$$（$$x \neq 0$$）的性质分析：

- 奇偶性：$$f(-x)=\left(-x+\frac{1}{x}\right)\sin|x|=-f(x)$$，为奇函数，图像关于原点对称。 - 零点：$$x=\pm1$$和$$x=\pm\pi$$（$$\sin|x|=0$$）。 - 极限：当$$x \to 0^+$$时，$$f(x) \to -\infty$$；当$$x \to 0^-$$时，$$f(x) \to +\infty$$。结合选项特征，正确答案为B。

2. 解析：奇函数$$f(x)$$在$$(-\infty, 0)$$单调递减，则在$$(0, +\infty)$$也单调递减。由$$f(2)=2$$得$$f(-2)=-2$$。

不等式$$f(x) < \sin(\pi x) + x$$分情况讨论： - 当$$x > 0$$时，$$\sin(\pi x)=0$$（$$x \in \mathbb{Z}$$），故$$f(x) < x$$。由单调性，解为$$0 < x < 2$$。 - 当$$x < 0$$时，$$\sin(\pi x)=0$$，故$$f(x) < x$$。由单调性，解为$$x < -2$$。综上，解集为$$(-\infty, -2) \cup (0, 2)$$，选C。

3. 解析：软件绘图时，$$\cos(\omega x)$$与$$\cos x$$重合的条件是$$\omega n\delta \equiv n\delta + 2k\pi$$对所有整数$$n$$成立。

即$$\omega \equiv 1 \pmod{\frac{2\pi}{\delta}}$$。由于$$\delta \in (0, 0.01)$$，$$\frac{2\pi}{\delta} > 628$$。选项中： - A（1999）和B（1001）满足$$\omega \equiv 1 \pmod{2\pi/\delta}$$。 - D（101）不满足。故选D。

4. 解析：函数$$f(x)$$分段定义：

- 奇偶性：$$f(-x)=\sin(-x)=-\sin x=-f(x)$$（$$x \leq 0$$）；$$f(-x)=-\sin(-x)=\sin x=-f(x)$$（$$x > 0$$），为奇函数，排除B。 - 周期性：$$\sin x$$周期为$$2\pi$$，但$$f(x)$$在$$x=0$$处不连续，非周期函数，排除C。 - 单调性：在$$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$$上$$\sin x$$递增，$$-\sin x$$递减，但整体不单调，排除D。故选A。

5. 解析：求$$y=\frac{1}{x-1}$$与$$y=2\sin(\pi x)$$的交点横坐标之和。

- 对称性：两函数关于$$x=1$$对称，交点成对出现，每对和为2。 - 在$$[-\frac{5}{2}, \frac{9}{2}]$$内，共3对交点（$$x=0.5, 1.5, 2.5$$等），总和为$$3 \times 2=6$$。故选D。

6. 解析：函数$$f(x)=\cos(x+\varphi)$$为奇函数，需满足$$f(-x)=-f(x)$$。

展开得$$\cos(-x+\varphi)=-\cos(x+\varphi)$$，即$$\cos(x-\varphi)=-\cos(x+\varphi)$$。利用余弦差公式，得$$2\sin x \sin \varphi=0$$对所有$$x$$成立，故$$\sin \varphi=0$$。在$$[0, \pi]$$内，$$\varphi=0$$或$$\pi$$。但$$\varphi=0$$时$$f(x)=\cos x$$非奇函数，故$$\varphi=\pi$$，选D。

7. 解析：函数$$f(x)=\sin 2x$$左移$$\varphi$$后为$$\sin(2x+2\varphi)$$，需为偶函数。

即$$\sin(2x+2\varphi)=\sin(-2x+2\varphi)$$，解得$$2\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$$。最小正值$$\varphi=\frac{\pi}{4}$$，选C。

8. 解析：函数$$f(x)=6\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)$$的性质分析：

- 平移后：$$f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=6\sin\left(\frac{x}{3}\right)$$为奇函数，命题①错误。 - 对称中心：$$f(\pi)=0$$，命题②正确。 - 对称轴：$$x=-2019\pi$$时，$$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}=-\frac{2019\pi}{3}+\frac{\pi}{6}$$非极值点，命题③错误。 - 单调性：在$$[-\pi, \frac{\pi}{2}]$$上，$$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$，正弦函数递增，命题④正确。综上，真命题数为2，选C。

9. 解析：函数$$f(x)=\sin(2x+\varphi)$$左移$$\frac{\pi}{6}$$得$$g(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}+\varphi)$$。

由$$g(x)$$为奇函数，$$\frac{\pi}{3}+\varphi=k\pi$$，结合$$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$$得$$\varphi=-\frac{\pi}{3}$$。 $$f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$在$$[0, \frac{\pi}{2}]$$的最小值为$$f(0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$，选A。

10. 解析：函数$$f(x)=x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=x\sin x$$。

- $$f(-x)=-x\sin(-x)=x\sin x=f(x)$$，为偶函数。故选C。

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