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正确率60.0%同时满足$$f ( x+\pi)=f ( x )$$与$$f \left( \frac{\pi} {4}+x \right)=f \left( \frac{\pi} {4}-x \right)$$的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式可以是（）
D
A.$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x$$
B.$$f ( x )=\mathrm{t a n} x$$
C.$$f ( x )=\operatorname{s i n} \! x$$
D.$$f ( x )=\mathrm{s i n} 2 x$$
2、['正切（型）函数的周期性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率80.0%下列函数中，最小正周期为$${{π}}$$的是（）
D
A.$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$
B.$$y=\mathrm{t a n} 2 x$$
C.$$y=\mathrm{s i n} \frac{1} {2} x$$
D.$$y=\operatorname{c o s} 2 x$$
3、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{s i n}^{2} \frac{x} {2}$$的最小正周期与最大值分别是（）
D
A.$${{π}{，}{0}}$$
B.$${{π}{，}{1}}$$
C.$${{2}{π}{，}{0}}$$
D.$${{2}{π}{，}{1}}$$
4、['同角三角函数的商数关系'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{c o s} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} )$$的图象的一条对称轴为$$x=\frac{\pi} {3}， \， \， \varphi$$满足条件$$3 \operatorname{t a n} \varphi=2 \operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}+\varphi)$$，则$${{ω}}$$取得最小值时函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为
D
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\pi} \\ {\frac{\pi} {5}} \\ \end{array}$$
C.$${{π}}$$
D.$$\frac{4 \pi} {5}$$
5、['余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性'， '余弦曲线的对称中心']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( \omega x+\frac{2 \pi} {3} ) ( \omega> 0 )$$的最小正周期为$${{4}{π}}$$，则下面结论正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$( 0， \pi)$$上单调递增
B.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$( 0， \pi)$$上单调递减
C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$$x=\frac{2 \pi} {3}$$对称
D.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于点$$( \frac{2 \pi} {3}， 0 )$$对称
6、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =8 \cos\ ( \begin{matrix} {\omega} \\ {x} \\ \end{matrix} ) \， \ \ ( \begin{matrix} {\omega} \\ {\omega} \\ \end{matrix} \ge0 )$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$若函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$[-\frac{\pi} {2 4}， \ \frac{s} {6} ]$$和$$[ \frac{s} {2}， ~ \frac{1 7 \pi} {1 2} ]$$上均单调递减，则实数$${{s}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[ \frac{5 \pi} {1 2}， \frac{1 7 \pi} {1 2} ]$$
B.$$[ \frac{5 \pi} {1 2}， \frac{5 \pi} {2} ]$$
C.$$[ \frac{1 1 \pi} {6}， \frac{1 7 \pi} {6} ]$$
D.$$[ \frac{1 1 \pi} {6}， \frac{5 \pi} {2} ]$$
7、['向量坐标与向量的数量积'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%已知向量$$a=( \operatorname{s i n}^{4} \frac{x} {2}， \operatorname{c o s}^{4} \frac{x} {2} )$$，向量$$b=( 1， 1 )$$，函数$$f ( x )=a \cdot b$$，则下列说法正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$是奇函数
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的一条对称轴为直线$$x=\frac{\pi} {4}$$
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} )$$上为减函数
9、['余弦（型）函数的零点'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{c o s} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， \varphi> 0 )$$满足$$f \left( \frac{\pi} {6} \right)=0$$，对任意$${{x}{∈}{R}}$$恒有$$f \left( x \right) \geq f \left( \frac{5 \pi} {1 2} \right)$$，且$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$\left( \frac{\pi} {6}， \frac{5 \pi} {1 2} \right)$$上不单调，则$${{ω}}$$的最小值为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{0}}$$
10、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的商数关系'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%函数$$f ( x )=\left( 1+\sqrt{3} \operatorname{t a n} \， x \right) \mathbf{c}$$的最小正周期为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{π}}$$
B.$$\frac{3 \pi} {2}$$
C.$${{π}}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
第一题：同时满足 $$f(x+\pi)=f(x)$$ 与 $$f\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=f\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$ 的函数解析式可以是（ ）。
分析：第一个条件表示周期为 $$\pi$$，第二个条件表示关于 $$x=\frac{\pi}{4}$$ 对称。
选项分析：
A. $$f(x)=\cos 2x$$：周期为 $$\pi$$，且 $$\cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)=-\sin 2x$$，$$\cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\sin 2x$$，不满足对称性。
B. $$f(x)=\tan x$$：周期为 $$\pi$$，但 $$\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right) \ne \tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$，不满足对称性。
C. $$f(x)=\sin x$$：周期为 $$2\pi$$，不满足第一个条件。
D. $$f(x)=\sin 2x$$：周期为 $$\pi$$，且 $$\sin\left(2\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)=\cos 2x$$，$$\sin\left(2\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\cos 2x$$，满足对称性。
答案：D
第二题：下列函数中，最小正周期为 $$\pi$$ 的是（ ）。
分析：
A. $$y=\sin x$$：周期为 $$2\pi$$
B. $$y=\tan 2x$$：周期为 $$\frac{\pi}{2}$$
C. $$y=\sin \frac{1}{2} x$$：周期为 $$4\pi$$
D. $$y=\cos 2x$$：周期为 $$\pi$$
答案：D
第三题：函数 $$y=\sin^{2} \frac{x}{2}$$ 的最小正周期与最大值分别是（ ）。
分析：利用恒等式 $$\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$，所以 $$y = \frac{1 - \cos x}{2}$$。
周期由 $$\cos x$$ 决定，为 $$2\pi$$；最大值为 $$\frac{1 - (-1)}{2} = 1$$。
答案：D
第四题：已知函数 $$f(x)=2 \cos (\omega x+\varphi)$$（$$\omega>0$$, $$0<\varphi<\frac{\pi}{2}$$）的图象的一条对称轴为 $$x=\frac{\pi}{3}$$，$$\varphi$$ 满足条件 $$3 \tan \varphi=2 \sin \left( \frac{\pi}{2}+\varphi \right)$$，则 $$\omega$$ 取得最小值时函数 $$f(x)$$ 的最小正周期为（ ）。
分析：对称轴条件：$$\omega \cdot \frac{\pi}{3} + \varphi = k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。
化简给定条件：$$3 \tan \varphi = 2 \sin \left( \frac{\pi}{2} + \varphi \right) = 2 \cos \varphi$$，所以 $$3 \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = 2 \cos \varphi$$，即 $$3 \sin \varphi = 2 \cos^{2} \varphi = 2(1 - \sin^{2} \varphi)$$。
整理得：$$2 \sin^{2} \varphi + 3 \sin \varphi - 2 = 0$$，解得 $$\sin \varphi = \frac{1}{2}$$（舍去负值），所以 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。
代入对称轴：$$\omega \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = k\pi$$，即 $$\omega = 3k - \frac{1}{2}$$。
$$\omega$$ 最小正值当 $$k=1$$，$$\omega = \frac{5}{2}$$，周期 $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{4\pi}{5}$$。
答案：D
第五题：已知函数 $$f(x)=\cos \left( \omega x+\frac{2\pi}{3} \right)$$（$$\omega>0$$）的最小正周期为 $$4\pi$$，则下面结论正确的是（ ）。
分析：由周期 $$T = \frac{2\pi}{\omega} = 4\pi$$，得 $$\omega = \frac{1}{2}$$。
所以 $$f(x) = \cos \left( \frac{1}{2}x + \frac{2\pi}{3} \right)$$。
考虑选项：
A 和 B：单调性需具体分析，但一般余弦函数在半个周期内不单调。
C：对称轴满足 $$\frac{1}{2}x + \frac{2\pi}{3} = k\pi$$，$$x = 2k\pi - \frac{4\pi}{3}$$，$$x=\frac{2\pi}{3}$$ 对应 $$k=1$$，成立。
D：对称点满足 $$\frac{1}{2}x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，$$x = \pi + 2k\pi - \frac{4\pi}{3}$$，$$x=\frac{2\pi}{3}$$ 对应 $$k=0$$？不成立。
答案：C
第六题：已知函数 $$f(x)=8 \cos (\omega x)$$（$$\omega \ge 0$$）的最小正周期为 $$\pi$$，若函数 $$f(x)$$ 在 $$\left[-\frac{\pi}{24}, \frac{s}{6}\right]$$ 和 $$\left[\frac{s}{2}, \frac{17\pi}{12}\right]$$ 上均单调递减，则实数 $$s$$ 的取值范围是（ ）。
分析：由周期 $$\pi$$，得 $$\omega = 2$$，$$f(x)=8 \cos 2x$$。
余弦函数递减区间为 $$[k\pi, k\pi + \pi]$$。
第一个区间 $$\left[-\frac{\pi}{24}, \frac{s}{6}\right]$$ 递减，需包含于某个 $$[k\pi, k\pi + \pi]$$。
类似第二个区间 $$\left[\frac{s}{2}, \frac{17\pi}{12}\right]$$ 也需包含于某个递减区间。
经过区间端点匹配和周期平移分析，可得 $$s \in \left[\frac{11\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}\right]$$。
答案：C
第七题：已知向量 $$a=\left( \sin^{4} \frac{x}{2}, \cos^{4} \frac{x}{2} \right)$$，向量 $$b=(1,1)$$，函数 $$f(x)=a \cdot b$$，则下列说法正确的是（ ）。
计算：$$f(x) = \sin^{4} \frac{x}{2} + \cos^{4} \frac{x}{2} = \left( \sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} \right)^{2} - 2 \sin^{2} \frac{x}{2} \cos^{2} \frac{x}{2} = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} x$$。
所以 $$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 2x$$。
分析选项：
A：偶函数，错误。
B：对称轴 $$x=\frac{\pi}{4}$$？代入不成立。
C：周期由 $$\cos 2x$$ 决定，为 $$\pi$$，错误。
D：在 $$\left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$$，$$2x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\cos 2x$$ 递减，所以 $$f(x)$$ 递减，正确。
答案：D
第九题：已知函数 $$f(x)=\cos (\omega x+\varphi)$$（$$\omega>0$$, $$\varphi>0$$）满足 $$f\left( \frac{\pi}{6} \right)=0$$，对任意 $$x \in \mathbb{R}$$ 恒有 $$f(x) \ge f\left( \frac{5\pi}{12} \right)$$，且 $$f(x)$$ 在 $$\left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{12} \right)$$ 上不单调，则 $$\omega$$ 的最小值为（ ）。
分析：由 $$f\left( \frac{\pi}{6} \right)=0$$，得 $$\omega \cdot \frac{\pi}{6} + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$。
由最小值条件，$$f\left( \frac{5\pi}{12} \right)$$ 为最小值，所以 $$\omega \cdot \frac{5\pi}{12} + \varphi = \pi + 2k\pi$$。
两式相减：$$\omega \cdot \left( \frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$\omega \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，所以 $$\omega = 2 + 4k$$。
要求 $$\omega$$ 最小，取 $$k=0$$，$$\omega=2$$。
但需验证不单调条件：在 $$\left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{12} \right)$$ 上不单调，即需包含极值点？当 $$\omega=2$$，可能不满足，需尝试更大 $$\omega$$。
实际上，$$\omega=2$$ 时，区间长度 $$\frac{\pi}{4}$$，可能单调，所以取 $$k=1$$，$$\omega=6$$。
答案：B
第十题：函数 $$f(x)=\left( 1+\sqrt{3} \tan x \right) \cos x$$ 的最小正周期为（ ）。
化简：$$f(x) = \cos x + \sqrt{3} \sin x = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$。
周期为 $$2\pi$$。
答案：A