正弦曲线的对称轴-三角函数的图象与性质知识点月考进阶单选题自测题答案-广东省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1、['正弦（型）函数的单调性'， '由y=sin x 的图像得到y=A sin(wx+φ)（A>0，w>0）的图象变换过程'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '命题的真假性判断']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {3} )$$的图象为$${{C}}$$，则：$${①{C}}$$关于直线$$x=\frac{7} {1 2} \pi$$对称；$${②{C}}$$关于点$$( \frac{\pi} {1 2}， \; 0 )$$对称；$${③{f}{（}{x}{）}}$$在$$(-\frac{\pi} {3}， \ \frac{\pi} {1 2} )$$上是增函数；$${④}$$由$${{y}{=}{2}{{c}{o}{s}}{2}{x}}$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度可以得到图象$${{C}}$$．以上结论正确的有（）

A.$${①{②}}$$

B.$${①{③}}$$

C.$${②{③}{④}}$$

D.$${①{③}{④}}$$

2、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%下列关于函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{3}}$$的说法中错误的是（）

A.函数没有零点

B.函数图像的一条对称轴的方程为$$x=\frac{\pi} {2}$$

C.函数图像的对称中心坐标为$${{(}{k}{π}{，}{0}{)}{(}{k}{∈}{Z}{)}}$$

D.函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{3}}$$的图像可由正弦函数的图像向上平移$${{3}}$$个单位得到

3、['正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%将函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{−}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图像向右平移$${{m}{(}{m}{>}{0}{)}}$$个单位长度，所得图像关于$${{y}}$$轴对称，则$${{m}}$$的最小值是（）

A.$$- \frac{\pi} {1 2}$$

B.$$\frac{\pi} {1 2}$$

C.$$- \frac{\pi} {6}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

4、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{λ}{{c}{o}{s}}{x}{(}{λ}{∈}{R}{)}}$$的图象关于$$x=-\frac{\pi} {4}$$对称．若把函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象上每个点的横坐标扩大到原来的$${{2}}$$倍(纵坐标不变)后再向右平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位，可得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则函数$${{g}{(}{x}{)}}$$图象的一条对称轴方程为（）

A.$$x=\frac{\pi} {6}$$

B.$$x=\frac{\pi} {4}$$

C.$$x=\frac{\pi} {3}$$

D.$$x=\frac{1 1 \pi} {6}$$

5、['正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}{，}{x}{∈}{[}{0}{，}{2}{π}{]}}$$，若$${{0}{<}{a}{<}{1}}$$，则方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}}$$的所有根之和为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{4 \pi} {3}$$

B.$${{2}{π}}$$

C.$$\frac{8 \pi} {3}$$

D.$${{3}{π}}$$

6、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦曲线的对称轴']

正确率40.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{x}{，}}$$$$g ( x )=6 \operatorname{s i n}^{2} \frac{x} {2}+\operatorname{c o s} x$$，若直线$${{x}{=}{{x}_{1}}{，}{x}{=}{{x}_{2}}}$$分别是曲线$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$与$${{y}{=}{g}{(}{x}{)}}$$的对称轴，则$${{f}{(}{{x}_{1}}{−}{{x}_{2}}{)}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{±}{2}}$$

D.$${{±}{1}}$$

7、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦曲线的对称轴'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%将函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$的图象向左平移$${{φ}{{(}{φ}{>}{0}{)}}}$$个单位，得到的图象恰好关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称，则$${{φ}}$$的一个值是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\pi} {1 2}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$

8、['一元二次方程根与系数的关系'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的周期性'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， | \varphi\leqslant\frac{\pi} {2} | )$$的图象的相邻两条对称轴的距离为$$\frac{\pi} {2}，$$且$${{s}{i}{n}{φ}{，}{{c}{o}{s}}{φ}}$$是方程$${{2}{{x}^{2}}{+}{3}{m}{x}{−}{1}{=}{0}}$$的两根，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个对称中心为

A.$$(-\frac{\pi} {4}， 0 )$$

B.$$( \frac{\pi} {4}， 0 )$$

C.$$( \frac{\pi} {8}， 0 )$$

D.$$( \frac{5 \pi} {8}， 0 )$$

9、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']

正确率60.0%同时具有性质$${{“}}$$周期为$${{π}{，}}$$图象关于直线$$x=\frac{\pi} {3}$$对称，在$$[-\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} ]$$上是增函数$${{”}}$$的函数是$${{(}{)}}$$

A.$$y=\operatorname{s i n} ( \frac{x} {2}+\frac{\pi} {6} )$$

B.$$y=\operatorname{c o s} ( 2 x+\frac{\pi} {3} )$$

C.$$y=\operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{\pi} {6} )$$

D.$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {6} )$$

10、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦曲线的对称轴']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{(}{0}{<}{ω}{<}{2}{)}}$$的图象关于直线$$x=\frac{3 \pi} {4}$$对称，则$${{(}{)}}$$

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0， \frac{3 \pi} {4} \Biggr]$$上单调递减

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left[ \frac{3 \pi} {4}， \frac{3 \pi} {2} \right]$$上单调递增

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-\pi，-\frac{\pi} {4} \rbrack$$上单调递减

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-\frac{3 \pi} {4}， 0 \rbrack$$上单调递增

1. 解析：

对于函数 $$f(x) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{3})$$：

① 检查对称轴 $$x = \frac{7\pi}{12}$$：计算 $$f\left(\frac{7\pi}{6} - x\right) = 2 \sin\left(2\left(\frac{7\pi}{6} - x\right) + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(\frac{7\pi}{3} - 2x + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin(2\pi - 2x) = -2 \sin(2x)$$，不等于 $$f(x)$$，故①错误。
② 检查对称中心 $$(\frac{\pi}{12}, 0)$$：计算 $$f\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = 2 \sin\left(2\left(\frac{\pi}{6} - x\right) + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right)$$，不等于 $$-f(x)$$，故②错误。
③ 检查单调性：求导 $$f'(x) = 4 \cos(2x + \frac{\pi}{3})$$，在 $$x \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{12})$$ 时，$$2x + \frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$$，$$f'(x) > 0$$，故③正确。
④ 检查平移：$$y = 2 \cos 2x$$ 向右平移 $$\frac{\pi}{12}$$ 得到 $$y = 2 \cos 2\left(x - \frac{\pi}{12}\right) = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = f(x)$$，故④正确。

综上，正确的有③④，选项 D 正确。

2. 解析：

对于函数 $$y = \sin x + 3$$：

A. 函数值域为 $$[2, 4]$$，无零点，正确。
B. 对称轴为 $$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，正确。
C. 对称中心应为 $$(k\pi, 3)$$，错误。
D. 由 $$y = \sin x$$ 向上平移 3 个单位得到，正确。

错误的选项是 C。

3. 解析：

函数 $$y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$，向右平移 $$m$$ 后为 $$y = 2 \sin\left(x - m - \frac{\pi}{3}\right)$$。关于 $$y$$ 轴对称，则 $$-m - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$m = -\frac{5\pi}{6} - k\pi$$。最小正值 $$m = \frac{\pi}{6}$$，选项 D 正确。

4. 解析：

函数 $$f(x) = \sin x + \lambda \cos x$$ 关于 $$x = -\frac{\pi}{4}$$ 对称，则 $$f\left(-\frac{\pi}{2} - x\right) = f(x)$$，解得 $$\lambda = 1$$。变换后 $$g(x) = \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{12}\right)$$。对称轴满足 $$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$，选项 D 正确。

5. 解析：

函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$，方程 $$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = a$$ 在 $$[0, 2\pi]$$ 上有两个解 $$x_1$$ 和 $$x_2$$，满足 $$x_1 + x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$，和为 $$\frac{4\pi}{3}$$，选项 A 正确。

6. 解析：

函数 $$f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$，对称轴为 $$x = \frac{\pi}{6} + k\pi$$。函数 $$g(x) = 6 \sin^2 \frac{x}{2} + \cos x = 3(1 - \cos x) + \cos x = 3 - 2 \cos x$$，对称轴为 $$x = k\pi$$。取 $$x_1 = \frac{\pi}{6}$$，$$x_2 = 0$$，则 $$f(x_1 - x_2) = f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = 2$$，选项 A 正确。

7. 解析：

函数 $$y = \sin 2x$$ 向左平移 $$\phi$$ 后为 $$y = \sin(2x + 2\phi)$$，关于 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 对称，则 $$2 \cdot \frac{\pi}{6} + 2\phi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$\phi = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$$，最小正值 $$\phi = \frac{\pi}{12}$$，选项 A 正确。

8. 解析：

相邻对称轴距离为 $$\frac{\pi}{2}$$，周期 $$T = \pi$$，$$\omega = 2$$。由 $$2 \sin \varphi \cos \varphi = \sin 2\varphi = -\frac{3m}{2}$$ 和 $$4 \sin^2 \varphi \cos^2 \varphi + \frac{9m^2}{4} = 1$$，解得 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。函数 $$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$$，对称中心满足 $$2x + \frac{\pi}{6} = k\pi$$，即 $$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$$，选项 D 正确。

9. 解析：

周期为 $$\pi$$，排除 A。在 $$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$ 上增函数，且关于 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 对称，选项 D 满足条件。

10. 解析：

函数 $$f(x) = \sin \omega x$$ 关于 $$x = \frac{3\pi}{4}$$ 对称，则 $$\omega \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$\omega = \frac{2}{3} + \frac{4k}{3}$$，$$0 < \omega < 2$$，取 $$\omega = \frac{2}{3}$$。$$f(x)$$ 在 $$[-\frac{3\pi}{4}, 0]$$ 上单调递增，选项 D 正确。

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