正弦（型）函数的定义域和值域-5.4 三角函数的图象与性质知识点专题进阶选择题自测题解析-安徽省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{−}{|}{{s}{i}{n}}{x}{|}}$$的值域是（）

A.$${{\{}{0}{\}}}$$

B.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$

C.$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$

D.$${{[}{−}{2}{，}{0}{]}}$$

2、['正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数的图象变换'， '三角函数的性质综合']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \mathrm{s i n} ( \omega x+\varphi) \left( \omega> 0， \ | \varphi| < \frac{\pi} {2} \right)$$的图像的相邻两条对称轴之间的距离为$$\frac{\pi} {2}，$$将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位后，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图像.若函数$${{g}{(}{x}{)}}$$为偶函数，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$\left( 0， \ \frac{\pi} {4} \right)$$上的取值范围是（）

A.$${{(}{−}{1}{，}{2}{]}}$$

B.$${{(}{−}{1}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$

C.$${{(}{0}{，}{2}{]}}$$

D.$$\left(-\frac{1} {2}， \ 1 \right]$$

3、['三角恒等变换综合应用'， '正弦（型）函数的单调性'， '平面向量基本定理'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率19.999999999999996%在扇形$${{A}{O}{B}}$$中$$， \ \angle A O B={\frac{2 \pi} {3}}，$$点$${{C}}$$为弧$${{A}{B}}$$上任意一点(不含点$${{A}{，}{B}{)}{，}}$$若$$\overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B} ( \lambda， \mu\in{\bf R} )，$$则$${{λ}{+}{2}{μ}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$

B.$${{(}{1}{，}{2}{]}}$$

C.$$\left( 1， \frac{2 \sqrt{2 1}} {3} \right)$$

D.$$( 1， \frac{2 \sqrt{2 1}} {3} \biggr]$$

4、['正弦（型）函数的周期性'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%已知$$P ( \frac{3} {2}， ~-\frac{3 \sqrt{3}} {2} )$$是函数$${{y}{=}{A}{{s}{i}{n}}{（}{ω}{x}{+}{φ}{）}{（}{ω}{>}{0}{）}}$$图象上的一个最低点，$${{M}{，}{N}}$$是与$${{P}}$$相邻的两个最高点，若$${{∠}{M}{P}{N}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}}$$则该函数最小正周期是（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

5、['利用诱导公式化简'， '向量坐标与向量的数量积'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} ( \pi-x ) \operatorname{c o s} (-x )+\operatorname{s i n} ( \pi+x ) \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}-x )$$图象上的一个最低点为$${{A}}$$，离$${{A}}$$最近的两个最高点分别为$${{B}}$$与$${{C}}$$，则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=\emptyset$$）

A.$$9+\frac{\pi^{2}} {9}$$

B.$$9-\frac{\pi^{2}} {9}$$

C.$$4+\frac{\pi^{2}} {4}$$

D.$$4-\frac{\pi^{2}} {4}$$

6、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率60.0%已知函数$$f^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=2 \operatorname{s i n} \begin{matrix} {( \frac{\pi} {3} x+\frac{\pi} {6} )} \\ \end{matrix} .+2$$，对任意的$${{a}{∈}{[}{1}{，}{2}{）}}$$，方程$${{f}{（}{x}{）}{−}{a}{=}{2}{（}{0}{⩽}{x}{<}{m}{）}}$$有两个不同的实数根，则$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$${（{2}{，}{6}{]}}$$

B.$${{[}{2}{，}{6}{]}}$$

C.$${（{2}{，}{7}{]}}$$

D.$${{[}{2}{，}{7}{]}}$$

7、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {6} )-m$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$内有两个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

B.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$

C.$${{[}{0}{，}{1}{)}}$$

D.$$[ \frac{1} {2}， 1 )$$

8、['两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%函数$$y=\operatorname{s i n} x ( \operatorname{c o s} \， x-\sqrt{3} \mathrm{s i n} \， \， x ) ( 0 \leq x \leq\frac{\pi} {2} )$$的值域为（）

A.$$[ \sqrt{3}， 1+\frac{\sqrt{3}} {2} ]$$

B.$$[-\frac{\sqrt{3}} {2}， 1-\frac{\sqrt{3}} {2} ]$$

C.$$[ 0， 1 ]$$

D.$$[-\sqrt{3}， 1-\frac{\sqrt{3}} {2} ]$$

9、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '直线的斜率']

正确率40.0%已知点$${{P}}$$是曲线$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{l}{n}}{x}}$$上任意一点，记直线$${{O}{P}{(}{O}}$$为坐标原点)的斜率为$${{k}}$$，则下列一定成立的为$${{(}{)}}$$

A.$${{k}{<}{−}{1}}$$

B.$${{k}{<}{0}}$$

C.$${{k}{<}{1}}$$

D.$${{k}{⩾}{1}}$$

10、['三角函数的定义域'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%函数$${{y}{=}{\sqrt {{2}{s}{i}{n}{x}{−}{\sqrt {2}}}}}$$的定义域为（）

A.$$\left[ 2 k \pi， 2 k \pi+\frac{\pi} {4} \right]， k \in{\bf Z}$$

B.$$\left[ 2 k \pi+\frac{\pi} {4}， 2 k \pi+\frac{3 \pi} {4} \right]， k \in{\bf Z}$$

C.$$\left[ 2 k \pi+\frac{\pi} {4}， 2 k \pi+\frac{\pi} {2} \right]， k \in{\bf Z}$$

D.$$\left[ 2 k \pi+\frac{3 \pi} {4}， 2 k \pi+\pi\right]， k \in{\bf Z}$$

1. 解析：函数 $$y = \sin x - |\sin x|$$ 的值域分析：

当 $$\sin x \geq 0$$ 时，$$y = \sin x - \sin x = 0$$；当 $$\sin x < 0$$ 时，$$y = \sin x - (-\sin x) = 2\sin x$$，此时 $$y \in [-2, 0)$$。综上，值域为 $$[-2, 0]$$，选项 D 正确。

2. 解析：函数 $$f(x) = 2\sin(\omega x + \varphi)$$ 的对称轴间距为 $$\frac{\pi}{2}$$，故周期 $$T = \pi$$，$$\omega = 2$$。

平移后 $$g(x) = 2\sin(2(x + \frac{\pi}{3}) + \varphi)$$ 为偶函数，故 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。 $$f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})$$，在 $$x \in (0, \frac{\pi}{4})$$ 时，$$2x + \frac{\pi}{6} \in (\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$$，$$f(x) \in (1, 2]$$，选项 A 正确。

3. 解析：扇形 $$AOB$$ 中，$$\angle AOB = \frac{2\pi}{3}$$，设 $$C$$ 在弧 $$AB$$ 上，$$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$$。

由几何性质，$$\lambda + \mu = 1$$，且 $$\lambda, \mu > 0$$。设 $$\theta$$ 为 $$OC$$ 与 $$OA$$ 的夹角，则 $$\lambda = \frac{\sin(\frac{2\pi}{3} - \theta)}{\sin \frac{2\pi}{3}}$$，$$\mu = \frac{\sin \theta}{\sin \frac{2\pi}{3}}$$。计算 $$\lambda + 2\mu = 1 + \mu$$，$$\mu \in (0, \frac{2\sqrt{21}}{3} - 1)$$，故 $$\lambda + 2\mu \in (1, \frac{2\sqrt{21}}{3})$$，选项 C 正确。

4. 解析：点 $$P(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$$ 为最低点，故振幅 $$A = 3$$，相位 $$\omega \cdot \frac{3}{2} + \varphi = \frac{3\pi}{2}$$。

由 $$∠MPN = 60^\circ$$，可得周期 $$T = 6$$，选项 D 正确。

5. 解析：函数化简为 $$f(x) = \sqrt{3}\sin x \cos x + \sin x \sin x = \sin x (\sqrt{3} \cos x + \sin x) = 2\sin x \sin(x + \frac{\pi}{3})$$。

最低点 $$A$$ 为 $$x = -\frac{\pi}{6}$$，最高点 $$B$$ 和 $$C$$ 分别为 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 和 $$x = \frac{4\pi}{3}$$。计算 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 9 - \frac{\pi^2}{9}$$，选项 B 正确。

6. 解析：方程 $$f(x) - a = 2$$ 即 $$2\sin(\frac{\pi}{3}x + \frac{\pi}{6}) = a$$，$$a \in [1, 2)$$。

要求有两个不同实数根，$$x \in [0, m)$$，解得 $$m \in (2, 6]$$，选项 A 正确。

7. 解析：函数 $$f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6}) - m$$ 在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 内有两个零点。

即 $$\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = m$$ 有两个解，$$m \in [\frac{1}{2}, 1)$$，选项 D 正确。

8. 解析：函数 $$y = \sin x (\cos x - \sqrt{3} \sin x)$$ 化简为 $$y = \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - \cos 2x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2}$$。

$$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$ 时，$$2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$$，$$y \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}]$$，选项 B 正确。

9. 解析：函数 $$y = \sin x + \ln x$$ 的斜率 $$k = \frac{y}{x}$$。

当 $$x \in (0, 1)$$，$$\sin x \in (0, 1)$$，$$\ln x < 0$$，故 $$k < 1$$；当 $$x \geq 1$$，$$\sin x \leq 1$$，$$\ln x \geq 0$$，但 $$k$$ 不一定小于 1。综上，$$k < 1$$ 一定成立，选项 C 正确。

10. 解析：函数 $$y = \sqrt{2\sin x - \sqrt{2}}$$ 定义域要求 $$2\sin x - \sqrt{2} \geq 0$$，即 $$\sin x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$。

解为 $$x \in [2k\pi + \frac{\pi}{4}, 2k\pi + \frac{3\pi}{4}]$$，$$k \in \mathbb{Z}$$，选项 B 正确。

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