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正确率60.0%给出如下几个结论：$${①}$$命题$${{“}{∃}{x}{∈}{R}{，}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}{=}{2}{”}}$$的否定是$${{“}{∃}{x}{∈}{R}{，}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}{≠}{2}{”}{；}{②}}$$命题$$\mathrm{` `} \forall x \in R， ~ \operatorname{s i n} x+\frac{1} {\operatorname{s i n} x} \geqslant2^{\prime\prime}$$的否定是$$\mathrm{` `} \exists x \in R， ~ \operatorname{s i n} x+\frac{1} {\operatorname{s i n} x} < 2^{n} ;$$对于$$\forall x \in( 0， \frac{\pi} {2} )， ~ \operatorname{t a n} x+\frac{1} {\operatorname{t a n} x} \geqslant2 ;$$
$${④{∃}{x}{∈}{R}}$$，使$${{s}{i}{n}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}{=}{\sqrt {2}}{.}}$$其中正确的为$${{(}{)}}$$
C
A.$${③}$$
B.$${③{④}}$$
C.$${②{③}{④}}$$
D.$${①{②}{③}{④}}$$
2、['正切（型）函数的定义域与值域'， '函数求定义域']正确率60.0%函数$$f ( x )=\frac{1} {\operatorname{t a n} x}$$的定义域是（）
A
A.$$\{x \mid x \neq\frac{k \pi} {2}， k \in{\bf Z} \}$$
B.$$\{x \mid x \neq\frac{\pi} {4}+\frac{k \pi} {2}， k \in{\bf Z} \}$$
C.$$\{x \mid x \neq\frac{\pi} {2}+k \pi， k \in{\bf Z} \}$$
D.$$\{x \mid x \neq\frac{\pi} {2}+k \pi$$且$$x \neq\frac{\pi} {4}+k \pi， k \in{\bf Z} \Bigg\}$$
3、['正切（型）函数的单调性'， '正切曲线的对称中心'， '正切（型）函数的周期性'， '正切（型）函数的定义域与值域']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{t a n} \ ( \begin{matrix} {2 x} \\ \end{matrix} )$$，则下列说法错误的是（）
D
A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的周期为$$\frac{\pi} {2}$$
B.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的值域为$${{R}}$$
C.点$$( \， \frac{\pi} {3}， \， \， 0 )$$是函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象的一个对称中心
D.$$f ~^{(} ~ \frac{\pi} {5} ) ~ < f ~^{(} ~ \frac{2 \pi} {5} )$$
4、['一元二次不等式的解法'， '正切（型）函数的定义域与值域'， '集合的混合运算']正确率60.0%已知$${{R}}$$为实数集，集合$${{A}{=}{\{}{x}{|}{{x}^{2}}{⩾}{4}{\}}{，}{B}{=}{\{}{y}{|}{y}{=}{|}{{t}{a}{n}}{x}{|}{\}}}$$，则$${（{{∁}_{R}}{A}{）}{∩}{B}{=}{（}}$$）
C
A.$${{\{}{x}{|}{x}{⩽}{2}{\}}}$$
B.$${{\{}{x}{|}{x}{>}{0}{\}}}$$
C.$${{\{}{x}{|}{0}{⩽}{x}{<}{2}{\}}}$$
D.$${{\{}{x}{|}{0}{<}{x}{<}{2}{\}}}$$
5、['正切（型）函数的定义域与值域']正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{t a n} ( x+\frac{\pi} {6} )$$的定义域是（）
B
A.False
B.False
C.False
D.False
7、['正弦定理及其应用'， '正切（型）函数的定义域与值域'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%若$${{△}{{A}{B}{C}}}$$为钝角三角形，其中角$${{C}}$$为钝角，若$$A \!+\! C \!=\! \frac{2 \pi} {3}$$，则$$\frac{A B} {B C}$$的取值范围是（）
B
A.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
B.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{[}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
8、['正切（型）函数的定义域与值域'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '函数求定义域']正确率60.0%函数$$f \left( x \right)=\sqrt{\operatorname{t a n} \left( 2 x-\frac{\pi} {4} \right)-1}$$的定义域为（）
C
A.$$\left\{x \vert\gets+\frac{\pi} {4} \leqslant x+\frac{3 \pi} {8}， k \in Z \right\}$$
B.$$\left\{x | \bigskip k-\frac{\pi} {4} \leqslant x < k+\frac{\pi} {4}， k \in Z \right\}$$
C.$$\left\{x \vert~ {\frac{k} {2}}+{\frac{\pi} {4}} \leqslant x < {\frac{k} {2}}+{\frac{3 \pi} {8}}， k \in Z \right\}$$
D.$$\left\{x \vert\frac{k} {2}-\frac{\pi} {4} \leqslant x < \frac{k} {2}+\frac{\pi} {4}， k \in Z \right\}$$
9、['正切（型）函数的定义域与值域']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{t a n} ~ ( \frac{1} {2} x+\frac{\pi} {4} )$$的定义域是（）
A
A.$$\{x | x \neq2 k \pi+{\frac{\pi} {2}}， \， \， \， k \in Z \}$$
B.$$\{x | x \neq4 k \pi+\frac{\pi} {2}， \， \， \， k \in Z \}$$
C.$$\{x | x \neq\frac{k \pi} {2}+\frac{\pi} {8}， \， \， \， k \in Z \}$$
D.$$\{x | x \neq k \pi+\frac{\pi} {8}， \， \， \， k \in Z \}$$
10、['正切（型）函数的周期性'， '函数的新定义问题'， '正切（型）函数的定义域与值域']正确率40.0%我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组$${{“}}$$平行曲线$${{”}}$$，而$${{“}}$$平行曲线$${{”}}$$具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的$${{“}}$$平行曲线$${{”}}$$相交，被截得的线段长度相等，已知函数$$f ( x )=\operatorname{t a n} ( \omega x+\frac{\pi} {1 2} ) ( \omega> 0 )$$图象中的两条相邻$${{“}}$$平行曲线$${{”}}$$与直线$${{y}{=}{{2}{0}{2}{0}}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{|}{A}{B}{|}{=}{2}}$$，则$$f ( \frac{1} {2} )=$$（）
A
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {6}{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {2}{−}{3}}$$
D.$${{−}{\sqrt {2}}{−}{3}}$$
1. 解析：
② 命题的否定正确，原命题的否定是 $${\exists x \in R, \sin x + \frac{1}{\sin x} < 2}$$。
③ 对于 $$x \in (0, \frac{\pi}{2})$$，由不等式 $${\tan x + \frac{1}{\tan x} \geq 2}$$ 成立（因为 $${\tan x > 0}$$）。
④ 存在 $$x = \frac{\pi}{4}$$ 使得 $${\sin x + \cos x = \sqrt{2}}$$。
综上，正确的结论是 ②③④，选项 C 正确。
2. 解析：
因此定义域为 $$\{x \mid x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$$，选项 A 正确。
3. 解析：
A. 周期为 $${\frac{\pi}{2}}$$，正确。
B. 值域为 $$R$$，正确。
C. 对称中心为 $$(\frac{k\pi}{4}, 0)$$，$$(\frac{\pi}{3}, 0)$$ 不是对称中心，错误。
D. $$f(\frac{\pi}{5}) = \tan(\frac{2\pi}{5})$$，$$f(\frac{2\pi}{5}) = \tan(\frac{4\pi}{5})$$，由于 $${\frac{2\pi}{5} < \frac{4\pi}{5}}$$ 且 $${\tan x}$$ 在 $$(\frac{\pi}{2}, \pi)$$ 单调递减，故 $$f(\frac{\pi}{5}) < f(\frac{2\pi}{5})$$ 错误。
综上，错误的选项是 C 和 D，但题目要求选择一个错误的选项，可能是 C。
4. 解析：
集合 $$B = \{y \mid y = |\tan x|\}$$，因为 $$|\tan x| \geq 0$$，所以 $$B = [0, +\infty)$$。
交集 $$(\complement_R A) \cap B = [0, 2)$$，选项 C 正确。
5. 解析：
题目选项未给出具体内容，但定义域应为 $$\{x \mid x \neq \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$$。
7. 解析：
由正弦定理，$$\frac{AB}{BC} = \frac{\sin C}{\sin A}$$。
因为 $$C > \frac{\pi}{2}$$，且 $$A = \frac{2\pi}{3} - C$$，所以 $$\frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin C}{\sin(\frac{2\pi}{3} - C)}$$。
化简后可得 $$\frac{AB}{BC} \in (2, +\infty)$$，选项 B 正确。
8. 解析：
解不等式得 $$2x - \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$$，即 $$x \in [\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, \frac{k\pi}{2} + \frac{3\pi}{8})$$。
选项 C 正确。
9. 解析：
选项 A 正确。
10. 解析：
由 $$|AB| = 2$$ 可得 $${\frac{\pi}{2\omega} = 2}$$，解得 $${\omega = \frac{\pi}{4}}$$。
因此 $$f(\frac{1}{2}) = \tan(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12}) = \tan(\frac{5\pi}{24})$$，化简后为 $${\sqrt{6} - \sqrt{2}}$$，选项 B 正确。