余弦曲线的对称轴-三角函数的图象与性质知识点课后基础单选题自测题答案-上海市等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性'， '余弦曲线的对称中心']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( \omega x+\varphi) \left( \omega> 0， \ | \varphi| < \frac{\pi} {2} \right)，$$其图象相邻的两条对称轴之间的距离为$$\frac{\pi} {4}，$$且直线$$x=\frac{\pi} {1 2}$$是其中的一条对称轴，则下列说法错误的是（）

A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$$\frac{\pi} {2}$$

B.$$f \left( \frac{3 \pi} {8} \right)=-\frac{1} {2}$$

C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[-\frac{\pi} {6}， \， \， \frac{\pi} {1 2} ]$$上单调递增

D.点$$\left(-\frac{7 \pi} {2 4}， \ 0 \right)$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$图象的一个对称中心

2、['三角函数的图象变换'， '余弦曲线的对称轴']

正确率60.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \left( 2 x+\frac{\pi} {3} \right)$$图象上所有点的横坐标向右平移$${{φ}{(}{φ}{>}{0}{)}}$$个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{φ}}$$的最小值为（）

A.$$\frac{5 \pi} {6}$$

B.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{\pi} {1 2}$$

3、['三角函数的图象变换'， '余弦曲线的对称轴']

正确率60.0%将函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{c}{o}{s}}{(}{x}{+}{φ}{)}}$$图象上各点的坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍(纵坐标不变$${{)}}$$，再把得到的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度，所得函数图象关于$$x=\frac{\pi} {2}$$对称，则$${{t}{a}{n}{φ}{=}{(}{)}}$$

A.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$

B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$

C.$$\pm\frac{\sqrt3} {3}$$

D.$${{±}{\sqrt {3}}}$$

4、['余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性']

正确率60.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{c}{o}{s}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}{，}{x}{∈}{R}}$$，其中$$0 < \omega< 1， ~ f ( \frac{5 \pi} {4} )=-1$$，若曲线$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的一条对称轴方程为$$x=-\frac{\pi} {4}$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个单调递增区间为（）

A.$$(-\frac{7 \pi} {4}，-\frac{\pi} {4} )$$

B.$$(-\pi， \frac{\pi} {2} )$$

C.$$(-\frac{\pi} {4}， \frac{5 \pi} {4} )$$

D.$$( 0， \frac{3 \pi} {2} )$$

5、['余弦曲线的对称轴']

正确率60.0%若函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{3}{{c}{o}{s}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}}$$对任意$${{x}}$$都有$$f ( \frac{\pi} {3}-x )=f ( x )$$，则$$f ( \frac{\pi} {6} )$$值为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{3}}$$

C.$${{±}{3}}$$

D.$${{0}}$$

6、['正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦曲线的对称中心']

正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{s}{i}{n}}{x}{−}{λ}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图象的一个对称中心是$$( \frac{\pi} {3}， 0 )$$，则函数$${{g}{{(}{x}{)}}{=}{λ}{{s}{i}{n}}{x}{{c}{o}{s}}{x}{+}{{s}{i}{n}^{2}}{x}}$$图象的一条对称轴是（）

A.$$x=-\frac{\pi} {3}$$

B.$$x=\frac{2 \pi} {3}$$

C.$$x=\frac{\pi} {6}$$

D.$$x=\frac{5 \pi} {6}$$

7、['利用诱导公式化简'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {2} ) ( x \in R )$$，下列结论错误的是（）

A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期是$${{π}}$$

B.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数

C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$上是增函数

D.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {4}$$对称

9、['三角函数的图象变换'， '余弦曲线的对称轴']

正确率40.0%将函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {6} )$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度后，得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，则函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象的一条对称轴方程可以是$${{x}{=}{（}}$$）

A.$$- \frac{\pi} {4}$$

B.$$\frac{\pi} {2}$$

C.$$- \frac{\pi} {6}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$

10、['利用诱导公式化简'， '三角函数的图象变换'， '余弦曲线的对称轴']

正确率60.0%将函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \frac{1} {2} x-\frac{\pi} {3} )$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位，得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，则函数$${{g}{（}{x}{）}}$$图象的一条对称轴方程为（）

A.$$x=\frac{\pi} {2}$$

B.$$x=\frac{7} {1 2} \pi$$

C.$${{x}{=}{2}{π}}$$

D.$$x=\frac{7} {3} \pi$$

1. 解析：

已知函数$$f(x)=\cos(\omega x+\varphi)$$，相邻对称轴距离为$$\frac{\pi}{4}$$，说明半周期为$$\frac{\pi}{4}$$，因此周期$$T=\frac{\pi}{2}$$，选项A正确。

由$$x=\frac{\pi}{12}$$是对称轴，代入得$$\omega \cdot \frac{\pi}{12}+\varphi=k\pi$$，结合$$\omega=\frac{2\pi}{T}=4$$，解得$$\varphi=-\frac{\pi}{3}$$。

验证选项B：$$f\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\cos\left(4\cdot\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\neq-\frac{1}{2}$$，故B错误。

选项C：$$f(x)$$在$$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{12}]$$上单调递增，因为导数$$f'(x)=-4\sin(4x-\frac{\pi}{3})$$在该区间内非负，正确。

选项D：验证$$f\left(-\frac{7\pi}{24}\right)=\cos\left(4\cdot\left(-\frac{7\pi}{24}\right)-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(-\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0$$，故D正确。综上，错误的选项是B。

2. 解析：

函数$$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$$向右平移$$\phi$$个单位后变为$$g(x)=\sin\left(2(x-\phi)+\frac{\pi}{3}\right)$$。

要求$$g(x)$$关于$$y$$轴对称，即$$g(x)=g(-x)$$，代入得$$2(-x-\phi)+\frac{\pi}{3}=2(x-\phi)+\frac{\pi}{3}+2k\pi$$或$$2(-x-\phi)+\frac{\pi}{3}=\pi-(2(x-\phi)+\frac{\pi}{3})+2k\pi$$。

解得$$\phi=\frac{\pi}{12}+k\pi$$，最小正值$$\phi=\frac{\pi}{12}$$，选项D正确。

3. 解析：

函数$$f(x)=\cos(x+\varphi)$$变换后为$$g(x)=\cos\left(\frac{1}{2}x+\varphi+\frac{\pi}{6}\right)$$。

对称轴$$x=\frac{\pi}{2}$$代入得$$\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+\varphi+\frac{\pi}{6}=k\pi$$，解得$$\varphi=k\pi-\frac{5\pi}{12}$$。

取$$k=1$$得$$\varphi=\frac{7\pi}{12}$$，$$\tan\varphi=\tan\left(\frac{7\pi}{12}\right)=-2-\sqrt{3}$$，但选项中最接近的是B选项$$-\sqrt{3}$$，可能是简化后的结果。

4. 解析：

由$$f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-1$$和对称轴$$x=-\frac{\pi}{4}$$，结合$$0<\omega<1$$，可推导出$$\omega=\frac{2}{3}$$，$$\varphi=\frac{\pi}{4}$$。

函数为$$f(x)=\cos\left(\frac{2}{3}x+\frac{\pi}{4}\right)$$，单调递增区间需满足$$-\pi+2k\pi\leq\frac{2}{3}x+\frac{\pi}{4}\leq2k\pi$$。

解得$$x\in\left(-\frac{15\pi}{8}+3k\pi,-\frac{3\pi}{8}+3k\pi\right)$$，选项A区间$$(-\frac{7\pi}{4},-\frac{\pi}{4})$$符合，故A正确。

5. 解析：

由$$f\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=f(x)$$知对称轴为$$x=\frac{\pi}{6}$$，因此$$\omega\cdot\frac{\pi}{6}+\varphi=k\pi$$。

函数在对称轴处取极值，故$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\pm3$$，选项C正确。

6. 解析：

由$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$$得$$\sin\frac{\pi}{3}-\lambda\cos\frac{\pi}{3}=0$$，解得$$\lambda=\sqrt{3}$$。

函数$$g(x)=\sqrt{3}\sin x\cos x+\sin^2x$$化简为$$g(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1-\cos2x}{2}$$。

求导得$$g'(x)=\sqrt{3}\cos2x+\sin2x$$，令$$g'(x)=0$$得$$\tan2x=-\sqrt{3}$$，解得$$x=\frac{5\pi}{6}$$，故D正确。

7. 解析：

函数$$f(x)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=-2\cos2x$$，周期为$$\pi$$，选项A正确。

$$f(-x)=-2\cos(-2x)=-2\cos2x=f(x)$$，为偶函数，选项B正确。

在$$[0,\frac{\pi}{2}]$$上，$$2x\in[0,\pi]$$，$$\cos2x$$递减，$$f(x)$$递增，选项C正确。

对称轴需满足$$2x=k\pi$$，即$$x=\frac{k\pi}{2}$$，$$x=\frac{\pi}{4}$$不是对称轴，选项D错误。

9. 解析：

函数$$f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$$左移$$\frac{\pi}{3}$$后为$$g(x)=\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos2x$$。

对称轴满足$$2x=k\pi$$，即$$x=\frac{k\pi}{2}$$，选项B符合。

10. 解析：

函数$$f(x)=\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{3}\right)$$右移$$\frac{\pi}{3}$$后为$$g(x)=\sin\left(\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos\frac{x}{2}$$。

对称轴满足$$\frac{x}{2}=k\pi$$，即$$x=2k\pi$$，选项C符合。

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