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正确率60.0%下列函数中，图象不关于原点对称的是（）
D
A.$${{y}}$$＝$$e^{x}-e^{-x}$$
B.$${{y}}$$＝$$\frac2 {e^{x}+1}$$$${{−}{1}}$$
C.$${{y}{=}{{l}{n}}{{(}{x}{+}{\sqrt {{x}^{2}{+}{1}}}{)}}}$$
D.$${{y}{=}{{l}{n}}{{s}{i}{n}}{x}}$$
2、['正弦（型）函数的奇偶性'， '探究φ对函数y=Asin(wx+φ)的图象的影响'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%将函数$$f ( x )=A \mathrm{s i n} \left( 2 x-\frac{\pi} {6} \right) ( A \neq0 )$$的图像向右平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图像，若函数$${{y}{=}{g}{(}{x}{−}{m}{)}{(}{m}{>}{0}{)}}$$是偶函数，则实数$${{m}}$$的最小值是（）
A
A.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
B.$$\frac{5 \pi} {6}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\pi} {1 2}$$
3、['正弦（型）函数的奇偶性']正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{(}{x}{+}{φ}{)}{(}{0}{<}{φ}{<}{π}{)}}$$为偶函数，则$${{φ}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
4、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) \left( \omega> 0， | \varphi| < \frac{\pi} {2} \right)$$，其图象与直线$${{y}{=}{1}}$$的相邻两个交点的距离分别为$$\frac{\pi} {3}$$和$$\frac{2 \pi} {3}$$，若将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度得到的函数$${{g}{(}{x}{)}}$$为奇函数，则$${{φ}}$$的值为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{\pi} {6}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$- \frac{\pi} {3}$$
6、['正切（型）函数的单调性'， '正切曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦曲线的对称轴']正确率80.0%下面有四个命题：
$${①}$$函数$${{y}{=}{{t}{a}{n}}}$$$${{x}}$$在每一个周期内都是增函数．
$${②}$$函数$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{5 \pi} {4} )$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {8}$$对称；
$${③}$$函数$${{y}{=}{{t}{a}{n}}{x}}$$的对称中心$${{(}{k}{π}{，}{0}{)}{，}{k}{∈}{Z}}$$．
$${④}$$函数$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {2} )$$是偶函数．
其中正确结论个数$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
7、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， \ | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$的最小周期为$${{4}{π}}$$，且其图象向右平移$$\frac{2 \pi} {3}$$个单位后得到的图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{φ}{=}{（}}$$）
A
A.$$- \frac{\pi} {6}$$
B.$$- \frac{\pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
8、['正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的奇偶性']正确率40.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{a}_{1}}{⋅}{{s}{i}{n}}{(}{x}{+}{{a}_{1}}{)}{+}{{a}_{2}}{⋅}{{s}{i}{n}}{(}{x}{+}{{a}_{2}}{)}{+}{.}{.}{.}{+}{{a}_{n}}{⋅}{{s}{i}{n}}{(}{x}{+}{{a}_{n}}{)}}$$，其中$${{a}_{i}{(}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{.}{.}{.}{，}{n}{，}{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}{n}{⩾}{2}{)}}$$为已知实常数，$${{x}{∈}{R}}$$，则下列命题中错误的是（）
D
A.若$$f ( 0 )=f ( \frac{\pi} {2} )=0$$，则$${{f}{(}{x}{)}{=}{0}}$$对任意实数$${{x}}$$恒成立；
B.若$${{f}{(}{0}{)}{=}{0}}$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为奇函数；
C.若$$f ( \frac{\pi} {2} )=0$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数；
D.当$$f^{2} ( 0 )+f^{2} ( \frac{\pi} {2} ) \neq0$$时，若$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{2}}{)}{=}{0}}$$，则$${{x}_{1}{−}{{x}_{2}}{=}{2}{k}{π}{(}{k}{∈}{Z}{)}}$$．
9、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '函数的对称性'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%将函数$$y=4 \operatorname{s i n} \Bigl( \frac\pi6-x \Bigr) \operatorname{s i n} x+\sqrt{3}$$的图象向右平移$${{α}{(}{α}{>}{0}{)}}$$个单位后，得到的图形关于$${{y}}$$轴对称，则$${{α}}$$的值可能为
B
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
C.$$\frac{7 \pi} {1 2}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
1. 解析：判断函数图象是否关于原点对称，即判断函数是否为奇函数。
A. $$y = e^x - e^{-x}$$，满足 $$f(-x) = e^{-x} - e^x = -f(x)$$，是奇函数，图象关于原点对称。
B. $$y = \frac{2}{e^x + 1} - 1$$，化简为 $$y = \frac{1 - e^x}{1 + e^x}$$，满足 $$f(-x) = \frac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} = -f(x)$$，是奇函数，图象关于原点对称。
C. $$y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$$，满足 $$f(-x) = \ln(-x + \sqrt{x^2 + 1}) = \ln\left(\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}\right) = -\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -f(x)$$，是奇函数，图象关于原点对称。
D. $$y = \ln \sin x$$，定义域为 $$\sin x > 0$$，不关于原点对称，且 $$f(-x)$$ 无定义，故图象不关于原点对称。
答案为 D。
2. 解析：将函数 $$f(x) = A \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$ 向右平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 个单位，得到 $$g(x) = A \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{6}\right) = A \sin\left(2x - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = A \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$$。
函数 $$y = g(x - m) = A \sin\left(2(x - m) - \frac{2\pi}{3}\right) = A \sin\left(2x - 2m - \frac{2\pi}{3}\right)$$ 为偶函数，需满足 $$-2m - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。
解得 $$m = -\frac{7\pi}{12} - \frac{k\pi}{2}$$，取 $$k = -1$$，得 $$m = \frac{5\pi}{12}$$ 为最小正值。
答案为 A。
3. 解析：函数 $$y = \sin(x + \phi)$$ 为偶函数，需满足 $$\sin(-x + \phi) = \sin(x + \phi)$$ 对所有 $$x$$ 成立。
即 $$\sin(\phi - x) = \sin(\phi + x)$$，展开得 $$\sin\phi \cos x - \cos\phi \sin x = \sin\phi \cos x + \cos\phi \sin x$$，化简得 $$-2\cos\phi \sin x = 0$$。
对所有 $$x$$ 成立，需 $$\cos\phi = 0$$，即 $$\phi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。
结合 $$0 < \phi < \pi$$，得 $$\phi = \frac{\pi}{2}$$。
答案为 C。
4. 解析：函数 $$f(x) = 2\sin(\omega x + \phi)$$ 与直线 $$y = 1$$ 的交点满足 $$\sin(\omega x + \phi) = \frac{1}{2}$$。
相邻两个交点的距离为 $$\frac{\pi}{3}$$ 和 $$\frac{2\pi}{3}$$，说明周期 $$T = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$$，故 $$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2$$。
将 $$f(x)$$ 向左平移 $$\frac{\pi}{12}$$ 个单位，得到 $$g(x) = 2\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{12}\right) + \phi\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6} + \phi\right)$$。
$$g(x)$$ 为奇函数，需满足 $$\frac{\pi}{6} + \phi = k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），即 $$\phi = -\frac{\pi}{6} + k\pi$$。
结合 $$|\phi| < \frac{\pi}{2}$$，得 $$\phi = -\frac{\pi}{6}$$。
答案为 B。
6. 解析：逐一分析命题：
① 函数 $$y = \tan x$$ 在每个周期内是增函数，但在定义域内不连续，命题表述不严谨，错误。
② 函数 $$y = \sin\left(2x + \frac{5\pi}{4}\right)$$，对称轴需满足 $$2x + \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$x = -\frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$$。当 $$k = 1$$ 时，$$x = \frac{\pi}{8}$$，正确。
③ 函数 $$y = \tan x$$ 的对称中心为 $$\left(\frac{k\pi}{2}, 0\right)$$，命题错误。
④ 函数 $$y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos 2x$$ 是偶函数，正确。
综上，正确命题为 ②④，共 2 个。
答案为 C。
7. 解析：函数 $$f(x) = \sin(\omega x + \phi)$$ 的最小周期为 $$4\pi$$，故 $$\omega = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$$。
向右平移 $$\frac{2\pi}{3}$$ 个单位后，得到 $$g(x) = \sin\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \phi\right) = \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} + \phi\right)$$。
$$g(x)$$ 关于 $$y$$ 轴对称，需 $$-\frac{\pi}{3} + \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），即 $$\phi = \frac{5\pi}{6} + k\pi$$。
结合 $$|\phi| < \frac{\pi}{2}$$，得 $$\phi = -\frac{\pi}{6}$$。
答案为 A。
8. 解析：逐一分析选项：
A. 若 $$f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$，不能保证 $$f(x) = 0$$ 对所有 $$x$$ 成立，错误。
B. 若 $$f(0) = 0$$，即 $$\sum a_i \sin a_i = 0$$，但 $$f(-x) = \sum a_i \sin(-x + a_i) = -\sum a_i \sin(x - a_i)$$，不一定等于 $$-f(x)$$，错误。
C. 若 $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$，即 $$\sum a_i \sin\left(\frac{\pi}{2} + a_i\right) = \sum a_i \cos a_i = 0$$，但 $$f(-x) = \sum a_i \sin(-x + a_i) = -\sum a_i \sin(x - a_i)$$，不一定等于 $$f(x)$$，错误。
D. 当 $$f^2(0) + f^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \neq 0$$ 时，若 $$f(x_1) = f(x_2) = 0$$，则 $$x_1 - x_2 = 2k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），正确。
答案为 D。
9. 解析：化简函数 $$y = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) \sin x + \sqrt{3}$$：
利用积化和差公式，$$4 \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) \sin x = 2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) - \cos\frac{\pi}{6}\right]$$。
故 $$y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$。
向右平移 $$\alpha$$ 个单位后，得到 $$y = 2\cos\left(2(x - \alpha) - \frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(2x - 2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$$。
关于 $$y$$ 轴对称，需 $$-2\alpha - \frac{\pi}{6} = k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），即 $$\alpha = -\frac{\pi}{12} - \frac{k\pi}{2}$$。
取 $$k = -1$$，得 $$\alpha = \frac{5\pi}{12}$$ 为可能值。
答案为 B。