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正确率60.0%已知$${{a}{∈}{R}{，}}$$则“$${{a}{=}{1}}$$”是“函数$$f ( x )=$$$$\operatorname{c o s}^{2} a x-\operatorname{s i n}^{2} a x$$的最小正周期为$${{π}}$$”的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['函数图象的翻折变换'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} \left| \frac1 2 x \right|$$是（）
D
A.周期为$${{2}{π}}$$的奇函数
B.周期为$${{4}{π}}$$的奇函数
C.周期为$${{2}{π}}$$的偶函数
D.周期为$${{4}{π}}$$的偶函数
3、['正切（型）函数的周期性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率80.0%下列函数中，最小正周期为$${{π}}$$的是（）
D
A.$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$
B.$$y=\mathrm{t a n} 2 x$$
C.$$y=\mathrm{s i n} \frac{1} {2} x$$
D.$$y=\operatorname{c o s} 2 x$$
4、['正切（型）函数的周期性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%下列函数中，最小正周期为$${{π}}$$的是（）
C
A.$$y=\operatorname{s i n} \left| x \right|$$
B.$$y=1+\mathrm{s i n} x$$
C.$$y=| \mathrm{c o s} x |$$
D.$$y=\mathrm{t a n} 2 x$$
5、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%下列函数中最小正周期为$${{π}}$$且为偶函数的是（）
B
A.$$y=\operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{\pi} {2} )$$
B.$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {2} )$$
C.$$y=\operatorname{s i n} ( x+\frac{\pi} {2} )$$
D.$$y=\operatorname{c o s} ( x-\frac{\pi} {2} )$$
6、['余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率80.0%函数$$y=3 \operatorname{c o s} 2 x+4 ( x \in\mathbf{R} )$$是（）
A
A.最小正周期为$${{π}}$$的偶函数
B.最小正周期为$${{2}{π}}$$的偶函数
C.最小正周期为$${{π}}$$的奇函数
D.最小正周期为$${{2}{π}}$$的奇函数
7、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=2 \operatorname{c o s}^{2} x-2 \operatorname{s i n}^{2} x+1$$，则（）
C
A.$${{f}{（}{x}{）}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$，最大值为$${{3}}$$
B.$${{f}{（}{x}{）}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$，最大值为$${{1}}$$
C.$${{f}{（}{x}{）}}$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$最大值为$${{3}}$$
D.$${{f}{（}{x}{）}}$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$最大值为$${{1}}$$
8、['余弦（型）函数的零点'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%将函数$$g \ ( \textbf{x} ) \ =\operatorname{c o s} \ ( \textbf{x}+\frac{\pi} {6} )$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度，得到$$y=f ~ ( x )$$的图象，则下列说法错误的是（）
D
A.$${{f}{（}{x}{）}}$$的一个周期为$${{2}{π}}$$
B.$$y=f ~ ( x )$$的图象关于直线$$x=-\frac{\pi} {3}$$对称
C.$$f \left( \begin{matrix} {x+\pi} \\ \end{matrix} \right)$$的一个零点为$$x=\frac{\pi} {6}$$
D.$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( \， \frac{\pi} {2}， \， \， \pi)$$单调递减
9、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%下列函数中是偶函数且最小正周期为$$\frac{\pi} {4}$$的是$${{(}{)}}$$
A
A.$$y=\operatorname{c o s}^{2} 4 x-\operatorname{s i n}^{2} 4 x$$
B.$$y=\operatorname{s i n} 4 x$$
C.$$y=\operatorname{s i n} 2 x+\operatorname{c o s} 2 x$$
D.$$y=\operatorname{c o s} 2 x$$
10、['正切（型）函数的周期性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率80.0%下列函数中，最小正周期为$$\frac{\pi} {2}$$的是（）
D
A.$$y=\operatorname{s i n} x$$
B.$$y=\operatorname{s i n} 2 x$$
C.$$y=\operatorname{t a n} \frac{x} {2}$$
D.$$y=\operatorname{c o s} 4 x$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = \cos^2 a x - \sin^2 a x = \cos 2a x$$，其最小正周期为 $$\frac{2\pi}{|2a|} = \frac{\pi}{|a|}$$。
题目要求周期为 $$\pi$$，即 $$\frac{\pi}{|a|} = \pi$$，解得 $$a = \pm 1$$。
因此，“$$a = 1$$”是充分条件，但不是必要条件（因为 $$a = -1$$ 也满足）。
答案：A
2. 解析：
函数 $$f(x) = \cos \left| \frac{1}{2} x \right| = \cos \left( \frac{1}{2} |x| \right)$$。
由于 $$\cos$$ 函数是偶函数，且 $$f(-x) = f(x)$$，故 $$f(x)$$ 是偶函数。
周期计算：$$\cos \left( \frac{1}{2} x \right)$$ 的周期为 $$\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$$。
答案：D
3. 解析：
A. $$y = \sin x$$ 的周期为 $$2\pi$$。
B. $$y = \tan 2x$$ 的周期为 $$\frac{\pi}{2}$$。
C. $$y = \sin \frac{1}{2} x$$ 的周期为 $$4\pi$$。
D. $$y = \cos 2x$$ 的周期为 $$\pi$$。
答案：D
4. 解析：
A. $$y = \sin |x|$$ 不是周期函数。
B. $$y = 1 + \sin x$$ 的周期为 $$2\pi$$。
C. $$y = |\cos x|$$ 的周期为 $$\pi$$（因为绝对值将周期减半）。
D. $$y = \tan 2x$$ 的周期为 $$\frac{\pi}{2}$$。
答案：C
5. 解析：
A. $$y = \cos \left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = \sin 2x$$ 是奇函数，不符合。
B. $$y = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos 2x$$ 是偶函数，周期为 $$\pi$$。
C. $$y = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos x$$ 周期为 $$2\pi$$，不符合。
D. $$y = \cos \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = \sin x$$ 是奇函数，不符合。
答案：B
6. 解析：
函数 $$y = 3 \cos 2x + 4$$ 是偶函数（因为 $$\cos$$ 是偶函数），其周期为 $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$。
答案：A
7. 解析：
函数 $$f(x) = 2 \cos^2 x - 2 \sin^2 x + 1 = 2 \cos 2x + 1$$。
周期为 $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$，最大值为 $$2 \times 1 + 1 = 3$$。
答案：C
8. 解析：
平移后函数为 $$f(x) = \cos \left( x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$$。
A. 周期为 $$2\pi$$，正确。
B. 对称轴为 $$x = -\frac{\pi}{3}$$ 时，$$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos 0 = 1$$ 是极值点，正确。
C. $$f(x + \pi) = \cos \left( x + \pi + \frac{\pi}{3} \right) = -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$$，零点为 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 时成立，正确。
D. 在 $$\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$x + \frac{\pi}{3} \in \left( \frac{5\pi}{6}, \frac{4\pi}{3} \right)$$，$$\cos$$ 函数在此区间不单调递减。
答案：D
9. 解析：
A. $$y = \cos^2 4x - \sin^2 4x = \cos 8x$$ 是偶函数，周期为 $$\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$$。
B. $$y = \sin 4x$$ 是奇函数，不符合。
C. $$y = \sin 2x + \cos 2x$$ 不是偶函数，不符合。
D. $$y = \cos 2x$$ 周期为 $$\pi$$，不符合。
答案：A
10. 解析：
A. $$y = \sin x$$ 周期为 $$2\pi$$。
B. $$y = \sin 2x$$ 周期为 $$\pi$$。
C. $$y = \tan \frac{x}{2}$$ 周期为 $$2\pi$$。
D. $$y = \cos 4x$$ 周期为 $$\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$。
答案：D