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正确率60.0%关于函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \left| x \right|+\left| \operatorname{s i n} x \right|$$有下述四个结论：
①$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数；
②$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$\left( \frac{\pi} {2}， \pi\right)$$单调递增；
③$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-\pi， \pi]$$有$${{4}}$$个零点；
④$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值为$${{2}}$$.
其中所有正确结论的编号是（）
C
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
2、['正弦（型）函数的单调性'， '三角函数的图象与性质']正确率80.0%已知函数$$y=\operatorname{s i n} ( 3 x+\varphi) ( 0 < \varphi< \pi)$$在区间$$(-\frac{2 \pi} {9}， \frac{\pi} {1 2} )$$上单调，则$${{φ}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$[ 0， \frac{\pi} {6} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {4} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} ]$$
D.$$[ \frac{2 \pi} {3}， \frac{5 \pi} {6} ]$$
3、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的周期性']正确率40.0%已知三角函数$$f ( x )=A \operatorname{s i n} ( \omega x+\phi)+b$$同时满足以下三个条件$${①}$$定义域为$${{R}{；}{②}}$$对任意实数$${{x}}$$都有$$f ( x ) \leqslant f ( 3 )， ~ \circledast f ( x+2 )=\frac{1} {2}+\sqrt{f ( x )-f^{2} ( x )}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的单增区间为$${{(}{)}}$$
B
A.$$[ 4 k-1， 4 k+1 ]， k \in Z$$
B.$$[ 4 k+1， 4 k+3 ]， k \in Z$$
C.$$[ 8 k-1， 8 k+3 ]， k \in Z$$
D.$$[ 8 k+2， 8 k+6 ]， k \in Z$$
4、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=| \operatorname{s i n} x | \cdot| \operatorname{c o s} x |$$，则下列说法不正确的是（）
A
A.$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称
B.$${{f}{（}{x}{）}}$$的周期为$$\frac{\pi} {2}$$
C.$$( \pi， \ 0 )$$是$${{f}{（}{x}{）}}$$的一个对称中心
D.$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$[ \frac{\pi} {4}， \ \frac{pi} {2} ]$$上单调递减
5、['正弦（型）函数的单调性'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%svg异常
C
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
6、['正弦（型）函数的单调性']正确率40.0%svg异常
A
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
7、['利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的单调性'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%三个数$$\operatorname{c o s} \frac{3} {2}， ~ \operatorname{s i n} \frac{1} {1 0}， ~ \operatorname{c o s} \frac{7} {4}$$的大小关系是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\operatorname{s i n} \frac1 {1 0} > \operatorname{c o s} \frac3 2 >-\operatorname{c o s} \frac7 4$$
B.$$\operatorname{c o s} \frac3 2 >-\operatorname{c o s} \frac7 4 > \operatorname{s i n} \frac1 {1 0}$$
C.$$\operatorname{c o s} {\frac{3} {2}} < \operatorname{s i n} {\frac{1} {1 0}} <-\operatorname{c o s} {\frac{7} {4}}$$
D.$$- \operatorname{c o s} {\frac{7} {4}} < \operatorname{s i n} {\frac{1} {1 0}} < \operatorname{c o s} {\frac{3} {2}}$$
8、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s}^{2} x-\operatorname{s i n}^{2} x-2 \mathrm{s i n} x \mathrm{c o s} x$$，给出下列四个结论
$${①}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期是$${{π}{;}}$$
$${②}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$\left( \frac{3 \pi} {8}， \frac{5 \pi} {8} \right)$$单调递增；
$${③}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[ 0， \frac{\pi} {2} \Big]$$上的最小值为$${{−}{1}}$$；
$${④}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象的一条对称轴为$$x=\frac{5 \pi} {8}$$．
其中正确结论的个数是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['正弦（型）函数的单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题']正确率19.999999999999996%已知$$\alpha， \， \， \， \beta\in( 0， \frac{\pi} {2} )， \， \， \， \beta\operatorname{s i n} \alpha-\alpha\operatorname{s i n} \beta> 0$$，则下列不等式一定成立的是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\alpha+\beta< \frac{\pi} {2}$$
B.$$\alpha+\beta=\frac{\pi} {2}$$
C.$${{α}{<}{β}}$$
D.$${{α}{>}{β}}$$
10、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的单调性'， '正弦曲线的对称轴']正确率40.0%已知直线$$x=\frac{\pi} {3}$$是函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi) \left( | \varphi| < \frac{\pi} {2} \right)$$的图象的一条对称轴，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个单调递减区间是（）
B
A.$$\left( \frac{\pi} {6}， \frac{2 \pi} {3} \right)$$
B.$$\left( \frac{\pi} {3}， \frac{5 \pi} {6} \right)$$
C.$$\left( \frac{\pi} {2}， \pi\right)$$
D.$$\left( \frac{2 \pi} {3}， \pi\right)$$
1. 解析：
① 检查偶函数性质：$$f(-x) = \sin|-x| + |\sin(-x)| = \sin|x| + |\sin x| = f(x)$$，故①正确。
② 在区间 $$\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$f(x) = \sin x + \sin x = 2\sin x$$，由于 $$\sin x$$ 在此区间单调递减，故②错误。
③ 在 $$[-\pi, \pi]$$ 上，$$f(x) = 0$$ 的解为 $$x = 0, \pi, -\pi$$（注意 $$x \in (-\pi, 0)$$ 时 $$f(x) = \sin(-x) - \sin x = 0$$ 无解），共3个零点，故③错误。
④ 最大值出现在 $$x = \frac{\pi}{2}$$，$$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 + 1 = 2$$，故④正确。
综上，正确答案为 C.①④。
2. 解析：
函数 $$y = \sin(3x + \varphi)$$ 的单调性由导数决定：$$y' = 3\cos(3x + \varphi)$$。
要求在区间 $$\left( -\frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{12} \right)$$ 单调，需 $$y'$$ 恒正或恒负。
计算端点：
- 当 $$x = -\frac{2\pi}{9}$$，$$3x + \varphi = -\frac{2\pi}{3} + \varphi \in \left( -\frac{2\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3} + \pi \right)$$。
- 当 $$x = \frac{\pi}{12}$$，$$3x + \varphi = \frac{\pi}{4} + \varphi \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$$。
为保证 $$y'$$ 恒正，需 $$\cos(3x + \varphi) > 0$$ 对所有 $$x \in \left( -\frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{12} \right)$$ 成立。
解得 $$\varphi \in \left[ \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6} \right]$$，故正确答案为 D。
3. 解析：
由条件②，$$f(x)$$ 在 $$x = 3$$ 处取得最大值，故 $$A + b$$ 为最大值。
由条件③，$$f(x+2) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f^2(x)}$$，设 $$f(x) = \sin^2 \theta$$，则 $$f(x+2) = \frac{1}{2} + \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin 2\theta$$。
推测 $$f(x)$$ 为周期函数，周期为4，且单增区间为 $$[4k-1, 4k+1]$$，故正确答案为 A。
4. 解析：
函数 $$f(x) = |\sin x| \cdot |\cos x| = \frac{1}{2}|\sin 2x|$$。
- A：$$f\left( \pi - x \right) = \frac{1}{2}|\sin(2\pi - 2x)| = \frac{1}{2}|\sin 2x| = f(x)$$，故关于 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 对称，A正确。
- B：周期为 $$\frac{\pi}{2}$$（因为 $$\sin 2x$$ 周期为 $$\pi$$，取绝对值后减半），B正确。
- C：$$f(\pi + x) = \frac{1}{2}|\sin(2\pi + 2x)| = \frac{1}{2}|\sin 2x| \neq -f(x)$$，故 $$(\pi, 0)$$ 不是对称中心，C错误。
- D：在 $$\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right]$$，$$2x \in \left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right]$$，$$\sin 2x$$ 单调递减，故 $$f(x)$$ 单调递减，D正确。
综上，不正确的是 C。
7. 解析：
比较三个数：
- $$\cos \frac{3}{2} \approx \cos 1.5 \approx 0.0707$$（弧度）。
- $$\sin \frac{1}{10} \approx 0.0998$$。
- $$\cos \frac{7}{4} \approx \cos 1.75 \approx -0.1782$$，故 $$-\cos \frac{7}{4} \approx 0.1782$$。
大小关系为 $$\cos \frac{3}{2} < \sin \frac{1}{10} < -\cos \frac{7}{4}$$，故正确答案为 C。
8. 解析：
函数 $$f(x) = \cos 2x - \sin 2x = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$。
- ① 周期为 $$\pi$$，正确。
- ② 在 $$\left( \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8} \right)$$，$$2x + \frac{\pi}{4} \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$$，$$\cos$$ 单调递增，故 $$f(x)$$ 单调递增，正确。
- ③ 在 $$\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$$，最小值为 $$-1$$（当 $$x = \frac{\pi}{2}$$），正确。
- ④ 对称轴为 $$2x + \frac{\pi}{4} = k\pi$$，即 $$x = \frac{5\pi}{8}$$ 是其中之一，正确。
综上，正确答案为 D.4。
9. 解析：
由 $$\beta \sin \alpha - \alpha \sin \beta > 0$$，得 $$\frac{\sin \alpha}{\alpha} > \frac{\sin \beta}{\beta}$$。
考察函数 $$f(x) = \frac{\sin x}{x}$$ 在 $$\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$ 的单调性：
$$f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} < 0$$（因为 $$x < \tan x$$），故 $$f(x)$$ 单调递减。
因此 $$\alpha < \beta$$，故正确答案为 C。
10. 解析：
对称轴 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 满足 $$2 \cdot \frac{\pi}{3} + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$\varphi = -\frac{\pi}{6} + k\pi$$。
由 $$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$$，取 $$\varphi = -\frac{\pi}{6}$$。
函数为 $$f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$，单调递减区间满足 $$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$。
解得 $$\frac{\pi}{3} + k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + k\pi$$，故选项 B 正确。