正弦（型）函数的周期性-5.4 三角函数的图象与性质知识点课后进阶选择题自测题解析-海南省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的周期性'， '导数与极值']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \omega x ( \omega> 0 )$$在$$( 0， \ 1 )$$上恰有一个极值点和一个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是（）

A.$$\left( \pi， \frac{3 \pi} {2} \right]$$

B.$$[ \pi， \frac{3 \pi} {2} )$$

C.$$\left( \frac{3 \pi} {2}， \pi\right]$$

D.$$\left[ \frac{\pi} {2}， \pi\right]$$

2、['正切（型）函数的奇偶性'， '正切（型）函数的周期性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']

正确率40.0%下列函数中，是最小正周期为$${{1}}$$的奇函数的是
（）

A.$${{y}{=}{{s}{i}{n}{π}}{x}}$$

B.$$y=\operatorname{s i n} ( 2 \pi x+\frac{\pi} {3} )$$

C.$${{y}{=}{{t}{a}{n}{π}}{x}}$$

D.$$y=\operatorname{s i n}^{2} 2 \pi x$$

3、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴']

正确率60.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \Bigl( x+\frac{\pi} {3} \Bigr)$$，则下列结论错误的是（）

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个周期为$${{2}{π}}$$

B.$$y=f ( x )$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于点$$\left( \frac{2 \pi} {3}， 0 \right)$$对称

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$\left( \frac{\pi} {2}， \pi\right)$$上单调递增

4、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0 )$$的图象过点$$( \frac{\pi} {9}， 2 )$$，相邻两个对称中心的距离是$$\frac{\pi} {3}$$，则下列说法不正确的是（）

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$$\frac{2 \pi} {3}$$

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的一条对称轴为$$x=\frac{4 \pi} {9}$$

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {9}} \\ \end{array}$$个单位长度所得图象关于$${{y}}$$轴
对称

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-\frac{\pi} {9}， \frac{\pi} {9} ]$$上是减函数

5、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']

正确率60.0%下列函数中，以$${{π}}$$为最小正周期的偶函数，且在$$( 0， \; \; \frac{\pi} {4} )$$上单调递增的函数是（）

A.$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$

B.$$y=\operatorname{s i n} 2 | x |$$

C.$$y=-\operatorname{c o s} 2 x$$

D.$$y=\operatorname{c o s} 2 x$$

6、['正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} \begin{matrix} {( \omega x+\frac{\pi} {4} )} \\ \end{matrix} \left( \begin{matrix} {\omega> 0} \\ \end{matrix} \right)$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$则该函数的图象（）

A.关于点$$( \frac{\pi} {4}， \ 0 )$$对称

B.关于直线$$x=\frac{\pi} {8}$$对称

C.关于点$$( \， \frac{\pi} {8}， \， \， 0 )$$对称

D.关于直线$$x=\frac{\pi} {4}$$对称

7、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=A \operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( A > 0， \omega> 0 )$$，若$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[ 0， \frac{\pi} {2} \Big]$$是单调函数，且$$f (-\pi)=f ( 0 )=-f \left( \frac{\pi} {2} \right)$$，则$${{ω}}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\frac{1} {2}$$或$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$或$${{2}}$$

8、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式']

正确率40.0%若$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi)+\operatorname{c o s} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0 )$$的最小正周期为$$\pi， ~ f ( 0 )=\sqrt{2}，$$则

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left(-\frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {4} \right)$$单调递增

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left(-\frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {4} \right)$$单调递减

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)$$单调递增

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)$$单调递减

9、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n}^{2} x+\sqrt{3} \mathrm{s i n} x \mathrm{c o s} x$$，则（）

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值为$${{2}}$$

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于点$$\left( \frac{\pi} {1 2}， 0 \right)$$对称

D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( \frac{\pi} {3}， \frac{5 \pi} {6} )$$上单调递减

10、['向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的周期性']

正确率40.0%设$$\overrightarrow{a_{n}}=\left( \operatorname{c o s} \frac{n \pi} {6}， \operatorname{s i n} \frac{n \pi} {6} \right)， \， \， \， n \in N^{*}， \， \， \overrightarrow{b}=\left( \frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} \right)， \， \， y=\left| \overrightarrow{a_{1}}+\overrightarrow{b} \right|^{2}+\left| \overrightarrow{a_{2}}+\overrightarrow{b} \right|^{2}+\cdots+\left| \overrightarrow{a_{2 0 1 5}}+\overrightarrow{b} \right|^{2}$$的值为（）

A.$$4 0 3 0 \mathrm{~} \frac1 2$$

B.$${{4}{0}{3}{0}}$$

C.$$4 0 2 9 \frac1 2$$

D.$${{4}{0}{2}{9}}$$

1. 解析：函数 $$f(x) = \sin \omega x$$ 在区间 $$(0, 1)$$ 上恰有一个极值点和一个零点。

极值点条件：导数 $$f'(x) = \omega \cos \omega x$$ 在 $$(0, 1)$$ 上有一个零点，即 $$\omega x = \frac{\pi}{2}$$ 在 $$(0, 1)$$ 内有唯一解，故 $$\frac{\pi}{2} < \omega \leq \frac{3\pi}{2}$$。零点条件：$$\sin \omega x = 0$$ 在 $$(0, 1)$$ 上有一个解，即 $$\pi < \omega \leq 2\pi$$。综上，$$\omega \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right]$$，选 A。

2. 解析：要求最小正周期为 1 的奇函数。

A 选项：$$y = \sin \pi x$$，周期 $$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$$，不符合。 B 选项：$$y = \sin \left( 2\pi x + \frac{\pi}{3} \right)$$，周期 $$T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$$，但非奇函数。 C 选项：$$y = \tan \pi x$$，周期 $$T = \frac{\pi}{\pi} = 1$$，且为奇函数，符合条件。 D 选项：$$y = \sin^2 2\pi x$$，周期 $$T = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$$，不符合。故选 C。

3. 解析：分析函数 $$f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$$ 的性质。

A 选项：正弦函数周期为 $$2\pi$$，正确。 B 选项：验证对称性，$$f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，但 $$f\left( \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$，不对称，错误。 C 选项：验证对称点，$$f\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \pi = 0$$，正确。 D 选项：在 $$\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$ 上，$$x + \frac{\pi}{3} \in \left( \frac{5\pi}{6}, \frac{4\pi}{3} \right)$$，正弦函数在此区间非单调递增，错误。故选 B。

4. 解析：函数 $$f(x) = 2\sin (\omega x + \varphi)$$ 过点 $$\left( \frac{\pi}{9}, 2 \right)$$，且相邻对称中心距离为 $$\frac{\pi}{3}$$。

由对称中心距离得周期 $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3}$$，故 $$\omega = 3$$。代入点 $$\left( \frac{\pi}{9}, 2 \right)$$ 得 $$2 = 2\sin \left( 3 \cdot \frac{\pi}{9} + \varphi \right)$$，即 $$\sin \left( \frac{\pi}{3} + \varphi \right) = 1$$，故 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。 A 选项：周期 $$T = \frac{2\pi}{3}$$，正确。 B 选项：对称轴为 $$x = \frac{4\pi}{9}$$，验证 $$f\left( \frac{4\pi}{9} \right) = 2\sin \left( 3 \cdot \frac{4\pi}{9} + \frac{\pi}{6} \right) = 2\sin \left( \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 2\sin \frac{3\pi}{2} = -2$$，为极值点，正确。 C 选项：左移 $$\frac{\pi}{9}$$ 后函数为 $$2\sin \left( 3 \left( x + \frac{\pi}{9} \right) + \frac{\pi}{6} \right) = 2\sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 2\sin \left( 3x + \frac{\pi}{2} \right) = 2\cos 3x$$，关于 $$y$$ 轴对称，正确。 D 选项：在 $$\left[ -\frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{9} \right]$$ 上，$$3x + \frac{\pi}{6} \in \left[ -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right]$$，正弦函数在此区间非单调递减，错误。故选 D。

5. 解析：要求最小正周期为 $$\pi$$ 的偶函数，且在 $$\left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$$ 上单调递增。

A 选项：$$y = \sin x$$ 非偶函数，排除。 B 选项：$$y = \sin 2|x|$$ 为偶函数，周期 $$\pi$$，但在 $$\left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$$ 上单调递增，符合。 C 选项：$$y = -\cos 2x$$ 为偶函数，周期 $$\pi$$，但在 $$\left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$$ 上单调递减，排除。 D 选项：$$y = \cos 2x$$ 为偶函数，周期 $$\pi$$，但在 $$\left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$$ 上单调递减，排除。故选 B。

6. 解析：函数 $$f(x) = \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{4} \right)$$ 的最小正周期为 $$\pi$$，故 $$\omega = 2$$。

A 选项：验证 $$f\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{3\pi}{4} \neq 0$$，不对称。 B 选项：验证 $$f\left( \frac{\pi}{8} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$，为极值点，对称。 C 选项：验证 $$f\left( \frac{\pi}{8} \right) \neq 0$$，不对称。 D 选项：验证 $$f\left( \frac{\pi}{4} \right) \neq \pm 1$$，不对称。故选 B。

7. 解析：函数 $$f(x) = A\sin (\omega x + \varphi)$$ 满足 $$f(-\pi) = f(0) = -f\left( \frac{\pi}{2} \right)$$。

由 $$f(0) = f(-\pi)$$ 得 $$\sin \varphi = \sin (-\omega \pi + \varphi)$$，故 $$\omega \pi = 2k\pi$$ 或 $$\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$。由 $$f(0) = -f\left( \frac{\pi}{2} \right)$$ 得 $$\sin \varphi = -\sin \left( \frac{\omega \pi}{2} + \varphi \right)$$。若 $$\omega \pi = 2k\pi$$，则 $$\omega = 2k$$，代入得 $$\sin \varphi = -\sin (k\pi + \varphi)$$，解得 $$\omega = 2$$。若 $$\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，则 $$\sin \left( \frac{\omega \pi}{2} + \frac{\pi}{2} + k\pi \right) = 0$$，解得 $$\omega = \frac{2}{3} + \frac{4m}{3}$$，取最小正整数 $$\omega = \frac{2}{3}$$。综上，$$\omega = 2$$ 或 $$\frac{2}{3}$$，选 D。

8. 解析：函数 $$f(x) = \sin (\omega x + \varphi) + \cos (\omega x + \varphi) = \sqrt{2} \sin \left( \omega x + \varphi + \frac{\pi}{4} \right)$$。

由最小正周期 $$\pi$$ 得 $$\omega = 2$$。由 $$f(0) = \sqrt{2}$$ 得 $$\sin \left( \varphi + \frac{\pi}{4} \right) = 1$$，故 $$\varphi = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$$。函数为 $$f(x) = \sqrt{2} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{2} \cos 2x$$。在 $$\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$ 上，$$2x \in (0, \pi)$$，余弦函数单调递减，故选 D。

9. 解析：函数 $$f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = \frac{1}{2} + \sin \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right)$$。

A 选项：周期 $$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$，错误。 B 选项：最大值为 $$\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$，错误。 C 选项：验证 $$f\left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} + \sin 0 = \frac{1}{2} \neq 0$$，不对称。 D 选项：在 $$\left( \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6} \right)$$ 上，$$2x - \frac{\pi}{6} \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)$$，正弦函数在此区间单调递减，正确。故选 D。

10. 解析：向量 $$\overrightarrow{a_n} = \left( \cos \frac{n\pi}{6}, \sin \frac{n\pi}{6} \right)$$，$$\overrightarrow{b} = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$。

计算 $$y = \sum_{n=1}^{2015} \left| \overrightarrow{a_n} + \overrightarrow{b} \right|^2 = \sum_{n=1}^{2015} \left( \cos \frac{n\pi}{6} + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \sin \frac{n\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$$。展开得 $$y = \sum_{n=1}^{2015} \left( 2 + \cos \frac{n\pi}{6} + \sqrt{3} \sin \frac{n\pi}{6} \right) = 2015 \times 2 + \sum_{n=1}^{2015} 2\sin \left( \frac{n\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right)$$。由于 $$\sin \left( \frac{n\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right)$$ 的周期为 12，且一个周期内和为 0，故总和为 0。因此 $$y = 4030$$，选 B。

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