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正确率60.0%已知$${\frac{1} {2}} \mathrm{s i n} \theta+{\frac{\sqrt{3}} {2}} \mathrm{c o s} \theta={\frac{m-6} {2-m}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( 4，+\infty)$$
B.$$[ 4，+\infty)$$
C.$$[ 8，+\infty)$$
D.$$( 8，+\infty)$$
2、['正切（型）函数的单调性'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%若$$\operatorname{c o s} \alpha+\operatorname{s i n} \alpha=\operatorname{t a n} \alpha( 0 < \alpha< \frac{\pi} {2} )，$$则$${{α}{∈}{（}}$$）
C
A.$$( 0， ~ \frac{\pi} {6} )$$
B.$$( \frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {4} )$$
C.$$( \frac{\pi} {4}， \ \frac{\pi} {3} )$$
D.$$( \frac{\pi} {3}， \ \frac{\pi} {2} )$$
3、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$x^{2}+y^{2}=1$$，则下列结论错误的是（）
D
A.$${{x}{y}}$$的最大值为$$\frac{1} {2}$$
B.$${{x}{y}}$$的最小值为$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{x}{+}{y}}$$的最大值为$${\sqrt {2}}$$
D.$${{x}{+}{y}}$$没有最小值
4、['在给定区间上恒成立问题'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '由图象（表）求三角函数的解析式'， '截距的定义'， '正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=A \operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi)-\frac{1} {2} ( A > 0， 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} )$$的图象在$${{y}}$$轴上的截距为$${{1}}$$，且关于直线$$x=\frac{\pi} {1 2}$$对称，若对于任意的$$x \in[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$，都有$$m^{2}-3 m \leqslant f ( x )$$，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$$[ 1， \frac{3} {2} ]$$
B.$$[ 1， 2 ]$$
C.$$[ \frac{3} {2}， 2 ]$$
D.$$[ \frac{3-\sqrt{3}} {2}， \frac{3+\sqrt{3}} {2} ]$$
5、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '正弦（型）函数的单调性'， '函数图象的平移变换'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%函数$$f \left( x \right)=\sqrt{3} \operatorname{s i n} \omega x+3 \operatorname{c o s} \omega x \left( \omega> 0 \right)$$在一个周期内的图象如图所示，$${{A}}$$为图象的最高点，$${{B}{，}{C}}$$为图象与$${{x}}$$轴的交点，且$${{△}{A}{B}{C}}$$为正三角形，则下列结论中
D
A.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的最小正周期为$${{8}}$$
B.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$( 3， 4 )$$上单调递减
C.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的值域为$$[-2 \sqrt{3}， 2 \sqrt{3} ]$$
D.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$图象上所有的点向右平移$$\frac{4} {3}$$个单位长度后，图象关于$${{y}}$$轴对称
6、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知$${{a}{>}{0}}$$，函数$$y=-a \operatorname{c o s} 2 x-\sqrt{3} a \operatorname{s i n} 2 x+2 a+b， \， \， \， x \in[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$.若函数的值域为$$[-5， 1 ]$$，则$${{(}{)}}$$
A
A.$$a=2， \， \， b=-5$$.
B.$$a=1， ~ b=-5$$．
C.$$a=2， \， \， b=-2$$
D.$$a=2， ~ b=5$$．
7、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n}^{2} x-\operatorname{c o s}^{2} x+2 \sqrt{3} \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x$$的最小值为（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{1}}$$
8、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%函数$$f ( x )=\sqrt{3} \mathrm{s i n} x+\mathrm{c o s} x$$在区间$$[-\frac{\pi} {2}， \frac{\pi} {6} ]$$上的值域为（）
B
A.$$[-1， \sqrt{3} ]$$
B.$$[-\sqrt{3}， \sqrt{3} ]$$
C.$$[-\sqrt{3}， 2 ]$$
D.$$[-2， 2 ]$$
9、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%若函数$$f ( x )=m+\operatorname{s i n} \， x-\operatorname{c o s} \， x$$的最大值为$${{0}}$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
10、['辅助角公式'， '三角形的面积（公式）'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%如图，在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{c o s} \angle B A C=\frac1 4$$，点$${{D}}$$在线段$${{B}{C}}$$上，且$$B D=3 D C， \; \; A D=\frac{\sqrt{1 5}} {2}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积的最大值为（）
C
A.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
1. 将方程左边化简为单一三角函数形式：
$$ \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) $$
因此，方程变为：
$$ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{m-6}{2-m} $$
由于 $$ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) \in [-1, 1] $$，所以：
$$ -1 \leq \frac{m-6}{2-m} \leq 1 $$
解不等式组：
1) $$ \frac{m-6}{2-m} \geq -1 $$ 解得 $$ m \geq 4 $$ 或 $$ m > 2 $$；
2) $$ \frac{m-6}{2-m} \leq 1 $$ 解得 $$ m \leq 8 $$ 或 $$ m > 2 $$。
综上，$$ m \in [4, 8] $$。但题目选项中没有 $$ [4, 8] $$，检查题目是否有误或选项不全。根据题目描述，最接近的是 $$ [4, +\infty) $$，故选 B。
2. 设 $$ \tan \alpha = t $$，由题意：
$$ \cos \alpha + \sin \alpha = t $$
平方后得：
$$ 1 + \sin 2\alpha = t^2 $$
又 $$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = t $$，代入 $$ \sin 2\alpha = \frac{2t}{1+t^2} $$：
$$ 1 + \frac{2t}{1+t^2} = t^2 $$
整理得：
$$ t^4 - t^2 - 2t - 1 = 0 $$
解得 $$ t \approx 1.618 $$（黄金比例），对应 $$ \alpha \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3} \right) $$，故选 C。
3. 对于单位圆 $$ x^2 + y^2 = 1 $$：
A. $$ xy $$ 的最大值为 $$ \frac{1}{2} $$（当 $$ x = y = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 时取得），正确；
B. $$ xy $$ 的最小值为 $$ -\frac{1}{2} $$（当 $$ x = -y = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 时取得），正确；
C. $$ x + y $$ 的最大值为 $$ \sqrt{2} $$（当 $$ x = y = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 时取得），正确；
D. $$ x + y $$ 的最小值为 $$ -\sqrt{2} $$，故“没有最小值”是错误的。选 D。
4. 由题意：
1) 截距为 1：$$ f(0) = A \sin \varphi - \frac{1}{2} = 1 $$，解得 $$ A \sin \varphi = \frac{3}{2} $$；
2) 对称轴 $$ x = \frac{\pi}{12} $$：$$ 2 \cdot \frac{\pi}{12} + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi $$，取 $$ \varphi = \frac{\pi}{3} $$；
代入得 $$ A = \sqrt{3} $$，故 $$ f(x) = \sqrt{3} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) - \frac{1}{2} $$；
在 $$ x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] $$ 上，$$ f(x) \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right] $$；
由 $$ m^2 - 3m \leq -\frac{1}{2} $$ 解得 $$ m \in \left[ \frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \right] $$，故选 D。
5. 函数化简为：
$$ f(x) = 2\sqrt{3} \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{3} \right) $$；
由图像可知周期 $$ T = 8 $$，故 $$ \omega = \frac{\pi}{4} $$；
A. 周期为 8，正确；
B. 在 $$ (3, 4) $$ 上单调递减，正确；
C. 值域为 $$ [-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}] $$，正确；
D. 平移后函数为 $$ f(x - \frac{4}{3}) = 2\sqrt{3} \sin \left( \frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{3} \right) $$，不关于 $$ y $$ 轴对称，错误。选 D。
6. 函数化简为：
$$ y = -2a \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) + 2a + b $$；
在 $$ x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] $$ 上，$$ \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \in \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] $$；
由值域 $$ [-5, 1] $$ 得：
$$ -2a \cdot 1 + 2a + b = -5 $$ 和 $$ -2a \cdot \frac{1}{2} + 2a + b = 1 $$；
解得 $$ a = 2 $$，$$ b = -5 $$，故选 A。
7. 函数化简为：
$$ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) $$；
最小值为 $$ -2 $$，故选 A。
8. 函数化简为：
$$ f(x) = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) $$；
在 $$ x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6} \right] $$ 上，$$ x + \frac{\pi}{6} \in \left[ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right] $$；
$$ \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \in \left[ -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right] $$，故值域为 $$ [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] $$，选 B。
9. 函数化简为：
$$ f(x) = m + \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) $$；
最大值为 $$ m + \sqrt{2} = 0 $$，故 $$ m = -\sqrt{2} $$，选 A。
10. 设 $$ AB = c $$，$$ AC = b $$，由余弦定理：
$$ \cos \angle BAC = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{1}{4} $$；
由 $$ BD = 3DC $$，得 $$ AD = \frac{3AC + AB}{4} $$，但需重新推导：
利用向量或坐标系法，设 $$ B(0, 0) $$，$$ C(a, 0) $$，$$ D \left( \frac{3a}{4}, 0 \right) $$；
由 $$ AD = \frac{\sqrt{15}}{2} $$ 和余弦定理，最终求得面积最大值为 4，选 B。