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正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{（}{2}{x}{+}{φ}{）}{（}{−}{π}{<}{φ}{<}{0}{）}}$$．将$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数$${{f}{（}{x}{）}}$$，下列命题正确的是（）
C
A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$( \mathrm{~-~ \frac{\pi} {6}， ~} \frac{\pi} {3} )$$上有最小值
B.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的一条对称轴为$$x=\frac{\pi} {1 2}$$
C.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$( \mathrm{~-~ \frac{\pi} {6}， ~} \frac{\pi} {3} )$$上单调递增
D.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的一个对称点为$${( \frac{\pi} {3}， 0 )}$$
2、['正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{{s}{i}{n}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}}$$（$${{ω}}$$$${{>}{0}}$$，$$| \varphi| < \frac{\pi} {2}$$）的最小正周期$$T \geq\frac{3 \pi} {4}$$，且$$x=\frac{7 \pi} {1 2}$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的一条对称轴，$$\left( \frac{\pi} {3}， 0 \right)$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个对称中心，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left(-\frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {6} \right)$$上的取值范围是（）
B
A.（$${{−}{1}}$$，$${\sqrt {3}}$$$${{]}}$$
B.（$${{−}{1}}$$，$${{2}{]}}$$
C.（$$- \frac{1} {2}$$，$${{1}{]}}$$
D.$${{[}{−}{1}}$$，$${{2}{]}}$$
3、['正弦曲线的对称中心']正确率60.0%下列各点中，可以作为函数$$f ( x )=2 \mathrm{s i n} \left( x-\frac{\pi} {3} \right)+1$$的图像的对称中心的是（）
A
A.$$\frac{\pi} {3}， 1$$
B.$$\frac{\pi} {6}， 1$$
C.$$\frac{\pi} {3}， 0$$
D.$$\frac{\pi} {6}， 0$$
4、['正弦曲线的对称中心'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%将函数$$y=\operatorname{s i n} ~ ( \mathbf{2} x+\frac{\pi} {1 2} )$$的图象向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度，则平移后的图象对称中心为（）
C
A.$$( \frac{k \pi} {2}-\frac{\pi} {8}， \ 0 ) \quad( \ k \in Z )$$
B.$$( \frac{k \pi} {2}-\frac{\pi} {6}， \ 0 ) \quad( \ k \in Z )$$
C.$$( \frac{k \pi} {2}+\frac{\pi} {8}， \ 0 ) \quad( \ k \in Z )$$
D.$$( \frac{k \pi} {2}+\frac{\pi} {6}， \ 0 ) \quad( \ k \in Z )$$
5、['三角恒等变换综合应用'， '正弦曲线的对称中心']正确率40.0%下列选项中为函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} \Bigl( 2 x-\frac{\pi} {6} \Bigr) \operatorname{s i n} 2 x-\frac1 4$$的一个对称中心为
A
A.$$( \frac{7 \pi} {2 4}， 0 )$$
B.$$( \frac{\pi} {3}， 0 )$$
C.$$( \frac{\pi} {3}，-\frac{1} {4} )$$
D.$$( \frac{\pi} {1 2}， 0 )$$
6、['正切（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%给出下列命题：$${①}$$函数$$y=\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}+\frac{2} {3} x )$$是奇函数；$${②}$$存在实数$${{x}}$$，使得$${{s}{i}{n}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}{=}{2}{；}{③}}$$若角$${{α}{，}{β}}$$是第一象限角，且$${{α}{<}{β}{，}}$$则$$\operatorname{t a n} \alpha< \operatorname{t a n} \beta; ~ \oplus x=\frac{\pi} {8}$$是函数$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{5} {4} \pi)$$的一条对称轴；$${⑤}$$函数$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {3} )$$的图像关于点$$( \frac{\pi} {1 2}， 0 )$$成中心对称，其中正确的命题是 （）
C
A.$${②{④}}$$
B.$${①{③}}$$
C.$${①{④}}$$
D.$${④{⑤}}$$
7、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '由y=sin x 的图像得到y=A sin(wx+φ)（A>0，w>0）的图象变换过程'， '正弦（型）函数的单调性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}{，}{g}{{(}{x}{)}}{=}{2}{\sqrt {2}}{{s}{i}{n}}{x}{{c}{o}{s}}{x}}$$，则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.两个函数的图像均关于点$$\left(-\frac{\pi} {4}， 0 \right)$$成中心对称
B.函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图像上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的$${{2}}$$倍，再向右平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度后得到函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$的图像
C.两个函数在区间$$\left(-\frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {4} \right)$$上都是增函数
D.两个函数的最小正周期相同
9、['根据元素与集合的关系求参数'， '对数函数y= log2 X的图象和性质'， '正弦曲线的对称中心'， '利用函数奇偶性求解析式']正确率40.0%以下命题中，正确命题的个数有：
$${①}$$函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$与函数$$f \left( x \right)=\operatorname{l o g}_{\frac1 2} x$$的图象关于$${{x}}$$轴对称；
$${②}$$集合$${{A}{=}{\{}{x}{|}{a}{{x}^{2}}{−}{4}{x}{+}{4}{=}{0}{，}{a}{∈}{R}{\}}}$$恰有一个元素，则实数$${{a}}$$的值为$${{1}}$$；
$${③}$$函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$图象的对称中心坐标为$${{(}{k}{π}{，}{0}{)}{，}{(}{k}{∈}{Z}{)}}$$；
$${④}$$已知定义在$${{R}}$$上的奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$，当$${{x}{>}{0}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}}$$，则当$${{x}{<}{0}}$$时，$$f \left( x \right)=-\frac{1} {2^{x}}$$．
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
1. 解析：
函数 $$f(x) = \sin(2x + \phi)$$ 向左平移 $$\frac{\pi}{3}$$ 个单位后得到 $$g(x) = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \phi\right) = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3} + \phi\right)$$。由于 $$g(x)$$ 是偶函数，对称轴为 $$x = 0$$，故 $$\frac{2\pi}{3} + \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。
由 $$-\pi < \phi < 0$$，解得 $$\phi = -\frac{\pi}{6}$$，所以 $$f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$。
选项分析：
- A：区间 $$\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$$ 包含最小值点 $$x = -\frac{\pi}{12}$$，正确。
- B：对称轴满足 $$2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$$，当 $$k = -1$$ 时 $$x = -\frac{\pi}{6}$$，不包含 $$\frac{\pi}{12}$$，错误。
- C：导数 $$f'(x) = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$，在 $$\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$$ 上不恒为正，错误。
- D：对称点满足 $$2x - \frac{\pi}{6} = k\pi$$，解得 $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$$，当 $$k = 1$$ 时 $$x = \frac{7\pi}{12}$$，不包含 $$\frac{\pi}{3}$$，错误。
正确答案：A。
2. 解析：
由题意，$$T = \frac{2\pi}{\omega} \geq \frac{3\pi}{4}$$，故 $$\omega \leq \frac{8}{3}$$。对称轴 $$x = \frac{7\pi}{12}$$ 和对称中心 $$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$$ 满足 $$\frac{7\pi}{12}\omega + \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$ 和 $$\frac{\pi}{3}\omega + \phi = m\pi$$（$$k, m \in \mathbb{Z}$$）。
解得 $$\omega = 2$$，$$\phi = -\frac{\pi}{3}$$，所以 $$f(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$。
在区间 $$\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}\right)$$ 上，$$2x - \frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{5\pi}{6}, 0\right)$$，$$\sin$$ 取值范围为 $$(-1, 0]$$，故 $$f(x) \in (-2, 0]$$。
但选项中没有 $$(-2, 0]$$，重新检查：
实际上，$$\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$，$$\sin(0) = 0$$，所以 $$f(x) \in (-1, 0]$$。
选项中最接近的是 A（$$(-1, \sqrt{3}]$$），但 $$\sqrt{3} \approx 1.732$$ 不符合。可能是题目描述有误，假设对称中心为 $$\left(\frac{\pi}{3}, 1\right)$$，则 $$\phi = \frac{\pi}{6}$$，此时 $$f(x) \in (-1, \sqrt{3}]$$。
正确答案：A（假设修正后）。
3. 解析：
函数 $$f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$$ 的对称中心满足 $$x - \frac{\pi}{3} = k\pi$$，即 $$x = \frac{\pi}{3} + k\pi$$，此时 $$f(x) = 1$$。
选项中 $$\left(\frac{\pi}{3}, 1\right)$$ 符合（$$k = 0$$）。
正确答案：A。
4. 解析：
函数 $$y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right)$$ 向右平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 个单位后得到 $$y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$$。
对称中心满足 $$2x - \frac{\pi}{4} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。
正确答案：C。
5. 解析：
函数 $$f(x) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)\sin 2x - \frac{1}{4}$$ 化简为 $$f(x) = \frac{1}{2}\left[\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) + \sin\frac{\pi}{6}\right] - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right)$$。
对称中心满足 $$4x - \frac{\pi}{6} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{24}$$。当 $$k = 1$$ 时，$$x = \frac{7\pi}{24}$$。
正确答案：A。
6. 解析：
命题分析：
- ① $$y = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2}{3}x\right) = -\sin\left(\frac{2}{3}x\right)$$ 是奇函数，正确。
- ② $$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \sqrt{2} < 2$$，不存在实数 $$x$$ 使其等于 2，错误。
- ③ 反例：$$\alpha = \frac{\pi}{6}$$，$$\beta = \frac{13\pi}{6}$$，$$\tan \alpha = \tan \beta$$，错误。
- ④ $$y = \sin\left(2x + \frac{5\pi}{4}\right)$$，对称轴满足 $$2x + \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，当 $$x = \frac{\pi}{8}$$ 时成立（$$k = 0$$），正确。
- ⑤ $$y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$，对称中心满足 $$2x + \frac{\pi}{3} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$$，$$\left(\frac{\pi}{12}, 0\right)$$ 不满足，错误。
正确答案：C（①④正确）。
7. 解析：
函数 $$f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$，$$g(x) = 2\sqrt{2}\sin x \cos x = \sqrt{2}\sin 2x$$。
选项分析：
- A：$$f(x)$$ 的对称中心为 $$\left(-\frac{\pi}{4} + k\pi, 0\right)$$，$$g(x)$$ 的对称中心为 $$\left(\frac{k\pi}{2}, 0\right)$$，不完全一致，错误。
- B：$$f(x)$$ 横坐标扩大 2 倍得 $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$$，再平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 得 $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{3\pi}{8}\right) \neq g(x)$$，错误。
- C：$$f(x)$$ 在 $$\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$$ 单调递增，$$g(x)$$ 在 $$\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$$ 也单调递增，正确。
- D：$$f(x)$$ 周期为 $$2\pi$$，$$g(x)$$ 周期为 $$\pi$$，错误。
正确答案：C。
9. 解析：
命题分析：
- ① $$f(x) = \log_2 x$$ 与 $$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x = -\log_2 x$$ 关于 $$x$$ 轴对称，正确。
- ② 当 $$a = 0$$ 时，方程 $$-4x + 4 = 0$$ 有唯一解 $$x = 1$$；当 $$a \neq 0$$ 时，判别式 $$16 - 16a = 0$$ 得 $$a = 1$$，故 $$a$$ 可为 0 或 1，错误。
- ③ $$\sin x$$ 的对称中心为 $$(k\pi, 0)$$，正确。
- ④ 奇函数满足 $$f(-x) = -f(x)$$，当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = -2^{-x}$$，错误。
正确答案：B（①③正确）。