正弦（型）函数的定义域和值域-5.4 三角函数的图象与性质知识点月考进阶选择题自测题答案-江苏省等高一数学必修,平均正确率52.0%

2、['指数（型）函数的单调性'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '利用基本不等式求最值'， '直线的倾斜角']

正确率40.0%设函数$$f ( x )=2^{\operatorname{s i n} \alpha-1} x^{2}+\left( 2^{-\operatorname{s i n} \alpha}-3 \right) x$$$$( \alpha\in\mathbf{R} )$$图象在点$$( 1， f ( 1 ) )$$处切线为$${{l}}$$，则$${{l}}$$的倾斜角$${{θ}}$$的最小值是（）

A.$$\frac{\pi} {4}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{5 \pi} {6}$$

D.$$\frac{3 \pi} {4}$$

3、['两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%关于$${{x}}$$的方程$$\sqrt3 \operatorname{s i n} 2 x+\operatorname{c o s} 2 x=k+1$$在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {2} ]$$内有实数根，则$${{k}}$$的取值范是（）

A.$$( \ -3， \ 1 )$$

B.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$

C.$$[ 0， \ 1 ]$$

D.$$[-2， ~ 1 ]$$

4、['两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n} \ ( \begin{matrix} {x+\frac{\pi} {3}} \\ \end{matrix} ) \ +3 \operatorname{c o s} \ ( \begin{matrix} {x-\frac{\pi} {6}} \\ \end{matrix} )$$的最大值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

5、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '同角三角函数的平方关系'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%函数$$f \ ( \， x ) \ =\cos^{2} x+\sqrt{3} \sin x+\frac{1} {4} \ ( \， x \in[ 0， \ \frac{\pi} {2} ] )$$的最大值为（）

A.$${{2}}$$

B.$$\sqrt{3}+\frac1 4$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}+\frac{3} {4}$$

D.$${{5}{/}{4}}$$

6、['点到直线的距离'， '两点间的距离'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '直线的一般式方程及应用'， '同角三角函数的平方关系']

正确率40.0%在平面直角坐标系中，记$${{d}}$$为点$$P ( \mathrm{c o s} \alpha， \mathrm{s i n} \alpha)$$到直线$$m x+y-2=0$$的距离，当$${{α}{，}{m}}$$变化时$${，{d}}$$的最大值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

7、['函数奇偶性的应用'， '函数图象的平移变换'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi)， \， \， ( | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位后是奇函数，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {2} ]$$上的最小值为（）

A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

8、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%若函数$$f ( x )=a \operatorname{s i n} x+b \operatorname{c o s} x$$在$$x=\frac{\pi} {3}$$处取得最大值$${{4}}$$，则$$\frac{a} {b}=$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

9、['基本不等式的综合应用'， '函数的最大(小)值'， '对数（型）函数的值域'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%下列命题中正确的是$${{(}{)}}$$

A.当$$x > 0$$

B.当$$x > 0， ~ \sqrt{x}+\frac{1} {\sqrt{x}} \geq2$$

C.当$$0 < \theta\leq\frac{\pi} {2}， ~ ~ \operatorname{s i n} \theta+\frac{2} {\operatorname{s i n} \theta}$$的最小值为$${{2}{\sqrt {2}}}$$

D.当$$0 < x \leqslant2 \mathbb{H}， x-\frac{1} {x}$$无最大值

10、['余弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理应用举例'， '辅助角公式'， '三角形的面积（公式）'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A. ~ B. ~ C$$的对边分别为$$a， \， \， b， \， \， c， \， \， B C$$边上的高为$${{h}}$$，且$$h=\frac{\sqrt{3} a} {3}$$，则$$\frac{c} {b}+\frac{b} {c}+\frac{a^{2}} {b c}$$的最大值是$${{(}{)}}$$

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{6}}$$

2. 首先求函数 $$f(x)$$ 在 $$x=1$$ 处的导数：

$$f'(x) = 2 \cdot 2^{\sin \alpha - 1} x + (2^{-\sin \alpha} - 3)$$

在 $$x=1$$ 处： $$f'(1) = 2^{\sin \alpha} + 2^{-\sin \alpha} - 3$$

设 $$t = 2^{\sin \alpha}$$，则 $$f'(1) = t + \frac{1}{t} - 3$$。由于 $$t > 0$$，由不等式 $$t + \frac{1}{t} \geq 2$$，当且仅当 $$t=1$$ 时取等。因此： $$f'(1) \geq -1$$

切线斜率的最小值为 $$-1$$，对应倾斜角 $$\theta = \frac{3\pi}{4}$$。故选 D。

3. 将方程化为单一三角函数形式：

$$\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = k + 1$$

在 $$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$ 时，$$2x + \frac{\pi}{6} \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]$$，$$\sin \theta$$ 的取值范围为 $$[-\frac{1}{2}, 1]$$。因此： $$2 \cdot \left[-\frac{1}{2}, 1\right] = [-1, 2] = k + 1$$ 解得 $$k \in [-2, 1]$$。故选 D。

4. 化简函数表达式：

$$f(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$ 利用三角恒等式： $$\cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$ 因此： $$f(x) = 4 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$ 最大值为 $$4$$。故选 B。

5. 将函数转化为二次函数形式：

$$f(x) = \cos^2 x + \sqrt{3} \sin x + \frac{1}{4} = 1 - \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x + \frac{1}{4}$$ 设 $$t = \sin x$$，$$t \in [0, 1]$$： $$f(x) = -t^2 + \sqrt{3} t + \frac{5}{4}$$ 求导得极值点 $$t = \frac{\sqrt{3}}{2} \in [0, 1]$$，代入得最大值： $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3}{4} + \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = 2$$ 故选 A。

6. 点 $$P(\cos \alpha, \sin \alpha)$$ 到直线 $$mx + y - 2 = 0$$ 的距离为：

$$d = \frac{|m \cos \alpha + \sin \alpha - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$ 分子部分的最大值为 $$\sqrt{m^2 + 1} + 2$$，因此： $$d \leq \frac{\sqrt{m^2 + 1} + 2}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1 + \frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}} \leq 3$$ 当 $$m = 0$$ 时取最大值 $$3$$。故选 C。

7. 平移后的函数为奇函数：

$$f\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} + \varphi\right)$$ 奇函数要求 $$\frac{\pi}{3} + \varphi = k\pi$$，由 $$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$$ 得 $$\varphi = -\frac{\pi}{3}$$。因此： $$f(x) = \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$ 在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上，最小值为 $$f(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。故选 A。

8. 函数在 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 处取得最大值：

$$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = a \sin \frac{\pi}{3} + b \cos \frac{\pi}{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2} + \frac{b}{2} = 4$$ 且最大值为 $$\sqrt{a^2 + b^2} = 4$$，解得 $$a = 2\sqrt{3}$$，$$b = 2$$。因此： $$\frac{a}{b} = \sqrt{3}$$ 故选 B。

9. 分析各选项：

A 选项未完整； B 选项由 AM-GM 不等式成立； C 选项 $$\sin \theta + \frac{2}{\sin \theta}$$ 在 $$\theta \in (0, \frac{\pi}{2}]$$ 的最小值为 $$2\sqrt{2}$$（当 $$\sin \theta = \sqrt{2}$$ 时，但 $$\sqrt{2} > 1$$，实际最小值为 $$\theta = \frac{\pi}{2}$$ 时的 $$1 + 2 = 3$$，因此错误）； D 选项 $$x - \frac{1}{x}$$ 在 $$(0, 2]$$ 单调递增，无最大值。故选 B 和 D，但题目可能单选，需确认原题。

10. 利用面积关系和余弦定理：

由 $$h = \frac{\sqrt{3}a}{3}$$，面积 $$S = \frac{1}{2} a h = \frac{\sqrt{3}a^2}{6}$$，又 $$S = \frac{1}{2} b c \sin A$$，因此： $$\sin A = \frac{\sqrt{3} a^2}{3 b c}$$ 由余弦定理： $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c}$$ 目标式为： $$\frac{c}{b} + \frac{b}{c} + \frac{a^2}{b c} = \frac{b^2 + c^2 + a^2}{b c} = 2 \cos A + \frac{a^2}{b c} + 2$$ 利用 $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ 和之前结果，化简可得最大值为 $$4$$。故选 C。

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