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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} \left( \frac{1} {2} x+\frac{\pi} {4} \right)，$$如果存在实数$$x_{1}， ~ x_{2}，$$使得对任意的实数$${{x}{，}}$$都有$$f ( x_{1} ) \leqslant f ( x ) \leqslant f ( x_{2} )，$$那么$$| x_{1}-x_{2} |$$的最小值为（）
D
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$${{π}}$$
D.$${{2}{π}}$$
2、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%已知$$f ( x )=\operatorname{c o s}^{4} 2 a x-\operatorname{s i n}^{4} 2 a x$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$则常数$${{a}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\pm\frac{1} {2}$$
D.$${{±}{2}}$$
3、['由图象（表）求三角函数的解析式'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%svg异常
D
A.$$x=-\frac{\pi} {3}$$
B.$$x=-\frac{\pi} {1 2}$$
C.$$x=\frac{\pi} {1 8}$$
D.$$x=\frac{\pi} {2 4}$$
4、['同角三角函数的商数关系'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{c o s} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} )$$的图象的一条对称轴为$$x=\frac{\pi} {3}， \， \， \varphi$$满足条件$$3 \operatorname{t a n} \varphi=2 \operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}+\varphi)$$，则$${{ω}}$$取得最小值时函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为
D
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\pi} \\ {\frac{\pi} {5}} \\ \end{array}$$
C.$${{π}}$$
D.$$\frac{4 \pi} {5}$$
5、['余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率80.0%函数$$y=3 \operatorname{c o s} 2 x+4 ( x \in\mathbf{R} )$$是（）
A
A.最小正周期为$${{π}}$$的偶函数
B.最小正周期为$${{2}{π}}$$的偶函数
C.最小正周期为$${{π}}$$的奇函数
D.最小正周期为$${{2}{π}}$$的奇函数
6、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%函数$$y=2 \operatorname{c o s}^{2} x-1$$的最小正周期为（）
B
A.$${{2}{π}}$$
B.$${{π}}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
7、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{c o s}^{2} x-\operatorname{s i n}^{2} x+2$$，则（）
B
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$最大值为$${{3}}$$
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$最大值为$${{4}}$$
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$，最大值为$${{3}}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$，最大值为$${{4}}$$
8、['函数奇、偶性的证明'， '函数的周期性'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是（）
B
A.$$y=\operatorname{s i n} 2 x$$
B.$$y=\operatorname{c o s} 2 x$$
C.$${{y}{=}{{l}{g}}{x}}$$
D.$$y=x^{2}-1$$
9、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%下列函数中，周期为$${{π}}$$，在$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} ]$$上为减函数的是（）
D
A.$$y=\operatorname{s i n} \left( x+\frac{\pi} {2} \right)$$
B.$$y=\operatorname{c o s} \Bigl( x+\frac{\pi} {2} \Bigr)$$
C.$$y=\operatorname{c o s} \Bigl( 2 x+\frac{\pi} {2} \Bigr)$$
D.$$y=\operatorname{s i n} \left( 2 x+\frac{\pi} {2} \right)$$
10、['正切（型）函数的奇偶性'， '正切（型）函数的周期性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%下列函数中周期为$$\frac{\pi} {2}$$的偶函数是$${{(}{)}}$$
B
A.$$y=\operatorname{s i n} 4 x$$
B.$$y=\operatorname{c o s}^{2} 2 x-\operatorname{s i n}^{2} 2 x$$
C.$$y=\operatorname{t a n} 2 x$$
D.$$y=\operatorname{c o s} 2 x$$
1. 解析：函数 $$f(x) = \cos\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}\right)$$ 的最小值为 $$-1$$，最大值为 $$1$$。为了满足 $$f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$$，必须有 $$f(x_1) = -1$$ 和 $$f(x_2) = 1$$。解方程：
取 $$k = 0$$，得到 $$x_1 = \frac{3\pi}{2}$$ 和 $$x_2 = -\frac{\pi}{2}$$，最小距离为 $$|x_1 - x_2| = 2\pi$$。但进一步检查周期，函数周期为 $$4\pi$$，相邻极值点距离为 $$2\pi$$，但题目要求的是最小距离，实际为 $$\pi$$（选项 C）。
2. 解析：化简 $$f(x) = \cos^4 2ax - \sin^4 2ax = \cos(4ax)$$。最小正周期为 $$\frac{2\pi}{4|a|} = \pi$$，解得 $$|a| = \frac{1}{2}$$，即 $$a = \pm \frac{1}{2}$$（选项 C）。
3. 解析：题目不完整，无法解析。
4. 解析：由对称轴 $$x = \frac{\pi}{3}$$，有 $$\omega \cdot \frac{\pi}{3} + \varphi = k\pi$$。由条件 $$3\tan\varphi = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right)$$，化简得 $$3\tan\varphi = 2\cos\varphi$$，即 $$3\sin\varphi = 2\cos^2\varphi$$，解得 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。代入对称轴条件，$$\omega \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = k\pi \Rightarrow \omega = 3k - \frac{1}{2}$$。最小正整数 $$k = 1$$，$$\omega = \frac{5}{2}$$，周期 $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{4\pi}{5}$$（选项 D）。
5. 解析：函数 $$y = 3\cos 2x + 4$$ 的周期为 $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$，且为偶函数（选项 A）。
6. 解析：函数 $$y = 2\cos^2 x - 1 = \cos 2x$$，周期为 $$\pi$$（选项 B）。
7. 解析：化简 $$f(x) = 2\cos^2 x - \sin^2 x + 2 = 3\cos^2 x + 1 = \frac{3}{2}\cos 2x + \frac{5}{2}$$，周期为 $$\pi$$，最大值为 $$4$$（选项 B）。
8. 解析：偶函数且周期函数的只有 $$y = \cos 2x$$（选项 B）。
9. 解析：周期为 $$\pi$$ 的函数是 $$y = \sin(2x + \frac{\pi}{2})$$ 或 $$y = \cos(2x + \frac{\pi}{2})$$。在 $$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$$ 上，$$y = \sin(2x + \frac{\pi}{2}) = \cos 2x$$ 是减函数（选项 D）。
10. 解析：周期为 $$\frac{\pi}{2}$$ 的偶函数是 $$y = \cos^2 2x - \sin^2 2x = \cos 4x$$（选项 B）。
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