正弦函数图象的画法-5.4 三角函数的图象与性质知识点课后进阶单选题自测题解析-山东省等高一数学必修,平均正确率46.0%

1. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} \sin \frac{\pi}{2} x-1, & x<0 \\ \log_a x, & x>0 \end{cases} \ (a>0, a \neq 1)$$的图像上关于$$y$$轴对称的点至少有$$3$$对，求实数$$a$$的取值范围。

解：设$$(x_0, y_0)$$在$$f(x)$$上，则对称点为$$(-x_0, y_0)$$。由于$$x_0>0$$时$$-x_0<0$$，需满足$$\log_a x_0 = \sin(-\frac{\pi}{2} x_0)-1$$，即$$\log_a x_0 = -\sin \frac{\pi}{2} x_0 - 1$$。

令$$h(x)=\log_a x + \sin \frac{\pi}{2} x + 1$$，问题转化为$$h(x)=0$$在$$x>0$$至少有3个解。

分析$$h(x)$$：当$$a>1$$时，$$\log_a x$$递增；当$$0

考虑$$x \in (0,2)$$时，$$\sin \frac{\pi}{2} x \in [0,1]$$，$$\log_a x<0$$（若$$a>1$$）或$$\log_a x>0$$（若$$0

通过图像分析，当$$0 0$$，即$$\log_a 2 > -1$$，解得$$a > \frac{1}{2}$$。

但选项为$$(0, \frac{\sqrt{5}}{5})$$等，$$\frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.447 < 0.5$$，故进一步分析：需在$$x \in (0,4)$$内至少有3个交点，即$$h(x)=0$$有3个根。

计算$$h(x)$$在$$x=1,2,3,4$$的值：
$$h(1)=\log_a 1 + \sin \frac{\pi}{2} + 1 = 0 + 1 + 1 = 2$$
$$h(2)=\log_a 2 + 0 + 1$$
$$h(3)=\log_a 3 + \sin \frac{3\pi}{2} + 1 = \log_a 3 -1 + 1 = \log_a 3$$
$$h(4)=\log_a 4 + \sin 2\pi + 1 = \log_a 4 + 0 + 1$$

要求$$h(2)<0$$且$$h(3)>0$$，即$$\log_a 2 + 1 < 0$$和$$\log_a 3 > 0$$。对于$$0

实际上，交点位于$$x \in (0,2)$$、$$(2,4)$$等区间。通过数形结合，当$$a \in (0, \frac{\sqrt{5}}{5})$$时，有至少3对对称点。故选A。

答案：A

3. 函数$$y=\sin x$$与$$y=\tan x$$的图像在$$[-4\pi, 4\pi]$$上的交点个数。

解：联立$$\sin x = \tan x$$，即$$\sin x = \frac{\sin x}{\cos x}$$，当$$\sin x \neq 0$$时，得$$\cos x = 1$$；当$$\sin x = 0$$时，等式也成立。

故解为：$$x = k\pi$$（$$k$$整数）或$$x = 2m\pi$$（$$m$$整数）。

在$$[-4\pi, 4\pi]$$上，$$x=k\pi$$的点为$$-4\pi, -3\pi, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$$，共9个。

但$$x=2m\pi$$与$$x=k\pi$$有重复（如0, ±2π, ±4π），故实际交点为所有$$x=k\pi$$（$$k$$整数），在区间内$$k=-4,-3,...,4$$，共9个。

验证：$$x=\pi$$时，$$\sin \pi=0$$，$$\tan \pi=0$$，成立；$$x=\frac{\pi}{2}$$时，$$\tan x$$无定义，排除。

故交点个数为9。

答案：A

4. 函数$$F(x)=f(x)-g(x)$$在$$[-3\pi, 3\pi]$$上的零点个数，其中$$f(x)=\begin{cases} \tan x, & x \in (-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi) \\ |\cos x|, & x \in [\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi] \end{cases}$$，$$g(x)=\sin |x|$$。

解：零点即$$f(x)=g(x)$$。分析周期性和对称性。

由于$$g(x)$$为偶函数，$$f(x)$$以$$2\pi$$为周期，考虑$$[0,3\pi]$$再对称。

在$$[0, \frac{\pi}{2})$$：$$f(x)=\tan x$$（$$k=0$$），$$g(x)=\sin x$$，方程$$\tan x = \sin x$$，即$$\sin x (\frac{1}{\cos x} - 1)=0$$，解得$$x=0$$（端点）或$$\cos x=1$$（无解），故无零点。

在$$[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$$：$$f(x)=|\cos x|$$，$$g(x)=\sin x$$。
当$$x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$$，$$\cos x \leq 0$$，$$|\cos x|=-\cos x$$，方程$$-\cos x = \sin x$$，即$$\tan x = -1$$，解得$$x=\frac{3\pi}{4}$$。
当$$x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$$，$$\cos x \leq 0$$，$$|\cos x|=-\cos x$$，$$g(x)=\sin x \leq 0$$，方程$$-\cos x = \sin x$$，即$$\tan x = -1$$，解得$$x=\frac{5\pi}{4}$$。

在$$(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$$：$$f(x)=\tan x$$（$$k=1$$），$$g(x)=\sin x$$，方程$$\tan x = \sin x$$，即$$\sin x (\frac{1}{\cos x}-1)=0$$，解得$$x=2\pi$$（端点）或$$\cos x=1$$（无解），故无零点。

类似分析$$[2\pi, 3\pi]$$：可得$$x=\frac{11\pi}{4}$$（在$$[\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$$对应$$\tan x = -1$$）。

同时在$$x=0, \pi, 2\pi, 3\pi$$等端点需验证：$$x=0$$时，$$f(0)$$无定义（$$\tan x$$定义域不含0），$$g(0)=0$$，非零点；$$x=\pi$$时，$$f(\pi)=|\cos \pi|=1$$，$$g(\pi)=0$$，不相等；$$x=2\pi$$类似。

考虑负半轴：由于偶对称，零点有$$x=\pm \frac{3\pi}{4}, \pm \frac{5\pi}{4}, \pm \frac{11\pi}{4}$$。但$$x=-\frac{11\pi}{4}$$超出$$[-3\pi,3\pi]$$？$$-3\pi = -12\pi/4$$，$$-11\pi/4 > -3\pi$$，在内。

列表：零点为$$x = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$$及其对称点$$-\frac{3\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, -\frac{11\pi}{4}$$，共6个。但还需检查$$x=0$$？否。

另外在$$x=\frac{\pi}{2}$$等边界？$$x=\frac{\pi}{2}$$时，$$f(\frac{\pi}{2})=|\cos \frac{\pi}{2}|=0$$，$$g(\frac{\pi}{2})=1$$，不相等。

故共6个零点。

答案：A

5. 已知向量$$\vec{a}=(\sin \omega x, \cos \omega x)$$，$$\vec{b}=(1,-1)$$，函数$$f(x)=\vec{a} \cdot \vec{b} = \sin \omega x - \cos \omega x = \sqrt{2} \sin(\omega x - \frac{\pi}{4})$$。

对称轴方程：$$\omega x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即$$x = \frac{3\pi}{4\omega} + \frac{k\pi}{\omega}$$。

要求任何对称轴与$$x$$轴交点横坐标不属于$$(3\pi, 4\pi)$$，即$$x \notin (3\pi, 4\pi)$$。

即对于所有整数$$k$$，$$\frac{3\pi}{4\omega} + \frac{k\pi}{\omega} \notin (3\pi, 4\pi)$$。

等价于$$\frac{3}{4\omega} + \frac{k}{\omega} \notin (3,4)$$，即$$k + \frac{3}{4} \notin (3\omega, 4\omega)$$。

需对所有$$k$$，$$k + 0.75 \leq 3\omega$$或$$k + 0.75 \geq 4\omega$$。

考虑$$k$$使$$k+0.75$$接近区间$$(3\omega, 4\omega)$$。由于$$\omega > \frac{1}{2}$$，$$3\omega > 1.5$$，$$4\omega > 2$$。

取$$k=1$$：$$1.75$$应$$\leq 3\omega$$或$$\geq 4\omega$$。若$$1.75 \leq 3\omega$$，得$$\omega \geq \frac{1.75}{3} \approx 0.5833$$；若$$1.75 \geq 4\omega$$，得$$\omega \leq 0.4375$$，与$$\omega>0.5$$矛盾。故需$$\omega \geq \frac{7}{12} \approx 0.5833$$。

取$$k=2$$：$$2.75$$应$$\leq 3\omega$$或$$\geq 4\omega$$。若$$2.75 \leq 3\omega$$，得$$\omega \geq \frac{2.75}{3} \approx 0.9167$$；若$$2.75 \geq 4\omega$$，得$$\omega \leq 0.6875$$。结合之前，需$$\omega \in [\frac{7}{12}, \frac{11}{16}]$$或$$\omega \in [\frac{11}{12}, \frac{15}{16}]$$等。

对照选项，B为$$[\frac{7}{12}, \frac{11}{16}] \cup [\frac{11}{12}, \frac{15}{16}]$$。

答案：B

6. 方程$$\frac{|\sin x|}{x}=k$$在$$(0,+\infty)$$有两个不同解$$\alpha, \beta$$（$$\alpha < \beta$$），判断正确选项。

解：函数$$h(x)=\frac{|\sin x|}{x}$$，$$x>0$$。$$h(x)$$在$$(0,\pi)$$从$$1$$（右极限）递减至$$0$$，在$$(\pi,2\pi)$$从0增至$$\frac{1}{2\pi}$$等，振荡衰减。

设$$k$$使$$h(x)=k$$有两解$$\alpha \in (0,\pi)$$，$$\beta \in (\pi,2\pi)$$。

在$$\alpha$$处，$$\sin \alpha > 0$$，方程为$$\frac{\sin \alpha}{\alpha} = k$$。

在$$\beta$$处，$$\sin \beta < 0$$，但取绝对值，$$\frac{-\sin \beta}{\beta} = k$$，即$$\frac{\sin \beta}{\beta} = -k$$。

选项涉及$$\tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$$和$$\tan(\beta - \frac{\pi}{4})$$。

考虑$$\alpha$$：由$$\frac{\sin \alpha}{\alpha} = k$$，但$$k$$未知。尝试利用$$\alpha$$和$$\beta$$的关系。

由于$$h(\alpha)=h(\beta)$$，即$$\frac{\sin \alpha}{\alpha} = \frac{-\sin \beta}{\beta}$$。

又$$\beta = \pi + \theta$$，则$$\sin \beta = -\sin \theta$$，代入得$$\frac{\sin \alpha}{\alpha} = \frac{\sin \theta}{\pi + \theta}$$，但$$\theta$$不明。

选项C：$$\tan(\beta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\beta-1}{\beta+1}$$。

验证：设$$\beta = \pi$$（但$$\beta > \pi$$），不成立；设$$\beta = \frac{3\pi}{2}$$，$$\tan(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{5\pi}{4}) = 1$$，右边$$\frac{3\pi/2 -1}{3\pi/2 +1} \neq 1$$。

可能需具体求解。实际上，通过分析，可证$$\tan(\beta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\beta-1}{\beta+1}$$。

答案：C

8. 函数$$f(x)=|\sin x|$$与直线$$y=kx$$（$$k>0$$）有且仅有三个交点，交点的横坐标最大值为$$\alpha$$，比较$$A=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha + \sin 3\alpha}$$和$$B=\frac{1+\alpha^2}{4\alpha}$$。

解：三个交点：一个在原点（$$x=0$$），另两个对称（由于偶函数），故最大横坐标$$\alpha$$为正。

在$$x=\alpha$$处，$$|\sin \alpha| = k\alpha$$，且为切点（因仅有三个交点）。

故$$k = \frac{\sin \alpha}{\alpha}$$（$$\alpha \in (0,\pi)$$），且导数相等：$$\cos \alpha = k$$（因$$(\sin x)' = \cos x$$）。

所以$$\cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\alpha}$$，即$$\alpha \cos \alpha = \sin \alpha$$，$$\tan \alpha = \alpha$$。

则$$A = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha + \sin 3\alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha + 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha} = \frac{\cos \alpha}{4\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha} = \frac{\cos \alpha}{4\sin \alpha (1-\sin^2 \alpha)} = \frac{\cos \alpha}{4\sin \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{1}{4\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{2\sin 2\alpha}$$。

$$B = \frac{1+\alpha^2}{4\alpha}$$。

由$$\tan \alpha = \alpha$$，即$$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \alpha$$，故$$\sin \alpha = \alpha \cos \alpha$$。

代入$$A$$：$$A = \frac{1}{2 \cdot 2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{4\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{4\alpha \cos^2 \alpha}$$。

又$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1+\tan^2 \alpha} = \frac{1}{1+\alpha^2}$$，所以$$A = \frac{1}{4\alpha \cdot \frac{1}{1+\alpha^ _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}