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正确率60.0%定义运算$$\left| \begin{matrix} {a_{1}} & {a_{2}} \\ {a_{3}} & {a_{4}} \\ \end{matrix} \right|=a_{1} a_{4}-a_{2} a_{3}$$.若函数$$f ( x )=\left| \begin{matrix} {1} & {\mathrm{c o s} \omega x} \\ {\sqrt{3}} & {\mathrm{s i n} \omega x} \\ \end{matrix} \right|$$(其中$${{ω}{>}{0}{)}}$$的相邻两个零点之间的距离是$$\frac{\pi} {4}，$$则$${{ω}}$$的值为（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
2、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']正确率40.0%$$f \left( \begin{array} {c} {{x}} \\ \end{array} \right)=\sin\left( \begin{array} {c} {{\omega}} \\ {{x}} \end{array}+\varphi\right) \ \ \left( \begin{array} {c} {{\omega}} \\ {{\omega}} \end{array} \right) ) \ \left( \begin{array} {c} {{\omega}} \\ {{\omega}} \end{array} > 0， \ 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} \right) \， \ x=-\frac{\pi} {4}$$为$${{f}{（}{x}{）}}$$的零点，$$x=\frac{\pi} {4}$$为$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$图象的对称轴，且$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( \frac{\pi} {1 8}， \ \frac{2 \pi} {9} )$$上单调，则$${{ω}}$$的最大值为（）
C
A.$${{9}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{3}}$$
3、['正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴']正确率40.0%若函数$${{y}{=}{2}{{s}{i}{n}}{(}{8}{x}{+}{φ}{)}{+}{2}{(}{0}{<}{φ}{<}{π}{)}}$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称，则函数在$${{[}{0}{，}{2}{π}{]}}$$上零点的个数有$${{(}{)}}$$个
C
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
5、['正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '正弦函数图象的画法'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{+}{{c}{o}{s}}{ω}{x}{(}{ω}{>}{0}{)}}$$在$${{[}{0}{，}{π}{]}}$$上有一个零点，则$${{ω}}$$的取值范围为
B
A.$$\left( \frac{5} {6}， \frac{1 1} {6} \right)$$
B.$$[ \frac{5} {6}， \frac{1 1} {6} )$$
C.$$\left( \frac{2} {3}， \frac{5} {3} \right)$$
D.$$[ \frac{2} {3}， \frac{5} {3} )$$
6、['正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%已知函数$$f \left( \， x \right) \ =2 \sin\ ( \， 2 x+\frac{\pi} {4} ) \ +2 \cos^{2} \ ( \， x+\frac{\pi} {8} \， ) \ -1$$，把函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象向右平移$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$个单位，得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，若$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$是$${{g}{（}{x}{）}{−}{m}{=}{0}}$$在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {2} ]$$内的两根，则$${{s}{i}{n}{（}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}{）}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
7、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '命题的真假性判断']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {4} )$$，则下列结论错误的是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个周期为$${{2}{π}}$$
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图形关于直线$$x=\frac{\pi} {8}$$对称
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个零点为$$x=-\frac{\pi} {8}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$( 0， \frac{\pi} {4} )$$上单调递减
10、['正弦（型）函数的零点'， '余弦（型）函数的零点'， '分组求和法']正确率40.0%记函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{2}{n}{x}{−}{{c}{o}{s}}{n}{x}}$$在区间$${{[}{0}{，}{π}{]}}$$内的零点个数为$${{a}_{n}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{2}{0}}$$项的和是（）
A
A.$${{4}{3}{0}}$$
B.$${{8}{4}{0}}$$
C.$${{1}{2}{5}{0}}$$
D.$${{1}{6}{6}{0}}$$
1. 定义运算的行列式结果为 $$f(x) = 1 \cdot \sin \omega x - \cos \omega x \cdot \sqrt{3} = \sin \omega x - \sqrt{3} \cos \omega x$$。将其化简为 $$f(x) = 2 \sin \left( \omega x - \frac{\pi}{3} \right)$$。函数的零点满足 $$\omega x - \frac{\pi}{3} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi + \frac{\pi}{3}}{\omega}$$。相邻零点间距为 $$\frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi}{4}$$，解得 $$\omega = 4$$。故选 B。
- 零点条件：$$f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 0$$，即 $$\sin\left(-\frac{\omega \pi}{4} + \varphi\right) = 0$$。
- 对称轴条件：$$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ 为极值点，即 $$\frac{\omega \pi}{4} + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$。
结合 $$0 < \varphi < \frac{\pi}{2}$$，解得 $$\varphi = \frac{\pi}{4}$$ 且 $$\omega = 2 + 4k$$。再根据单调性要求，$$\omega$$ 的最大值为 5（当 $$k=1$$ 时）。故选 C。
3. 函数 $$y = 2 \sin(8x + \phi) + 2$$ 关于 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 对称，故 $$8 \cdot \frac{\pi}{6} + \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$\phi = -\frac{5\pi}{6} + k\pi$$。由 $$0 < \phi < \pi$$，得 $$\phi = \frac{\pi}{6}$$。函数在 $$[0, 2\pi]$$ 上的零点满足 $$\sin\left(8x + \frac{\pi}{6}\right) = -1$$，即 $$8x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$，解得 $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{4}$$。在 $$[0, 2\pi]$$ 内有 8 个解（$$k=0$$ 到 $$7$$）。故选 C。
6. 函数 $$f(x) = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) - 1$$ 化简为 $$f(x) = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{5} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4} + \alpha\right)$$（其中 $$\tan \alpha = \frac{1}{2}$$）。平移后为 $$g(x) = \sqrt{5} \sin\left(2x + \alpha\right)$$。方程 $$g(x) - m = 0$$ 在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 内有两根 $$x_1, x_2$$，则 $$2x_1 + \alpha + 2x_2 + \alpha = \pi$$，即 $$x_1 + x_2 = \frac{\pi}{2} - \alpha$$。故 $$\sin(x_1 + x_2) = \cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。故选 A。
10. 函数 $$f(x) = \sin(2n x) - \cos(n x) = 2 \sin(n x) \cos(n x) - \cos(n x) = \cos(n x)(2 \sin(n x) - 1)$$。零点为 $$\cos(n x) = 0$$ 或 $$\sin(n x) = \frac{1}{2}$$。在 $$[0, \pi]$$ 内：
- $$\cos(n x) = 0$$ 有 $$n$$ 个解；
- $$\sin(n x) = \frac{1}{2}$$ 有 $$2n$$ 个解，但需去重（重合点为 $$n x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ 或 $$\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$）。总零点数为 $$a_n = 3n - 2$$（每周期重合 2 点）。前 20 项和为 $$\sum_{n=1}^{20} (3n - 2) = 430$$。故选 A。