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正确率40.0%设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} \ \left( \begin{matrix} {\omega x+\varphi} \\ \end{matrix} \right) \ \ \left( \begin{matrix} {\omega> 0} \\ \end{matrix} \right)$$，若$$f ( \frac{\pi} {4} )=1$$，则函数$$y=f ( \frac{\pi} {4}-x )$$（）
C
A.是奇函数
B.的图象关于点$$( \frac{\pi} {2}， \ 0 )$$对称
C.是偶函数
D.的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称
2、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的单调性'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} \frac{\pi} {5} x+1，$$设$$a=f ( \operatorname{l o g}_{3} 0. 2 )， \， \， b=f ( 3^{-0. 2} )， \， \， c=f (-3^{1. 1} )，$$则（）
B
A.$$a > b > c$$
B.$$b > a > c$$
C.$$c > b > a$$
D.$$c > a > b$$
3、['简单复合函数的导数'， '辅助角公式'， '余弦（型）函数的奇偶性']正确率40.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( \sqrt{3} x+\varphi)$$，其中$$\varphi\in(-\pi， 0 ).$$若函数$$g ( x )=f ( x )+f^{\prime} ( x ) ($$其中$$f^{\prime} ( x )$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导数)是偶函数，则$${{φ}}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac{\pi} {3}$$
B.$$- \frac{5} {6} \pi$$
C.$$- \frac{\pi} {6}$$
D.$$- \frac{2 \pi} {3}$$
4、['余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦曲线的对称中心']正确率40.0%设函数$$f ( x )=2 \operatorname{c o s} ( 2 x+\frac{\pi} {6} )-1$$，则$${{(}{)}}$$．
C
A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像过点$$( 0， 0 )$$
B.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像关于$$x=\frac{\pi} {6}$$对称
C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-\frac{\pi} {1 2}， \frac{5 \pi} {1 2} ]$$上单调递减
D.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$最大值为$${{2}}$$
5、['函数图象的平移变换'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '函数求解析式'， '余弦曲线的对称中心']正确率60.0%将偶函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 3 x+\varphi) ( 0 < \varphi< \pi)$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（）
A
A.$$( \frac{k \pi} {3}+\frac{\pi} {4}， 0 ) ( k \in Z )$$
B.$$( \frac{k \pi} {3}+\frac{\pi} {1 2}， 0 ) ( k \in Z )$$
C.$$( \frac{k \pi} {3}+\frac{\pi} {6}， 0 ) ( k \in Z )$$
D.$$( {\frac{k \pi} {3}}+{\frac{7 \pi} {3 6}}， 0 ) ( k \in Z )$$
6、['二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{c o s}^{2} x-\frac1 2$$，则下列说法正确的是（）
D
A.$${{f}{（}{x}{）}}$$是周期为$$\frac{\pi} {2}$$的奇函数
B.$${{f}{（}{x}{）}}$$是周期为$$\frac{\pi} {2}$$的偶函数
C.$${{f}{（}{x}{）}}$$是周期为$${{π}}$$的奇函数
D.$${{f}{（}{x}{）}}$$是周期为$${{π}}$$的偶函数
7、['全称量词命题的否定'， '利用诱导公式求值'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '两角和与差的正弦公式'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '常见函数的零点'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%下列命题是假命题的是（）
B
A.$$\exists\alpha， \， \， \， \beta\in R，$$使$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\beta)=\operatorname{s i n} \， \alpha+\operatorname{s i n} \， \beta$$
B.$$\forall\varphi\in R，$$函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi)$$都不是偶函数
C.$$\exists x_{0} \in R，$$使$$a \， x_{0}+b=0 ( a， b$$为常数，$$a， \， \， b \in R$$且$${{a}{≠}{0}{)}}$$
D.$$\forall a > 0，$$函数$$f ( x )=\operatorname{l n}^{2} x+\operatorname{l n} \， x-a$$有零点
8、['利用诱导公式化简'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n} \left( 3 x-\frac{\pi} {2} \right)， x \in\mathbf{R}$$，则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是最小正周期为$${{3}{π}}$$的奇函数
B.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是最小正周期为$${{3}{π}}$$的偶函数
C.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是最小正周期为$$\frac{2 \pi} {3}$$的奇函数
D.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是最小正周期为$$\frac{2 \pi} {3}$$的偶函数
9、['函数奇偶性的应用'， '利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '函数奇、偶性的定义'， '余弦（型）函数的奇偶性']正确率60.0%下列函数中属于奇函数的是$${{(}{)}}$$
B
A.$$y=\operatorname{s i n} x+1$$
B.$$y=\operatorname{c o s} ( x+\frac{\pi} {2} )$$
C.$$y=\operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {2} )$$
D.$$y=\operatorname{c o s} x-1$$
10、['指数（型）函数的单调性'， '函数奇、偶性的定义'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的单调性']正确率60.0%下列函数中，既是$${{R}}$$上的偶函数，又在区间$$( 0， 3 )$$内单调递减的是（）
D
A.$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$
B.$$y=\operatorname{l n} | x |$$
C.$$y=2^{x}+2^{-x}$$
D.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$
1. 已知$$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$$且$$f(\frac{\pi}{4})=1$$，则$$\sin(\omega \cdot \frac{\pi}{4}+\varphi)=1$$，即$$\omega \cdot \frac{\pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$$（$$k \in Z$$）。
考虑函数$$y=f(\frac{\pi}{4}-x)=\sin[\omega(\frac{\pi}{4}-x)+\varphi]=\sin[(\omega \cdot \frac{\pi}{4}+\varphi)-\omega x]$$。
代入条件：$$\sin[(\frac{\pi}{2}+2k\pi)-\omega x]=\cos(\omega x)$$（利用$$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$$）。
因此$$y=\cos(\omega x)$$，为偶函数，且关于直线$$x=0$$对称，但选项无直接匹配。
检查对称性：$$y=\cos(\omega x)$$关于点$$(\frac{\pi}{2},0)$$的对称性：计算$$y(\frac{\pi}{2}+t)+y(\frac{\pi}{2}-t)=\cos[\omega(\frac{\pi}{2}+t)]+\cos[\omega(\frac{\pi}{2}-t)]$$。
利用余弦和差公式：$$=2\cos(\frac{\omega\pi}{2})\cos(\omega t)$$，一般不为0，除非$$\cos(\frac{\omega\pi}{2})=0$$，但$$\omega$$不确定。
然而，由$$f(\frac{\pi}{4})=1$$，最小$$\omega$$对应$$k=0$$时$$\omega \cdot \frac{\pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}$$，则$$\varphi=\frac{\pi}{2}-\frac{\omega\pi}{4}$$。
但问题中$$\omega>0$$未定，可能为任意。观察选项，B提到关于点$$(\frac{\pi}{2},0)$$对称。
实际上，$$y=f(\frac{\pi}{4}-x)$$，设$$x'=\frac{\pi}{4}-x$$，则$$f(x')$$，但对称性需重新推导。
更直接：$$y=\cos(\omega x)$$，其对称中心为$$(\frac{\pi}{2\omega}+\frac{k\pi}{\omega},0)$$，不匹配$$(\frac{\pi}{2},0)$$除非$$\omega=1$$。
但若$$\omega=1$$，则$$\varphi=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$，$$y=\cos x$$，确实关于$$(\frac{\pi}{2},0)$$对称。
因此B正确。
答案：B
2. 函数$$f(x)=\cos(\frac{\pi}{5}x)+1$$，定义域R，为偶函数（$$\cos$$为偶），且周期$$T=\frac{2\pi}{\pi/5}=10$$。
比较$$a=f(\log_3 0.2)$$, $$b=f(3^{-0.2})$$, $$c=f(-3^{1.1})$$。
由于$$f$$为偶函数，$$f(-x)=f(x)$$，故$$c=f(-3^{1.1})=f(3^{1.1})$$。
现在比较自变量大小：$$\log_3 0.2<0$$（因为0.2<1），$$3^{-0.2}>0$$但小于1，$$3^{1.1}>1$$。
具体：$$\log_3 0.2 \approx \log_3 (1/5) \approx -1.465$$，$$3^{-0.2} \approx 0.8027$$，$$3^{1.1} \approx 3.348$$。
$$f(x)$$在$$[0,5]$$上递减（因为$$\cos(\frac{\pi}{5}x)$$在$$[0,5]$$递减，从1到-1），之后周期重复。
由于$$3^{-0.2} \in (0,1)$$，$$3^{1.1} \in (3,4)$$，均属$$[0,5]$$，且$$f$$在此区间递减。
因此自变量越大，函数值越小：$$f(3^{1.1}) < f(3^{-0.2})$$，即$$c < b$$。
又$$\log_3 0.2<0$$，但$$f$$为偶函数，$$f(\log_3 0.2)=f(|\log_3 0.2|)=f(1.465)$$，而$$1.465 > 0.8027$$，故$$f(1.465) < f(0.8027)$$，即$$a < b$$。
且$$1.465 < 3.348$$，故$$f(1.465) > f(3.348)$$，即$$a > c$$。
所以$$b > a > c$$。
答案：B
3. 函数$$f(x)=\cos(\sqrt{3}x+\varphi)$$，则导数$$f'(x)=-\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}x+\varphi)$$。
$$g(x)=f(x)+f'(x)=\cos(\sqrt{3}x+\varphi)-\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}x+\varphi)$$。
$$g(x)$$为偶函数，即$$g(-x)=g(x)$$。
计算$$g(-x)=\cos(-\sqrt{3}x+\varphi)-\sqrt{3}\sin(-\sqrt{3}x+\varphi)=\cos(\sqrt{3}x-\varphi)+\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}x-\varphi)$$（利用$$\cos(-θ)=\cosθ$$，$$\sin(-θ)=-\sinθ$$）。
设$$g(x)=R\cos(\sqrt{3}x+\varphi+\alpha)$$，其中$$R=\sqrt{1+3}=2$$，$$\tan\alpha=\sqrt{3}$$，即$$\alpha=\frac{\pi}{3}$$。
故$$g(x)=2\cos(\sqrt{3}x+\varphi+\frac{\pi}{3})$$。
同理$$g(-x)=2\cos(\sqrt{3}x-\varphi+\frac{\pi}{3})$$（因$$\cos(-θ)=\cosθ$$）。
由偶函数条件，$$2\cos(\sqrt{3}x+\varphi+\frac{\pi}{3})=2\cos(\sqrt{3}x-\varphi+\frac{\pi}{3})$$对所有x成立。
即$$\cos(\theta+\varphi+\frac{\pi}{3})=\cos(\theta-\varphi+\frac{\pi}{3})$$，其中$$\theta=\sqrt{3}x$$。
这要求$$\varphi+\frac{\pi}{3}=-(\varphi+\frac{\pi}{3})+2k\pi$$或$$\varphi+\frac{\pi}{3}=\varphi+\frac{\pi}{3}+2k\pi$$（后者恒等）。
由前者：$$2\varphi+\frac{2\pi}{3}=2k\pi$$，即$$\varphi=k\pi-\frac{\pi}{3}$$。
给定$$\varphi \in (-\pi,0)$$，则$$k=0$$时$$\varphi=-\frac{\pi}{3}$$。
答案：A
4. 函数$$f(x)=2\cos(2x+\frac{\pi}{6})-1$$。
A: $$f(0)=2\cos(\frac{\pi}{6})-1=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{3}-1 \neq 0$$，错误。
B: 对称轴需满足$$2x+\frac{\pi}{6}=k\pi$$，即$$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}$$。$$x=\frac{\pi}{6}$$时，$$2 \times \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$$，不为$$k\pi$$，错误。
C: 单调区间：导数$$f'(x)=-4\sin(2x+\frac{\pi}{6})$$。递减时$$f'(x)<0$$，即$$\sin(2x+\frac{\pi}{6})>0$$，$$2k\pi < 2x+\frac{\pi}{6} < \pi+2k\pi$$。
解得$$k\pi-\frac{\pi}{12} < x < \frac{5\pi}{12}+k\pi$$。当$$k=0$$，区间为$$(-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12})$$，与给定$$[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]$$基本一致（端点导数为0，单调），正确。
D: 最大值$$2 \times 1 -1=1$$，错误。
答案：C
5. 函数$$f(x)=\sin(3x+\varphi)$$为偶函数，则$$f(-x)=f(x)$$，即$$\sin(-3x+\varphi)=\sin(3x+\varphi)$$。
利用$$\sin(-θ)=-\sinθ$$，得$$-\sin(3x-\varphi)=\sin(3x+\varphi)$$，即$$\sin(3x+\varphi)+\sin(3x-\varphi)=0$$。
和差化积：$$2\sin(3x)\cos\varphi=0$$对所有x成立，故$$\cos\varphi=0$$，$$\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$$。
给定$$0<\varphi<\pi$$，所以$$\varphi=\frac{\pi}{2}$$。
因此$$f(x)=\sin(3x+\frac{\pi}{2})=\cos(3x)$$。
向右平移$$\frac{\pi}{12}$$得$$g(x)=f(x-\frac{\pi}{12})=\cos[3(x-\frac{\pi}{12})]=\cos(3x-\frac{\pi}{4})$$。
对称中心即$$g(x)=0$$的点：$$\cos(3x-\frac{\pi}{4})=0$$，则$$3x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi$$。
解得$$3x=\frac{3\pi}{4}+k\pi$$，$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{3}$$。
即对称中心为$$(\frac{k\pi}{3}+\frac{\pi}{4},0)$$。
答案：A
6. 函数$$f(x)=\cos^2 x - \frac{1}{2}=\frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\cos 2x}{2}$$。
周期$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$$，且为偶函数（$$\cos$$为偶）。
答案：D
7. 判断假命题：
A: 例如$$\alpha=0,\beta=0$$，$$\sin(0+0)=0$$，$$\sin0+\sin0=0$$，成立，真。
B: 例如$$\varphi=\frac{\pi}{2}$$，$$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{2})=\cos(2x)$$为偶函数，假。
C: 显然真（$$x_0=-b/a$$）。
D: 令$$f(x)=0$$，即$$\ln^2 x + \ln x -a=0$$，设$$t=\ln x$$，$$t^2+t-a=0$$，判别式$$1+4a>0$$恒有解，真。
答案：B
8. 函数$$f(x)=\sin(3x-\frac{\pi}{2})=-\cos(3x)$$。
周期$$T=\frac{2\pi}{3}$$，且为偶函数（$$\cos$$为偶）。
答案：D
9. 判断奇函数（$$f(-x)=-f(x)$$）：
A: $$y=\sin x+1$$，非奇非偶。
B: $$y=\cos(x+\frac{\pi}{2})=-\sin x$$，为奇函数。
C: $$y=\sin(x-\frac{\pi}{2})=-\cos x$$，为偶函数。
D: $$y=\cos x-1$$，为偶函数。
答案：B
10. 要求R上偶函数，且在(0,3)递减。
A: $$y=x^3$$为奇函数。
B: $$y=\ln|x|$$为偶函数，但在(0,3)递增（导数$$1/x>0$$）。
C: $$y=2^x+2^{-x}$$为偶函数，导数$$2^x\ln2-2^{-x}\ln2=\ln2(2^x-2^{-x})>0$$当x>0，递增。
D: $$y=\cos x$$为偶函数，在(0,π)递减（包含(0,3) since 3<π），正确。
答案：D