正弦（型）函数的奇偶性-5.4 三角函数的图象与性质知识点考前基础选择题自测题解析-辽宁省等高一数学必修,平均正确率62.0%

4、['函数图象的平移变换'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '辅助角公式']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} \omega x+\operatorname{c o s} \omega x ( \omega> 0 )$$的最小正周期为$${{π}}$$，将$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像沿$${{x}}$$轴向右平移$$\varphi( \varphi> 0 )$$个单位，得到一个偶函数，则$${{φ}}$$的值可以为（）.

A.$$\varphi=\frac{2 \pi} {3}$$

B.$$\varphi=\frac{\pi} {3}$$

C.$$\varphi=\frac{\pi} {6}$$

D.$$\varphi=\frac{\pi} {1 2}$$

5、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性']

正确率60.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是奇函数，且$$f ( x )=f ( x+\pi)，$$当$$x \in[ \frac{\pi} {2}， \， \pi]$$时$$， ~ f ( x )=\operatorname{s i n} x，$$则$$f \left(-\frac{2 0 2 4} {3} \pi\right)$$的值为（）

A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

7、['正弦（型）函数的奇偶性'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%将函数$$y=\operatorname{s i n} ( x+\frac{\varphi} {2} ) \operatorname{c o s} ( x+\frac{\varphi} {2} )$$的图象沿$${{x}}$$轴向右平移$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$个单位后，得到一个偶函数的图象，则$${{φ}}$$的取值不可能是$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{5 \pi} {4}$$

B.$$- \frac{\pi} {4}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\frac{3 \pi} {4}$$

8、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=| \operatorname{s i n} x |$$，下列结论中错误的是$${{(}{)}}$$

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$既是偶函数，又是周期函数

B.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ {\frac{\pi} {2}}+2 k \pi， {\frac{3 \pi} {2}}+2 k \pi] ( k \in Z )$$上单调递减

C.$$y=f ( x )$$的图象关于直线$$x \!=\! \frac{\pi} {2}$$对称

D.$$y=f ( x )$$的图象关于直线$${{x}{=}{π}}$$对称

9、['正弦（型）函数的奇偶性'， '给角求值'， '余弦（型）函数的奇偶性']

正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的定义域为$${{R}}$$，且函数$$y=f \left( \begin{matrix} {2 x} \\ {\mu} \\ {\mu} \\ \end{matrix} \right) )+3 \operatorname{s i n} x$$的图象关于$${{y}}$$轴对称，函数$$y=f \left( \begin{matrix} {2 x} \\ {\medskip} \\ {\medskip} \\ \end{matrix} \right) \ +3 \operatorname{c o s} x$$的图象关于原点对称，则$$f ( \frac{\pi} {3} )=($$）

A.$$- \frac{3+3 \sqrt{3}} {2}$$

B.$$\frac{3-3 \sqrt{3}} {2}$$

C.$$\frac{3+3 \sqrt{3}} {2}$$

D.$$\frac{-3+3 \sqrt{3}} {2}$$

10、['正弦（型）函数的奇偶性'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%将函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {4} )$$的图象向左平移$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$个单位后得到$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，下列是$${{g}{（}{x}{）}}$$的其中一个单调递增区间的是（）

A.$$( \frac{\pi} {4}， \ \frac{\pi} {2} )$$

B.$$( \frac{5 \pi} {8}， ~ \frac{7 \pi} {8} )$$

C.$$( 0， ~ \frac{\pi} {4} )$$

D.$$(-\frac{\pi} {8}， \ \frac{\pi} {8} )$$．

### 题目4解析

首先将函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin \omega x + \cos \omega x$$ 化简为单一三角函数形式：

$$f(x) = 2 \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{6} \right)$$

已知最小正周期为 $$\pi$$，由周期公式 $$T = \frac{2\pi}{\omega}$$ 得：

$$\omega = 2$$

平移后的函数为：

$$g(x) = 2 \sin \left( 2(x - \varphi) + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left( 2x - 2\varphi + \frac{\pi}{6} \right)$$

要求 $$g(x)$$ 为偶函数，需满足 $$-2\varphi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），解得：

$$\varphi = -\frac{\pi}{3} - \frac{k\pi}{2}$$

取 $$\varphi > 0$$ 的最小值为 $$\varphi = \frac{\pi}{3}$$（当 $$k = -1$$ 时）。因此，选项 B 正确。

最终答案：B

--- ### 题目5解析

函数 $$f(x)$$ 是奇函数且满足 $$f(x) = f(x + \pi)$$，说明其周期为 $$\pi$$。

计算 $$f\left(-\frac{2024}{3}\pi\right)$$：

1. 利用周期性化简： $$f\left(-\frac{2024}{3}\pi\right) = f\left(-\frac{2024}{3}\pi + 675\pi \right) = f\left(\frac{\pi}{3}\right)$$ 2. 由于 $$\frac{\pi}{3} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$，利用奇函数性质： $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = -f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$$ 3. 根据给定区间表达式： $$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 4. 因此： $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

最终答案：B

--- ### 题目7解析

首先化简函数：

$$y = \sin\left(x + \frac{\varphi}{2}\right) \cos\left(x + \frac{\varphi}{2}\right) = \frac{1}{2} \sin(2x + \varphi)$$

平移后的函数为：

$$g(x) = \frac{1}{2} \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{8}\right) + \varphi\right) = \frac{1}{2} \sin\left(2x - \frac{\pi}{4} + \varphi\right)$$

要求 $$g(x)$$ 为偶函数，需满足 $$-\frac{\pi}{4} + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$），解得：

$$\varphi = \frac{3\pi}{4} + k\pi$$

选项中不符合此通解的是 $$-\frac{\pi}{4}$$（对应 $$k = -1$$ 时为 $$\frac{7\pi}{4}$$，但 $$-\frac{\pi}{4}$$ 不在解集中）。

最终答案：B

--- ### 题目8解析

分析选项：

- A：正确，$$f(x) = |\sin x|$$ 是偶函数且周期为 $$\pi$$。 - B：错误，$$f(x)$$ 在 $$\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$$ 上单调递减，但在 $$\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$$ 上单调递增。 - C：正确，$$f\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = f\left(\frac{\pi}{2} - t\right)$$。 - D：正确，$$f(\pi + t) = f(\pi - t)$$。

最终答案：B

--- ### 题目9解析

由对称性条件：

1. $$y = f(2x) + 3\sin x$$ 关于 $$y$$ 轴对称，说明 $$f(2x) + 3\sin x$$ 为偶函数： $$f(-2x) + 3\sin(-x) = f(2x) + 3\sin x$$ 即 $$f(-2x) = f(2x) + 6\sin x$$。 2. $$y = f(2x) + 3\cos x$$ 关于原点对称，说明 $$f(2x) + 3\cos x$$ 为奇函数： $$f(-2x) + 3\cos(-x) = -f(2x) - 3\cos x$$ 即 $$f(-2x) = -f(2x) - 6\cos x$$。 3. 联立两式得： $$f(2x) + 6\sin x = -f(2x) - 6\cos x$$ 解得： $$f(2x) = -3(\sin x + \cos x)$$。 4. 代入 $$x = \frac{\pi}{6}$$： $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = -3\left(\sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}$$。

最终答案：A

--- ### 题目10解析

平移后的函数为：

$$g(x) = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\pi}{4}\right) = \sin(2x + \frac{\pi}{2}) = \cos(2x)$$

求单调递增区间：

$$g'(x) = -2\sin(2x) > 0 \Rightarrow \sin(2x) < 0$$ 即 $$2x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$$，解得 $$x \in \left(\frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi\right)$$。

选项中 $$\left(\frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right)$$ 符合 $$k = 0$$ 时的区间。

最终答案：B

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