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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( \omega x+\varphi) \left( \omega> 0， \ | \varphi| < \frac{\pi} {2} \right)，$$其图象相邻的两条对称轴之间的距离为$$\frac{\pi} {4}，$$且直线$$x=\frac{\pi} {1 2}$$是其中的一条对称轴，则下列说法错误的是（）
B
A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小正周期为$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$f \left( \frac{3 \pi} {8} \right)=-\frac{1} {2}$$
C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[-\frac{\pi} {6}， \， \， \frac{\pi} {1 2} ]$$上单调递增
D.点$$\left(-\frac{7 \pi} {2 4}， \ 0 \right)$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$图象的一个对称中心
2、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '函数图象的平移变换'， '函数求解析式'， '余弦曲线的对称中心']正确率60.0%将函数$$y=\operatorname{c o s} ( x+\pi)$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度，然后将各点的横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍(纵坐标不变$${{)}}$$，所得函数图象的对称中心为
A
A.$$\left( \frac{\pi} {3}+2 k \pi， 0 \right) ( k \in{\bf Z} )$$
B.$$\left( \frac{\pi} {4}+2 k \pi， 0 \right) ( k \in{\bf Z} )$$
C.$$\left( \frac{\pi} {2}+2 k \pi， 0 \right) ( k \in{\bf Z} )$$
D.$$\left( \pi+2 k \pi， 0 \right) \left( k \in{\bf Z} \right)$$
3、['余弦曲线的对称中心']正确率60.0%函数$$y=2 \operatorname{c o s} ( 2 x+\frac{\pi} {4} )$$的图象关于$${{(}{)}}$$
B
A.原点对称
B.点$$(-\frac{3 \pi} {8}， 0 )$$对称
C.$${{y}}$$轴对称
D.直线$$x=\frac{\pi} {4}$$对称
4、['函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '余弦曲线的对称中心']正确率60.0%函数$$y=\frac1 2 \operatorname{c o s} 2 x+\frac1 2$$的图像的一个对称中心为$${{(}{)}}$$
A
A.$$( \frac{\pi} {4}， \frac{1} {2} )$$
B.$$( \frac{\pi} {4}， 1 )$$
C.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
D.$$( \frac{\pi} {2}， 0 )$$
5、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '正弦曲线的对称中心'， '余弦曲线的对称轴'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦曲线的对称中心']正确率60.0%设函数$$f ( x )=-3 \operatorname{s i n} ( x+\frac{\pi} {2} ) ( x \in R )$$，则下列正确是（）
C
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[-\frac{\pi} {2}， \frac{\pi} {2} ]$$上是增函数
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[ 0， \pi]$$上是减函数
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{y}}$$轴对称
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于原点对称
6、['利用诱导公式化简'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦曲线的对称中心']正确率60.0%关于函数$$y=\operatorname{s i n} \biggl( 2 x+\frac{5 \pi} {2} \biggr)$$的说法，以下不正确的是（$${）}$$．
B
A.图像关于$$x=\frac{\pi} {2}$$对称
B.是奇函数
C.图像关于点$$\left(-\frac{3 \pi} {4}， 0 \right)$$对称
D.图像关于$$x=-\frac{\pi} {2}$$对称
7、['三角函数的图象变换'， '余弦曲线的对称中心']正确率40.0%将函数$$f ( x )=4 \operatorname{c o s} \Bigl( x+\frac{\pi} {3} \Bigr)+1$$的图像上所有点的横坐标缩短到原来的$$\frac{1} {2} ($$纵坐标不变$${{)}}$$，再把图像向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位，得到函数$$y=g ( x )$$的图像，则函数$$y=g ( x )$$图像的一个对称中心为（）
B
A.$$\left( \frac{1 1 \pi} {1 2}，-1 \right)$$
B.$$\left( \frac{1 1 \pi} {1 2}， 1 \right)$$
C.$$\left( \frac{\pi} {1 2}，-1 \right)$$
D.$$\left( \frac{\pi} {1 2}， 1 \right)$$
8、['利用诱导公式化简'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换'， '余弦曲线的对称中心']正确率40.0%将函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x+\operatorname{c o s}^{2} x$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，则函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的一个对称中心是（）
A
A.$$( \frac{\pi} {4}， \ \frac{1} {2} )$$
B.$$( \mathrm{~}-\frac{\pi} {4}， \mathrm{~}-\frac{1} {2} )$$
C.$$( \frac{\pi} {1 2}， \ \frac{1} {2} )$$
D.$$( ~-\frac{5 \pi} {1 2}， ~-\frac{1} {2} )$$
9、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '导数与单调性'， '余弦曲线的对称中心']正确率40.0%已知$$f ( x )=\operatorname{s i n} \， x \， \operatorname{c o s} \， 2 x$$，下列结论中错误的是（）
D
A.$$y=f ( x )$$的图像关于点$$( \pi， 0 )$$中心对称
B.$$y=f ( x )$$的图像关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值为$${{1}}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$最小值为$$- \frac{\sqrt6} {9}$$
10、['辅助角公式'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性'， '余弦曲线的对称中心']正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x-2 \sqrt{3} \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x$$下列命题中正确的是$${{(}{)}}$$
$${{(}{1}{)}}$$若存在$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$有$$x_{1}-x_{2}=\pi$$时，$$f ( x_{1} )=f ( x_{2} )$$成立
$$( 2 ) f ( x )$$在$$[-\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} ]$$是单调递增
$${{(}{3}{)}}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$关于点$$( \frac{\pi} {1 2}， 0 )$$成中心对称图象
$${{(}{4}{)}}$$将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象向左平移$$\frac{5 \pi} {1 2}$$个单位后将与$$y=2 \operatorname{s i n} 2 x$$重合．
B
A.$$( 1 ) ( 2 )$$
B.($$1 ) ( 3 )$$
C.($$1 ) ( 2 ) ( 3 )$$
D.$$( 1 ) ( 3 ) ( 4 )$$
1. 解析：
已知函数 $$f(x) = \cos(\omega x + \varphi)$$，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为 $$\frac{\pi}{4}$$，且直线 $$x = \frac{\pi}{12}$$ 是其中的一条对称轴。
步骤1：确定周期和频率
相邻对称轴之间的距离为半个周期，因此周期 $$T = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$，频率 $$\omega = \frac{2\pi}{T} = 4$$。
步骤2：确定相位
对称轴 $$x = \frac{\pi}{12}$$ 满足 $$\omega x + \varphi = k\pi$$，代入 $$\omega = 4$$ 和 $$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$$，解得 $$\varphi = -\frac{\pi}{3}$$。
步骤3：验证选项
选项A：最小正周期为 $$\frac{\pi}{2}$$，正确。
选项B：计算 $$f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \cos\left(4 \times \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，与题目给出的 $$-\frac{1}{2}$$ 不符，错误。
选项C：函数在 $$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{12}]$$ 上单调递增，正确。
选项D：验证对称中心 $$\left(-\frac{7\pi}{24}, 0\right)$$，满足 $$f\left(-\frac{7\pi}{24}\right) = 0$$，正确。
答案：B
2. 解析：
函数 $$y = \cos(x + \pi)$$ 经过左移 $$\frac{\pi}{3}$$ 后变为 $$y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3} + \pi\right) = \cos\left(x + \frac{4\pi}{3}\right)$$。
横坐标伸长到原来的2倍后，函数变为 $$y = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{3}\right)$$。
对称中心满足 $$\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$。
答案：A
3. 解析：
函数 $$y = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$。
验证对称性：
选项B：代入 $$x = -\frac{3\pi}{8}$$，$$y = 2\cos\left(-\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$$，正确。
其他选项不满足对称性。
答案：B
4. 解析：
函数 $$y = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}$$。
对称中心满足 $$\cos 2x = 0$$，即 $$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$$。
当 $$k = 0$$ 时，对称中心为 $$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{2}\right)$$。
答案：A
5. 解析：
函数 $$f(x) = -3\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -3\cos x$$。
选项A：在 $$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$$ 上，$$\cos x$$ 递减，$$f(x)$$ 递增，正确。
选项B：在 $$[0, \pi]$$ 上，$$\cos x$$ 递减，$$f(x)$$ 递增，错误。
选项C：$$f(x)$$ 是偶函数，关于 $$y$$ 轴对称，正确。
选项D：$$f(x)$$ 不是奇函数，不关于原点对称，错误。
答案：A
6. 解析：
函数 $$y = \sin\left(2x + \frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x$$。
选项B：$$\cos 2x$$ 是偶函数，不是奇函数，错误。
其他选项均正确。
答案：B
7. 解析：
函数 $$f(x) = 4\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1$$。
横坐标缩短到原来的 $$\frac{1}{2}$$ 后变为 $$y = 4\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 1$$。
左移 $$\frac{\pi}{6}$$ 后变为 $$y = 4\cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 4\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) + 1$$。
对称中心满足 $$2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$x = \frac{11\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$$，且 $$y = 1$$。
当 $$k = -1$$ 时，对称中心为 $$\left(\frac{11\pi}{12} - \frac{\pi}{2}, 1\right) = \left(\frac{5\pi}{12}, 1\right)$$，但选项中有 $$\left(\frac{11\pi}{12}, 1\right)$$ 符合 $$k = 0$$ 的情况。
答案：B
8. 解析：
函数 $$f(x) = \sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \frac{1 + \cos 2x}{2}$$。
左移 $$\frac{\pi}{6}$$ 后变为 $$g(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) + \frac{1 + \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)}{2}$$。
化简得 $$g(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$$。
对称中心满足 $$2x + \frac{\pi}{3} = k\pi$$，解得 $$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$$，且 $$y = \frac{1}{2}$$。
当 $$k = -1$$ 时，对称中心为 $$\left(-\frac{5\pi}{12}, \frac{1}{2}\right)$$。
答案：D
9. 解析：
函数 $$f(x) = \sin x \cos 2x$$。
选项C：$$f(x)$$ 的最大值可通过求导或三角恒等变换得到，实际最大值不为1，错误。
其他选项均正确。
答案：C
10. 解析：
函数 $$f(x) = \cos 2x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x = \cos 2x - \sqrt{3}\sin 2x = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$。
命题1：$$f(x)$$ 的周期为 $$\pi$$，因此 $$x_1 - x_2 = \pi$$ 时 $$f(x_1) = f(x_2)$$，正确。
命题2：在 $$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$$ 上，$$2x + \frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$$，$$\cos$$ 函数递减，因此 $$f(x)$$ 递减，错误。
命题3：对称中心满足 $$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$$，正确。
命题4：左移 $$\frac{5\pi}{12}$$ 后函数为 $$2\cos\left(2\left(x + \frac{5\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(2x + \frac{7\pi}{6}\right) \neq 2\sin 2x$$，错误。
答案：B