正弦（型）函数的零点-5.4 三角函数的图象与性质知识点专题进阶自测题答案-天津市等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性']

正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=m \operatorname{c o s} \ \left( \begin{matrix} {x+\alpha} \\ \end{matrix} \right) \ +n \operatorname{c o s} \ \left( \begin{matrix} {x+\beta} \\ \end{matrix} \right)$$，其中$$m， ~ n， ~ \alpha， ~ \beta$$为已知实常数，$${{x}{∈}{R}}$$，则下列命题中错误的是
（）

A.若$$f ~ ( 0 ) ~=f ~ ( \frac{\pi} {2} ) ~=0$$，则$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =0$$对任意实数$${{x}}$$恒成立

B.若$$f \left( \begin{matrix} {0} \\ \end{matrix} \right) \ =0$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$为奇函数

C.若$$f ( \frac{\pi} {2} ) ~=0$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$为偶函数

D.当$$f^{2} \ ( 0 ) \ +f^{2} \ ( \frac{\pi} {2} ) \ \neq0$$时，若$$f \left( \begin{matrix} {x_{1}} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {x_{2}} \\ \end{matrix} \right) ~=0$$，则$$x_{1}-x_{2}=2 k \pi\ ( \， k \in Z )$$

2、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\sin^{2} {\frac{\omega x} {2}}+{\frac{1} {2}} \mathrm{s i n ~} \omega x-{\frac{1} {2}} ( \omega> 0 ). \， \， \， x \in R$$.若$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$( \pi， 2 \pi)$$内没有零点，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$\left( 0， \frac{1} {8} \right]$$

B.$$\left( 0， \frac{1} {4} \right] \cup\left[ \frac{5} {8}， 1 \right)$$

C.$$\left( 0， \frac{5} {8} \right]$$

D.$$\left( 0， \frac{1} {8} \right] \cup\left[ \frac{1} {4}， \frac{5} {8} \right]$$

3、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']

正确率60.0%设$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( x+\frac{\pi} {4} )$$，若在$$x \in[ 0， 2 \pi)$$上关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=m$$有两个不等的实根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\pi} {2}$$或$$\frac{5 \pi} {2}$$

B.$$\frac{\pi} {2}$$或$$\frac{3 \pi} {2}$$

C.$$\frac{3 \pi} {2}$$

D.$$\frac{\pi} {2}$$

4、['正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率60.0%若在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {2} ]$$内有两个不同的实数$${{x}}$$满足$$\operatorname{c o s} 2 x+\sqrt{3} \operatorname{s i n} 2 x=m，$$则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$l < m \leqslant2$$

B.$$1 \leqslant m < 2$$

C.$$- 2 \leqslant m \leqslant2$$

D.$${{m}{⩽}{2}}$$

5、['正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']

正确率60.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 4 x+\frac{\pi} {4} ) ( x \in[ 0， \， \， \， \frac{9 \pi} {1 6} ] )$$，若函数$$y=f \left( \begin{matrix} {\alpha} \\ \end{matrix} \right)+a \left( \begin{matrix} {\alpha} \\ {\alpha} \\ \end{matrix} \in R \right)$$恰有三个零点$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}$$$$( x_{1} < x_{2} < x_{3} )$$，则$$x_{1}+x_{2}+x_{3}$$的取值范围是（）

A.$$[ \frac{5 \pi} {8}， ~ \frac{1 1 \pi} {1 6} )$$

B.$$( {\frac{5 \pi} {8}}， ~ {\frac{1 1 \pi} {1 6}} ]$$

C.$$[ \frac{7 \pi} {8}， ~ \frac{1 5 \pi} {1 6} )$$

D.$$( \frac{7 \pi} {8}， ~ \frac{1 5 \pi} {1 6} ]$$

6、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} )， \， \， \， x=-\frac{\pi} {4}$$为$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的零点，$$x=\frac{\pi} {4}$$为$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$图象的对称轴，且$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$\left( \frac{\pi} {1 8}， \frac{7 \pi} {3 6} \right)$$上单调，则$${{ω}}$$的最大值为（）

A.$${{7}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{1}}$$

7、['正弦（型）函数的零点']

正确率60.0%函数$$f ( x )=3 \operatorname{s i n} ( \omega x-\frac{\pi} {6} ) ( \omega> 0 )$$在区间$$[ 0， \pi]$$上恰有$${{2}}$$个零点，则$${{ω}}$$的取值范围为（）

A.$$( {\frac{7} {6}}， {\frac{1 3} {6}} ]$$

B.$$[ \frac{7} {6}， \frac{1 3} {6} )$$

C.$$( {\frac{5} {6}}， {\frac{1 1} {6}} ]$$

D.$$[ \frac{5} {6}， \frac{1 1} {6} )$$

8、['正弦（型）函数的零点'， '函数求值'， '函数零点的概念']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} [ \frac{\pi} {3} ( x-1 ) ]$$在区间$$[-3， ~ 5 ]$$上的所有零点之和等于（）

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{2}}$$

9、['三角恒等变换综合应用'， '正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '两角和与差的正弦公式']

正确率40.0%已知$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n} \left( \omega x-\frac{\pi} {3} \right)+\operatorname{s i n} \omega x-\frac{\sqrt{3}} {2} \left( \omega> 0 \right)$$在$$\left( 0， \ \frac{\pi} {2} \right)$$上有且只有$${{3}}$$个零点，则实数$${{ω}}$$的取值范围是（）

A.$$( \frac{1 4} {3}， ~ 6 ]$$

B.$$( 5， ~ \frac{1 7} {3} ]$$

C.$$( 5， ~ 6 ]$$

D.$$( \frac{1 4} {3}， \; 5 ]$$

10、['正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 3 x+\frac{1} {2} \varphi)$$的图象的一条对称轴是$$x=\frac{\pi} {3}$$，则下列是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点的是（）

A.$$- \frac{\pi} {3}$$

B.$$- \frac{\pi} {6}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$

1. 解析：

函数$$f(x) = m \cos(x + \alpha) + n \cos(x + \beta)$$可以表示为$$f(x) = A \cos x + B \sin x$$的形式，其中$$A$$和$$B$$为常数。若$$f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$，则$$A = B = 0$$，因此$$f(x) = 0$$对所有$$x$$成立，选项A正确。若$$f(0) = 0$$，则$$A = 0$$，此时$$f(x) = B \sin x$$为奇函数，选项B正确。若$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$，则$$B = 0$$，此时$$f(x) = A \cos x$$为偶函数，选项C正确。选项D错误，因为$$f(x)$$可能有多个零点，且$$x_1 - x_2$$不一定为$$2k\pi$$。答案为D。

2. 解析：

函数$$f(x) = \sin^2\left(\frac{\omega x}{2}\right) + \frac{1}{2} \sin \omega x - \frac{1}{2}$$化简为$$f(x) = \frac{1 - \cos \omega x}{2} + \frac{1}{2} \sin \omega x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (\sin \omega x - \cos \omega x)$$。要求$$f(x)$$在$$(\pi, 2\pi)$$无零点，即$$\sin \omega x - \cos \omega x = 0$$无解，即$$\tan \omega x = 1$$无解。解得$$\omega \in \left(0, \frac{1}{8}\right] \cup \left[\frac{1}{4}, \frac{5}{8}\right]$$。答案为D。

3. 解析：

函数$$f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$在$$[0, 2\pi)$$上关于$$x$$的方程$$f(x) = m$$有两个不等实根$$x_1, x_2$$时，$$x_1 + x_2$$为对称轴的两倍。对称轴为$$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$或$$x = \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$$（超出区间）。因此$$x_1 + x_2 = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$或$$2 \times \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$$。答案为A。

4. 解析：

方程$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = m$$可化为$$2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = m$$。在$$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$内，$$2x + \frac{\pi}{6} \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]$$，$$\sin$$函数在此区间内先增后减，且$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$，$$\sin \frac{\pi}{2} = 1$$，$$\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$$。因此$$m \in (1, 2]$$。答案为A。

5. 解析：

函数$$f(x) = \sin\left(4x + \frac{\pi}{4}\right)$$在$$x \in \left[0, \frac{9\pi}{16}\right]$$上，$$4x + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}\right]$$。$$y = f(x) + a$$有三个零点时，$$a$$需使$$f(x)$$与$$-a$$有三个交点。通过分析极值点，$$x_1 + x_2 + x_3$$的范围为$$\left[\frac{7\pi}{8}, \frac{15\pi}{16}\right)$$。答案为C。

6. 解析：

由题意，$$f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 0$$和$$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$为极值点，可得$$\omega \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \varphi = k\pi$$和$$\omega \left(\frac{\pi}{4}\right) + \varphi = \frac{\pi}{2} + l\pi$$。解得$$\omega = 2k + 1$$。又$$f(x)$$在$$\left(\frac{\pi}{18}, \frac{7\pi}{36}\right)$$单调，$$\omega$$的最大值为5。答案为B。

7. 解析：

函数$$f(x) = 3 \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right)$$在$$[0, \pi]$$上恰有2个零点，即$$\omega x - \frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{6}, \omega \pi - \frac{\pi}{6}\right]$$包含$$k\pi$$和$$(k+1)\pi$$。解得$$\omega \in \left(\frac{7}{6}, \frac{13}{6}\right]$$。答案为A。

8. 解析：

函数$$f(x) = \sin\left[\frac{\pi}{3}(x - 1)\right]$$在$$[-3, 5]$$上的零点满足$$\frac{\pi}{3}(x - 1) = k\pi$$，即$$x = 3k + 1$$。$$k$$取$$-1, 0, 1$$，零点为$$-2, 1, 4$$，和为3。答案为C。

9. 解析：

函数$$f(x) = \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{3}\right) + \sin \omega x - \frac{\sqrt{3}}{2}$$化简后为$$f(x) = 2 \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$。在$$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$上有3个零点，解得$$\omega \in \left(\frac{14}{3}, 6\right]$$。答案为A。

10. 解析：

函数$$f(x) = \sin\left(3x + \frac{1}{2}\varphi\right)$$的对称轴为$$x = \frac{\pi}{3}$$，则$$3 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得$$\varphi = -\pi + 2k\pi$$。零点满足$$3x + \frac{1}{2}\varphi = l\pi$$，代入$$\varphi$$得$$x = \frac{l\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$$。当$$l = -1$$时，$$x = -\frac{\pi}{6}$$。答案为B。

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