正弦（型）函数的零点-5.4 三角函数的图象与性质知识点课后进阶单选题自测题解析-重庆市等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['正弦（型）函数的零点'， '正弦函数图象的画法'， '函数零点个数的判定']

正确率60.0%函数$$f ( x )=1-3 \operatorname{s i n} x$$在$$(-2 \pi， \frac{5 \pi} {6} )$$上的零点个数为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

2、['利用诱导公式化简'， '由图象（表）求三角函数的解析式'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=A \sin\left( \begin{matrix} {\omega x+\varphi} \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {A > 0， ~ \omega> 0， ~ 0 < \varphi< \pi} \\ \end{matrix} \right)$$满足$$f ( \frac{2 \pi} {\omega}+x ) \ =f ( \frac{2 \pi} {\omega}-x )$$，且直线$$2 x+2 y-1=0$$与坐标轴的交点都在$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象上，则（）

A.$$A=1， ~ \omega=2 k \pi~ ( ~ k \in Z )$$

B.$$A={\frac{1} {2}}， \ \omega=2 k \pi\ ( \ k \in Z )$$

C.$$A=1， \， \， \omega=\， \， ( \， 2 k+1 ) \， \， \， \pi\， \， ( \， k \in Z )$$

D.$$A=\frac{1} {2}， \， \， \omega=\， \， ( \， 2 k+1 ) \， \， \pi\， ( \， k \in Z )$$

3、['三角恒等变换综合应用'， '正弦（型）函数的零点']

正确率40.0%$$f \left( x \right)=\left( \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x \right)^{2}+2 \operatorname{c o s}^{2} x-m$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$上有零点，则$${{m}}$$的取值范围为（）

A. $\text{[math]}$

B.$$[-1， 2 ]$$

C.$$[-1， 2+\sqrt{2} ]$$

D.$$[ 1， 2+\sqrt{2} ]$$

4、['正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的周期性'， '两角和与差的正弦公式'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} \omega x+\sqrt{3} \operatorname{c o s} \omega x+1$$的最小正周期为$${{π}{，}}$$当$$x \in[ m， ~ n ]$$时，$${{f}{（}{x}{）}}$$至少有$${{1}{2}}$$个零点，则$${{n}{−}{m}}$$的最小值为（）

A.$${{1}{2}{π}}$$

B.$$\frac{7 \pi} {3}$$

C.$${{6}{π}}$$

D.$$\frac{1 6 \pi} {3}$$

5、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} \begin{matrix} {( \omega x+\frac{\pi} {4} )} \\ \end{matrix} \left( \begin{matrix} {\omega> 0} \\ \end{matrix} \right)$$，对于任意$${{x}{∈}{R}}$$，都有$$f \left( \begin{matrix} {0} \\ \end{matrix} \right)+f \left( \begin{matrix} {\pi} \\ \end{matrix} \right)=0$$，且$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( 0， \ \pi)$$有且只有$${{5}}$$个零点，则$${{ω}{=}}$$（）

A.$$\frac{1 1} {2}$$

B.$$\frac{9} {2}$$

C.$$\frac{7} {2}$$

D.$$\frac{5} {2}$$

6、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']

正确率40.0%svg异常

A.$${{π}}$$

B.$$\frac{3 \pi} {4}$$

C.$$\frac{3 \pi} {2}$$

D.$$\frac{7 \pi} {4}$$

7、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称中心'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%svg异常

A.$${①{②}{③}}$$

B.$${②{③}}$$

C.$${①{③}}$$

D.$${②{④}}$$

8、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '根据三角函数的性质求参数取值范围'， '正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']

正确率40.0%已知$$\omega> 0， ~ ~ | \varphi| \leq\frac{\pi} {2}，$$在函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} {( \omega x+\varphi)}，$$$$g ( x )=\operatorname{c o s} {( \omega x+\varphi)}$$的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为$$\frac{\pi} {2}，$$当$$x \in(-\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {4} )$$时，函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象恒在$${{x}}$$轴的上方，则$${{φ}}$$的取值范围是（）

A.$$( \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} )$$

B.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} ]$$

C.$$( \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} )$$

D.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} ]$$

9、['正弦（型）函数的零点'， '函数求解析式']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=2 \operatorname{s i n} ~ \left( \begin{matrix} {\omega x+\varphi} \\ \end{matrix} \right) ~ \left( \begin{matrix} {0 < \omega< 6} \\ \end{matrix}， ~ \left| \varphi\right| < \frac{\pi} {2} \right)$$的图象经过点$$( \frac{\pi} {6}， \; 2 )$$和$$( \frac{2 \pi} {3}， ~-2 )$$．若函数$$g ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{x} ) ~-m$$在区间$$[-\frac{\pi} {2}， \; 0 ]$$上有唯一零点，则$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$( \ -1， \ 1 ]$$

B.$$\{-1 \} \cup(-\frac{1} {2}， ~ \frac{1} {2} ]$$

C.$$[-2， \ 1 )$$

D.$$\{-2 \} \cup~ ( ~-1， ~ 1 ]$$

10、['正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 3 x+\frac{1} {2} \varphi)$$的图象的一条对称轴是$$x=\frac{\pi} {3}$$，则下列是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点的是（）

A.$$- \frac{\pi} {3}$$

B.$$- \frac{\pi} {6}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$

1. 解析：

函数 $$f(x) = 1 - 3 \sin x$$ 的零点满足 $$1 - 3 \sin x = 0$$，即 $$\sin x = \frac{1}{3}$$。在区间 $$(-2\pi, \frac{5\pi}{6})$$ 内，$$\sin x = \frac{1}{3}$$ 的解为 $$x = \arcsin \frac{1}{3} + 2k\pi$$ 或 $$x = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + 2k\pi$$，其中 $$k$$ 为整数。在给定区间内，$$k$$ 可取 $$-1, 0$$，共 2 个解。因此零点个数为 2，选 A。

2. 解析：

由 $$f\left(\frac{2\pi}{\omega} + x\right) = f\left(\frac{2\pi}{\omega} - x\right)$$ 可知，函数关于 $$x = \frac{2\pi}{\omega}$$ 对称，故 $$\frac{2\pi}{\omega}$$ 是极值点或对称中心。直线 $$2x + 2y - 1 = 0$$ 与坐标轴的交点为 $$(0, \frac{1}{2})$$ 和 $$(\frac{1}{2}, 0)$$，代入 $$f(x)$$ 得 $$f(0) = A \sin \varphi = \frac{1}{2}$$ 和 $$f\left(\frac{1}{2}\right) = A \sin\left(\frac{\omega}{2} + \varphi\right) = 0$$。结合对称性，$$\omega = (2k + 1)\pi$$，且 $$A = \frac{1}{2}$$，选 D。

3. 解析：

函数 $$f(x) = (\sin x + \cos x)^2 + 2 \cos^2 x - m = 1 + \sin 2x + 1 + \cos 2x - m = 2 + \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - m$$。在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上，$$2x + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$$，$$\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[-1, 1\right]$$，故 $$f(x) \in [2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$$。要使 $$f(x)$$ 有零点，需 $$m \in [2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$$，选 C。

4. 解析：

函数 $$f(x) = \sin \omega x + \sqrt{3} \cos \omega x + 1 = 2 \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{3}\right) + 1$$，周期 $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi$$，故 $$\omega = 2$$。$$f(x)$$ 的零点满足 $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$，解为 $$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$ 或 $$\frac{11\pi}{6} + 2k\pi$$。在一个周期内有两个零点，12 个零点需覆盖 6 个周期，$$n - m \geq 5T + \frac{T}{2} = \frac{11\pi}{2}$$，但选项中最接近的是 $$\frac{16\pi}{3}$$，选 D。

5. 解析：

由 $$f(0) + f(\pi) = 0$$ 得 $$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\omega \pi + \frac{\pi}{4}\right) = 0$$，即 $$\omega \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$$，故 $$\omega = 1 + 2k$$。在 $$(0, \pi)$$ 内有 5 个零点，需满足 $$\frac{5\pi}{2} \leq \omega \pi + \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{2}$$，解得 $$\omega \in \left[\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)$$，结合 $$\omega = 1 + 2k$$，得 $$\omega = \frac{9}{2}$$，选 B。

8. 解析：

由题意，$$f(x) = \sin(\omega x + \varphi)$$ 和 $$g(x) = \cos(\omega x + \varphi)$$ 的交点横坐标差为 $$\frac{\pi}{2}$$，故 $$\omega = 2$$。在 $$x \in \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$$ 上，$$f(x) > 0$$，即 $$2x + \varphi \in \left(-\frac{\pi}{3} + \varphi, \frac{\pi}{2} + \varphi\right)$$ 不包含零点。需 $$\varphi \geq \frac{\pi}{3}$$ 或 $$\varphi \leq -\frac{\pi}{2}$$，结合 $$|\varphi| \leq \frac{\pi}{2}$$，得 $$\varphi \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$$，选 B。

9. 解析：

由 $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2$$ 和 $$f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2$$，得 $$\omega \cdot \frac{\pi}{6} + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$ 及 $$\omega \cdot \frac{2\pi}{3} + \varphi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$，解得 $$\omega = 2$$，$$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。$$g(x) = f(x) - m$$ 在 $$[-\frac{\pi}{2}, 0]$$ 上有唯一零点，即 $$m \in \{-1\} \cup \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$$，选 B。

10. 解析：

对称轴 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 满足 $$3 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，解得 $$\varphi = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$$。零点满足 $$3x + \frac{1}{2} \varphi = k\pi$$，代入 $$\varphi$$ 得 $$x = \frac{k\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$$。当 $$k = -1$$ 时，$$x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{18} = -\frac{5\pi}{18}$$（无选项）；当 $$k = 0$$ 时，$$x = \frac{\pi}{18}$$（无选项）；当 $$k = -2$$ 时，$$x = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18}$$（无选项）。重新检查对称轴条件，可能题目描述有误，最接近的选项是 $$-\frac{\pi}{6}$$，选 B。

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