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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} ( 2 x+\varphi) ( \varphi\in[ 0， \， \， \pi] )$$为偶函数，则$${{φ}{=}}$$（）
C
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$${{π}}$$
2、['正弦（型）函数的奇偶性'， '函数图象的识别']正确率80.0%函数$$y=\frac{\operatorname{s i n} (-x )} {x} ( x \in[-\pi， \ 0 ) \cup( 0， \ \pi] )$$的图像大致是（）
A
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
3、['正弦（型）函数的奇偶性'， '函数图象的识别']正确率80.0%函数$$f ( x )=| x | \mathrm{s i n} 2 x$$的大致图像是（）
D
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
4、['利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%下列函数中最小正周期为$${{π}}$$，且为偶函数的是（）
C
A.$$y=| \operatorname{c o s} 2 x |$$
B.$$y=\operatorname{s i n} 2 x$$
C.$$y=\operatorname{s i n} \Bigl( 2 x+\frac{\pi} {2} \Bigr)$$
D.$$y=\operatorname{c o s} \frac1 2 x$$
5、['正弦（型）函数的奇偶性']正确率60.0%某作图软件的工作原理如下：给定$$\delta\in( 0， 0. 0 1 )，$$对于函数$$y=f ( x )$$，用直线段连接各点$$( n \delta， f ( n \delta) ) (-\frac{5} {\delta} \leq n \leq\frac{5} {\delta}， n \in Z )$$，所得图形作为$$y=f ( x )$$的图象．因而，该软件所绘$$y=\operatorname{s i n} ( 2 0 0 1 x )$$与$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图象完全重合，若其所绘$$y=\operatorname{c o s} ( \omega x )$$与$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$的图象也重合，则$${{ω}}$$不可能等于$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{9}{9}{9}}$$
B.$${{1}{0}{0}{1}}$$
C.$${{9}{9}{9}}$$
D.$${{1}{0}{1}}$$
6、['函数奇、偶性的图象特征'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '函数图象的识别']正确率60.0%函数$$f ( x )=\frac{x+\operatorname{s i n} x} {x^{2}+1}$$的图象大致为（）
A
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
7、['利用诱导公式求值'， '正弦（型）函数的奇偶性']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( x+\varphi) ( 0 < \varphi< \pi)$$是偶函数，则$$2 \operatorname{c o s} ( 2 \varphi+\frac{\pi} {3} )$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{1}}$$
8、['正弦（型）函数的奇偶性'， '给角求值'， '余弦（型）函数的奇偶性']正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的定义域为$${{R}}$$，且函数$$y=f \left( \begin{matrix} {2 x} \\ {\mu} \\ {\mu} \\ \end{matrix} \right) )+3 \operatorname{s i n} x$$的图象关于$${{y}}$$轴对称，函数$$y=f \left( \begin{matrix} {2 x} \\ {\medskip} \\ {\medskip} \\ \end{matrix} \right) \ +3 \operatorname{c o s} x$$的图象关于原点对称，则$$f ( \frac{\pi} {3} )=($$）
A
A.$$- \frac{3+3 \sqrt{3}} {2}$$
B.$$\frac{3-3 \sqrt{3}} {2}$$
C.$$\frac{3+3 \sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac{-3+3 \sqrt{3}} {2}$$
9、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%下列函数中，周期为$${{π}{，}}$$且在$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} ]$$上单调递增的奇函数是$${{(}{)}}$$
D
A.$$y=\operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {2} )$$
B.$$y=\operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{\pi} {2} )$$
C.$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {2} )$$
D.$$y=\operatorname{c o s} ( 2 x+\frac{\pi} {2} )$$
10、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '函数图象的翻折变换']正确率40.0%下列函数中，以$${{π}}$$为最小正周期的偶函数是（）
B
A.$$y=\operatorname{s i n} \left( x+\frac{\pi} {2} \right)$$
B.$$y=| \operatorname{s i n} x |$$
C.$$y=\operatorname{s i n} | x |$$
D.$$y=\operatorname{s i n} \left( 2 x+\frac{\pi} {3} \right)$$
1. 要使函数 $$f(x) = \sin x \cos(2x + \varphi)$$ 为偶函数，需满足 $$f(-x) = f(x)$$。代入计算：
$$f(-x) = \sin(-x) \cos(-2x + \varphi) = -\sin x \cos(2x - \varphi)$$
令其等于 $$f(x)$$，得到：
$$-\sin x \cos(2x - \varphi) = \sin x \cos(2x + \varphi)$$
化简得 $$\cos(2x + \varphi) + \cos(2x - \varphi) = 0$$，即 $$2 \cos 2x \cos \varphi = 0$$ 对所有 $$x$$ 成立。
因此 $$\cos \varphi = 0$$，解得 $$\varphi = \frac{\pi}{2}$$。故选 C。
2. 函数 $$y = \frac{\sin(-x)}{x} = -\frac{\sin x}{x}$$ 为奇函数，图像关于原点对称。当 $$x \to 0$$ 时，$$y \to -1$$。结合定义域 $$x \in [-\pi, 0) \cup (0, \pi]$$，图像在 $$x > 0$$ 时为负，$$x < 0$$ 时为正。故选 B。
3. 函数 $$f(x) = |x| \sin 2x$$ 为偶函数，图像关于 $$y$$ 轴对称。在 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = x \sin 2x$$，其零点为 $$x = \frac{k\pi}{2}$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。当 $$x \to 0^+$$ 时，$$f(x) \approx 2x^2$$。故选 D。
4. 选项分析：
A：$$y = |\cos 2x|$$，周期为 $$\frac{\pi}{2}$$，不符合。
B：$$y = \sin 2x$$ 为奇函数，不符合。
C：$$y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x$$，周期为 $$\pi$$ 且为偶函数，符合。
D：$$y = \cos \frac{1}{2}x$$，周期为 $$4\pi$$，不符合。
故选 C。
5. 软件绘图的采样间隔为 $$\delta$$，若 $$y = \cos(\omega x)$$ 与 $$y = \cos x$$ 重合，需满足 $$\omega \delta = 1 + 2k\pi$$ 或 $$\omega \delta = -1 + 2k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。
代入 $$\delta = \frac{1}{2001}$$（由 $$\sin(2001x)$$ 与 $$\sin x$$ 重合得出），则 $$\omega = 2001(1 + 2k\pi)$$ 或 $$2001(-1 + 2k\pi)$$。
选项中只有 $$\omega = 999$$ 不满足此形式，故选 C。
6. 函数 $$f(x) = \frac{x + \sin x}{x^2 + 1}$$ 为奇函数，图像关于原点对称。当 $$x \to \infty$$ 时，$$f(x) \approx \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0$$。在 $$x = 0$$ 处 $$f(0) = 0$$。故选 A。
7. 函数 $$f(x) = 2 \sin(x + \varphi)$$ 为偶函数，需满足 $$\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。由 $$0 < \varphi < \pi$$，得 $$\varphi = \frac{\pi}{2}$$。
计算 $$2 \cos\left(2\varphi + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -2 \cos \frac{\pi}{3} = -1$$。故选 B。
8. 由题意，$$y = f(2x) + 3 \sin x$$ 关于 $$y$$ 轴对称，故 $$f(-2x) + 3 \sin(-x) = f(2x) + 3 \sin x$$，即 $$f(-2x) = f(2x) + 6 \sin x$$。
$$y = f(2x) + 3 \cos x$$ 关于原点对称，故 $$f(-2x) + 3 \cos(-x) = -f(2x) - 3 \cos x$$，即 $$f(-2x) = -f(2x) - 6 \cos x$$。
联立得 $$f(2x) = -3 \sin x - 3 \cos x$$，故 $$f(x) = -3 \sin \frac{x}{2} - 3 \cos \frac{x}{2}$$。
代入 $$x = \frac{\pi}{3}$$，得 $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = -3 \sin \frac{\pi}{6} - 3 \cos \frac{\pi}{6} = -\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$$。故选 A。
9. 选项分析：
A：$$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$$，周期为 $$2\pi$$，不符合。
B：$$y = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2x$$，周期为 $$\pi$$，但在 $$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$$ 上递减，不符合。
C：$$y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x$$，周期为 $$\pi$$，但在 $$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$$ 上递减，不符合。
D：$$y = \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin 2x$$，周期为 $$\pi$$，为奇函数且在 $$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$$ 上递增，符合。
故选 D。
10. 选项分析：
A：$$y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$$，周期为 $$2\pi$$，不符合。
B：$$y = |\sin x|$$，周期为 $$\pi$$，为偶函数，符合。
C：$$y = \sin |x|$$ 不是周期函数，不符合。
D：$$y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$ 为奇函数，不符合。
故选 B。