1、['正弦（型）函数的单调性'， '三角函数与二次函数的综合应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x-a \mathrm{s i n} x$$在区间$$\left( \frac{\pi} {6}， \， \， \frac{\pi} {2} \right)$$上单调递增，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$[-2， ~+\infty)$$
B.$$(-2， ~+\infty)$$
C.$$(-\infty， ~-4 )$$
D.$$(-\infty， ~-4 ]$$
2、['正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{s i n}^{2} x-2$$是（）
A
A.最小值为$${{−}{2}}$$的偶函数
B.最小值为$${{−}{1}}$$的偶函数
C.最大值为$${{2}}$$的奇函数
D.最大值为$${{−}{1}}$$的奇函数
3、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%将函数$$y=\operatorname{s i n}^{2} x-\operatorname{c o s}^{2} x$$的图象向左平移$$m \left( \begin{matrix} {m > 0} \\ \end{matrix} \right)$$个单位以后得到的图象与函数$$y=k \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x \ ( \ k > 0 )$$的图象重合，则$${{k}{+}{m}}$$的最小正值是（）
A
A.$$2+\frac{\pi} {4}$$
B.$$2+\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$2+\frac{5 \pi} {1 2}$$
D.$$2+\frac{7 \pi} {1 2}$$
4、['两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%关于$${{x}}$$的方程$$\sqrt3 \operatorname{s i n} 2 x+\operatorname{c o s} 2 x=k+1$$在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {2} ]$$内有实数根，则$${{k}}$$的取值范是（）
D
A.$$( \ -3， \ 1 )$$
B.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$
C.$$[ 0， \ 1 ]$$
D.$$[-2， ~ 1 ]$$
7、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%关于函数$$f ( x )=4 \operatorname{s i n} \Bigl( 2 x+\frac{\pi} {3} \Bigr)+1$$，下列说法正确的是（）
D
A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是以$${{2}{π}}$$为最小正周期的函数
B.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值和最小值之和为$${{0}}$$
C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$$x=-\frac{\pi} {6}$$对称
D.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于点$$\left(-\frac{\pi} {6}， 1 \right)$$对称
8、['三角恒等变换综合应用'， '在给定区间上恒成立问题'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知不等式$$f \left( x \right)=3 \sqrt{2} \operatorname{s i n} \frac x 4 \operatorname{c o s} \frac x 4+\sqrt{6} \operatorname{c o s}^{2} \frac x 4-\frac{\sqrt{6}} 2-m \leq0$$对于任意的$$- \frac{5 \pi} {6} \leq x \leq\frac{\pi} {6}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是
A
A.$$[ \sqrt{3}， ~+\infty)$$
B.$$(-\infty， \sqrt{3} ]$$
C.$$(-\infty，-\sqrt{3} ]$$
D.$$[-\sqrt{3}， \sqrt{3} ]$$
9、['正弦定理及其应用'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$a， b， c$$分别是三个内角$$A， B， C$$所对的边，$${{C}{=}{{9}{0}}{^{∘}}}$$，则$$\frac{a+b} {c}$$的取值范围为（）
B
A.$$( 1， 2 )$$
B.$$( 1， \sqrt{2} ]$$
C.$$( 1， \sqrt{2} )$$
D.$$[ 1， \sqrt{2} )$$
10、['三角函数与二次函数的综合应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%若动点$$P ( x， y )$$在曲线$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {9}=1$$上变化，则$$x^{2}+2 y$$的最大值为（）
A
A.$$\frac{2 5} {4}$$
B.$${{6}}$$
C.$$\frac{1 7} {4}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：函数 $$f(x) = \cos 2x - a \sin x$$ 在区间 $$\left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right)$$ 上单调递增，需满足导数 $$f'(x) \geq 0$$ 在该区间内恒成立。
求导得：
$$f'(x) = -2 \sin 2x - a \cos x = -4 \sin x \cos x - a \cos x = -\cos x (4 \sin x + a).$$
在区间 $$\left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right)$$ 上，$$\cos x > 0$$，因此需：
$$4 \sin x + a \leq 0 \quad \Rightarrow \quad a \leq -4 \sin x.$$
由于 $$\sin x$$ 在 $$\left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right)$$ 上的最小值为 $$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$，故：
$$a \leq -4 \times \frac{1}{2} = -2.$$
但需验证端点是否满足。当 $$x \to \frac{\pi}{2}^-$$，$$\sin x \to 1$$，此时 $$a \leq -4$$。综合考虑，最严格的约束是 $$a \leq -4$$。因此答案为 D。
2. 解析：函数 $$y = \sin^2 x - 2$$。
由于 $$\sin^2 x \in [0, 1]$$，故 $$y \in [-2, -1]$$，最小值为 $$-2$$。
验证奇偶性：
$$y(-x) = \sin^2 (-x) - 2 = \sin^2 x - 2 = y(x)$$，为偶函数。
因此答案为 A。
3. 解析：函数 $$y = \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$$。
向左平移 $$m$$ 个单位后为：
$$y = -\cos 2(x + m) = -\cos (2x + 2m).$$
目标函数 $$y = k \sin x \cos x = \frac{k}{2} \sin 2x$$。
需满足：
$$-\cos (2x + 2m) = \frac{k}{2} \sin 2x.$$
利用三角恒等式，令 $$2m = \frac{3\pi}{2}$$，则：
$$-\cos \left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\sin 2x = \frac{k}{2} \sin 2x \quad \Rightarrow \quad k = -2.$$
但 $$k > 0$$，故调整相位：
令 $$2m = \frac{\pi}{2}$$，则：
$$-\cos \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2x = \frac{k}{2} \sin 2x \quad \Rightarrow \quad k = 2.$$
此时 $$m = \frac{\pi}{4}$$，故 $$k + m = 2 + \frac{\pi}{4}$$，答案为 A。
4. 解析：方程 $$\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = k + 1$$ 在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 内有实数根。
将方程化为：
$$2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = k + 1.$$
在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上，$$2x + \frac{\pi}{6} \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]$$，$$\sin \theta \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$$，故：
$$2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \leq k + 1 \leq 2 \times 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq k + 1 \leq 2.$$
解得 $$k \in [-2, 1]$$，答案为 D。
7. 解析：函数 $$f(x) = 4 \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 1$$。
A. 周期为 $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$，错误。
B. 最大值为 $$4 + 1 = 5$$，最小值为 $$-4 + 1 = -3$$，和为 $$2 \neq 0$$，错误。
C. 验证对称轴：
$$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 4 \sin \left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 1$$，但对称轴需导数为极值点，此处不成立，错误。
D. 验证对称中心：
$$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 1$$，且函数关于点对称，正确。
因此答案为 D。
8. 解析：不等式 $$f(x) = 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \sqrt{6} \cos^2 \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2} - m \leq 0$$ 在 $$-\frac{5\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6}$$ 上恒成立。
化简：
$$f(x) = \frac{3\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \cos \frac{x}{2} - m.$$
进一步化为：
$$f(x) = \sqrt{6} \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) - m.$$
在给定区间内，$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}\right] = \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$，$$\sin \theta \in \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$，故：
$$f(x) \leq \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - m = \sqrt{3} - m \leq 0 \quad \Rightarrow \quad m \geq \sqrt{3}.$$
因此答案为 A。
9. 解析：在直角三角形 $$ABC$$ 中，$$C = 90^\circ$$，求 $$\frac{a + b}{c}$$ 的取值范围。
设 $$A = \theta$$，则 $$B = 90^\circ - \theta$$，且：
$$a = c \sin \theta, \quad b = c \cos \theta.$$
因此：
$$\frac{a + b}{c} = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right).$$
由于 $$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$，故 $$\theta + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right)$$，$$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$$，因此：
$$\frac{a + b}{c} \in (1, \sqrt{2}].$$
答案为 B。
10. 解析：求 $$x^2 + 2y$$ 在曲线 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$$ 上的最大值。
参数化：设 $$x = 2 \cos \theta$$，$$y = 3 \sin \theta$$，则：
$$x^2 + 2y = 4 \cos^2 \theta + 6 \sin \theta = 4(1 - \sin^2 \theta) + 6 \sin \theta = -4 \sin^2 \theta + 6 \sin \theta + 4.$$
设 $$t = \sin \theta$$，则 $$t \in [-1, 1]$$，函数为：
$$f(t) = -4t^2 + 6t + 4.$$
求导得极值点：
$$f'(t) = -8t + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{4}.$$
计算：
$$f\left(\frac{3}{4}\right) = -4 \times \frac{9}{16} + 6 \times \frac{3}{4} + 4 = \frac{25}{4}.$$
因此答案为 A。
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