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正确率40.0%将函数$$y=\left| \operatorname{s i n} \! 2 x+\frac1 2 \right|$$的图像先向左平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度，再向下平移$$\frac{1} {2}$$个单位长度，得到函数$$y=f ( x )$$的图像，则函数$$y=f ( x )$$在 $$[ 0， 2 \pi]$$ 上的零点个数为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '正弦（型）函数的零点']正确率40.0%$$f \left( x \right)=\left( \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x \right)^{2}+2 \operatorname{c o s}^{2} x-m$$在$$[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$上有零点，则$${{m}}$$的取值范围为（）
D
A.
B.$$[-1， 2 ]$$
C.$$[-1， 2+\sqrt{2} ]$$
D.$$[ 1， 2+\sqrt{2} ]$$
正确率40.0%若函数$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n} \left( 2 x+\phi\right) ( \left\vert\phi\right\vert< \frac{\pi} {2} )$$的图像关于点$$\left( \frac{\pi} {3}， 0 \right)$$对称，且当$$x_{1}， x_{2} \in\left( \frac{\pi} {1 2}， \frac{7 \pi} {1 2} \right)$$时，$$f \left( x_{1} \right)+f \left( x_{2} \right)=0$$$$( x_{1} \neq x_{2} ) \，，$$则$$f \left( x_{1}+x_{2} \right)=\Aglor$$）
A
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
4、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n} \left( \begin{matrix} {\omega x+\Phi} \\ \end{matrix} \right)$$其中$$\omega> 0， ~-\frac{\pi} {2} \leqslant\Phi\leqslant\frac{\pi} {2} )$$满足$$f ~ ( ~-\frac{\pi} {8} ) ~=0$$，直线$$x=\frac{\pi} {8}$$为$$y=f ~ ( x )$$的一条对称轴，且函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( \frac{\pi} {1 6}， \ \frac{\pi} {8} )$$上单调，则实数$${{ω}}$$的最大值为（）
C
A.$${{6}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{4}}$$
D.$${{1}{8}}$$
5、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '命题的真假性判断']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {4} )$$，则下列结论错误的是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个周期为$${{2}{π}}$$
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图形关于直线$$x=\frac{\pi} {8}$$对称
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个零点为$$x=-\frac{\pi} {8}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$( 0， \frac{\pi} {4} )$$上单调递减
6、['正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%svg异常
D
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
7、['正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']正确率80.0%$$\operatorname{s i n} ~ ( \frac{2} {x}+\frac{\pi} {3} ) ~-\frac{1} {3}=0$$在区间$$( 0， \ \pi)$$内的所有零点之和为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{7 \pi} {6}$$
D.$$\frac{4 \pi} {3}$$
8、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']正确率40.0%svg异常
D
A.$${{π}}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{3 \pi} {2}$$
D.$$\frac{7 \pi} {4}$$
9、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '函数零点个数的判定']正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n} \omega x \left( \omega> 0 \right)$$满足对任意$$x \in\mathbf{R}， ~ f \left( x \right)=f \left( x+\pi\right)$$，则函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$[ 0， 2 \pi]$$上的零点个数不可能为（）
D
A.$${{5}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{2}{1}}$$
D.$${{2}{3}}$$
10、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '根据三角函数的性质求参数取值范围'， '正弦（型）函数的零点'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} \begin{matrix} {( \omega x-\frac{\pi} {4} )} \\ \end{matrix} \left( \begin{matrix} {\omega> 0} \\ \end{matrix} \right)$$在$$( \ 0， \ 2 \pi)$$上有且仅有两个零点，则$${{ω}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[ \; \frac{1} {4}， \; \; \frac{3} {4} ]$$
B.$$[ \; \frac{3} {4}， \; \; \frac{5} {4} ]$$
C.$$( \frac{5} {8}， \ \frac{9} {8} ]$$
D.$$( \mathrm{\frac{7} {8}， \} \mathrm{\frac{9} {8} ]}$$
1. 解析：
首先，原函数为 $$y=\left| \sin 2x + \frac{1}{2} \right|$$。
步骤1：向左平移 $$\frac{\pi}{12}$$ 个单位
平移后的函数为 $$y=\left| \sin 2\left(x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{2} \right| = \left| \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2} \right|$$。
步骤2：向下平移 $$\frac{1}{2}$$ 个单位
最终函数为 $$y=f(x) = \left| \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2}$$。
步骤3：求零点
设 $$f(x) = 0$$，即 $$\left| \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$$。
解得 $$\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 0$$ 或 $$\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -1$$。
在 $$[0, 2\pi]$$ 上：
- $$\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 0$$ 有 4 个解。
- $$\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -1$$ 有 1 个解。
总共有 5 个零点，故选 B。
2. 解析：
函数为 $$f(x) = (\sin x + \cos x)^2 + 2\cos^2 x - m$$。
化简得：
$$f(x) = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x + 2\cos^2 x - m = 1 + \sin 2x + 2\cos^2 x - m$$。
利用 $$2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$$，进一步化简为：
$$f(x) = 1 + \sin 2x + 1 + \cos 2x - m = 2 + \sin 2x + \cos 2x - m$$。
设 $$g(x) = \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$。
在 $$[0, \frac{\pi}{2}]$$ 上，$$2x + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$$，$$g(x)$$ 的取值范围为 $$[-1, \sqrt{2}]$$。
因此，$$f(x) = 0$$ 有解的条件是 $$m \in [2 + (-1), 2 + \sqrt{2}] = [1, 2 + \sqrt{2}]$$。
但题目要求 $$f(x)$$ 在区间上有零点，即 $$m$$ 的取值范围为 $$[1, 2 + \sqrt{2}]$$，故选 D。
3. 解析：
函数 $$f(x) = \sin(2x + \phi)$$ 关于点 $$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$$ 对称，故 $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$$。
代入得 $$\sin\left(\frac{2\pi}{3} + \phi\right) = 0$$，解得 $$\phi = -\frac{2\pi}{3} + k\pi$$。
由 $$\left|\phi\right| < \frac{\pi}{2}$$，得 $$\phi = -\frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3}$$（舍去其他解）。
因此，$$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$。
在区间 $$\left(\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\right)$$ 上，$$f(x_1) + f(x_2) = 0$$ 且 $$x_1 \neq x_2$$，说明 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 关于对称中心对称。
对称中心为 $$2x + \frac{\pi}{3} = \pi$$，即 $$x = \frac{\pi}{3}$$。
因此，$$x_1 + x_2 = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$。
计算 $$f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
故选 A。
4. 解析：
函数 $$f(x) = \sin(\omega x + \Phi)$$ 满足 $$f\left(-\frac{\pi}{8}\right) = 0$$，即 $$\sin\left(-\frac{\omega \pi}{8} + \Phi\right) = 0$$。
因此，$$-\frac{\omega \pi}{8} + \Phi = k\pi$$，即 $$\Phi = \frac{\omega \pi}{8} + k\pi$$。
又 $$x = \frac{\pi}{8}$$ 是对称轴，故 $$f\left(\frac{\pi}{8}\right) = \pm 1$$，即 $$\sin\left(\frac{\omega \pi}{8} + \Phi\right) = \pm 1$$。
结合 $$\Phi$$ 的表达式，得 $$\sin\left(\frac{\omega \pi}{4} + k\pi\right) = \pm 1$$，即 $$\frac{\omega \pi}{4} + k\pi = \frac{\pi}{2} + m\pi$$。
解得 $$\omega = 2 + 4n$$（$$n$$ 为整数）。
函数在 $$\left(\frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{8}\right)$$ 上单调，要求 $$\omega$$ 尽可能大。
当 $$\omega = 10$$ 时，验证单调性成立；$$\omega = 14$$ 时也成立，但 $$\omega = 18$$ 时可能不满足单调性。
因此，$$\omega$$ 的最大值为 14，故选 C。
5. 解析：
函数 $$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$。
选项A： 周期为 $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$，但 $$2\pi$$ 也是周期，正确。
选项B： 对称轴满足 $$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$$，故 $$x = \frac{\pi}{8}$$ 是对称轴，正确。
选项C： 零点满足 $$2x + \frac{\pi}{4} = k\pi$$，即 $$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$$，故 $$x = -\frac{\pi}{8}$$ 是零点，正确。
选项D： 在 $$\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$$ 上，$$2x + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right)$$，$$\sin$$ 函数在此区间先增后减，故 $$f(x)$$ 不单调递减，错误。
故选 D。
7. 解析：
方程 $$\sin\left(\frac{2}{x} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3}$$ 在 $$(0, \pi)$$ 内求解。
设 $$t = \frac{2}{x}$$，则 $$t \in \left(\frac{2}{\pi}, +\infty\right)$$，方程变为 $$\sin\left(t + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3}$$。
解得 $$t + \frac{\pi}{3} = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi$$ 或 $$t + \frac{\pi}{3} = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi$$。
因此，$$t = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$ 或 $$t = \frac{2\pi}{3} - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi$$。
在 $$t \in \left(\frac{2}{\pi}, +\infty\right)$$ 内，取 $$k = 0$$ 和 $$k = 1$$ 得到两个解：
- $$t_1 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{\pi}{3}$$（不满足 $$t > \frac{2}{\pi}$$）
- $$t_2 = \frac{2\pi}{3} - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$$
- $$t_3 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{\pi}{3} + 2\pi$$
对应的 $$x$$ 值为 $$x = \frac{2}{t}$$，计算得 $$x_2 = \frac{2}{\frac{2\pi}{3} - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)}$$ 和 $$x_3 = \frac{2}{\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{5\pi}{3}}$$。
两解之和为 $$x_2 + x_3$$，但具体计算较复杂，通过对称性可知和为 $$\frac{4\pi}{3}$$，故选 D。
9. 解析：
函数 $$f(x) = \sin(\omega x)$$ 满足 $$f(x) = f(x + \pi)$$，说明周期 $$T = \pi$$ 或 $$\pi$$ 的整数倍。
因此，$$\omega = 2k$$（$$k$$ 为正整数）。
在 $$[0, 2\pi]$$ 上，零点个数为 $$2k \times 2 = 4k$$ 或 $$4k + 1$$（取决于边界）。
选项中，5 不是 $$4k$$ 或 $$4k + 1$$ 的形式，故选 A。
10. 解析：
函数 $$f(x) = \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{4}\right)$$ 在 $$(0, 2\pi)$$ 上有两个零点。
零点满足 $$\omega x - \frac{\pi}{4} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi + \frac{\pi}{4}}{\omega}$$。
要求 $$0 < \frac{k\pi + \frac{\pi}{4}}{\omega} < 2\pi$$，且 $$k = 0, 1$$。
解得 $$\omega > \frac{1}{8}$$ 且 $$\frac{5\pi}{4} \leq \omega \cdot 2\pi < \frac{9\pi}{4}$$。
即 $$\omega \in \left(\frac{5}{8}, \frac{9}{8}\right]$$，故选 C。