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正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{A}{{s}{i}{n}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}{(}{A}{>}{0}{，}{ω}{>}{0}{)}}$$的图象过点$$( \frac{\pi} {4}， A )， \; \; ( \pi， 0 )$$，若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {3} )$$上单调，则$${{ω}}$$的值可能为（）
D
A.$$\frac{1 7} {3}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$$\frac{2 6} {3}$$
2、['正弦（型）函数的零点'， '正弦函数图象的画法']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left( \frac{1} {2} \right)^{x}-\mathrm{s i n} x，$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{[}{0}{，}{2}{π}{]}}$$上的零点个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称轴']正确率40.0%$$f \left( \begin{array} {c} {{x}} \\ \end{array} \right)=\sin\left( \begin{array} {c} {{\omega}} \\ {{x}} \end{array}+\varphi\right) \ \ \left( \begin{array} {c} {{\omega}} \\ {{\omega}} \end{array} \right) ) \ \left( \begin{array} {c} {{\omega}} \\ {{\omega}} \end{array} > 0， \ 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} \right) \， \ x=-\frac{\pi} {4}$$为$${{f}{（}{x}{）}}$$的零点，$$x=\frac{\pi} {4}$$为$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$图象的对称轴，且$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( \frac{\pi} {1 8}， \ \frac{2 \pi} {9} )$$上单调，则$${{ω}}$$的最大值为（）
C
A.$${{9}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{3}}$$
4、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦曲线的对称轴']正确率60.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n} \left( \begin{matrix} {x} \\ {+\frac{\pi} {3}} \\ \end{matrix} \right)$$，则下列结论错误的是（）
D
A.$${{f}{（}{x}{）}}$$的一个周期为$${{−}{4}{π}}$$
B.$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线对称$$x=\frac{\pi} {6}$$
C.$${{f}{（}{x}{+}{π}{）}}$$的一个零点为$$x=\frac{5 \pi} {3}$$
D.$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( \， \frac{\pi} {2}， \， \， \pi)$$单调递增
5、['分段函数与方程、不等式问题'， '正弦（型）函数的零点']正确率40.0%函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}， x \leqslant0} \\ {4 \operatorname{s i n} x， 0 < x \leqslant\pi} \\ \end{matrix} \right.$$，则集合$${{\{}{x}{|}{f}{(}{f}{(}{x}{)}{)}{=}{0}{\}}}$$中元素的个数为（$${）}$$．
D
A.$${{2}}$$个
B.$${{3}}$$个
C.$${{4}}$$个
D.$${{5}}$$个
6、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '函数的单调区间']正确率60.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{（}{ω}{x}{+}{φ}{）}{+}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}{(}{ω}{>}{0}{)}}$$的图象过$${（{1}{，}{2}{）}}$$，若$${{f}{（}{x}{）}}$$相邻的零点为$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$且满足$${{|}{{x}_{1}}{−}{{x}_{2}}{|}{=}{6}}$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的单调增区间为（）
B
A.$${{[}{−}{2}{+}{{1}{2}}{k}{，}{4}{+}{{1}{2}}{k}{]}{（}{k}{∈}{Z}{）}}$$
B.$${{[}{−}{5}{+}{{1}{2}}{k}{，}{1}{+}{{1}{2}}{k}{]}{（}{k}{∈}{Z}{）}}$$
C.$${{[}{1}{+}{{1}{2}}{k}{，}{7}{+}{{1}{2}}{k}{]}{（}{k}{∈}{Z}{）}}$$
D.$${{[}{−}{2}{+}{6}{k}{，}{1}{+}{6}{k}{]}{（}{k}{∈}{Z}{）}}$$
7、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{ω}{x}{+}{{c}{o}{s}}{ω}{x}{(}{ω}{>}{0}{)}}$$，若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{1}}$$在$${{(}{0}{，}{π}{]}}$$上恰有$${{6}}$$个不同的实根，则$${{ω}}$$的的取值范围为（）
D
A.$$[ \frac{1 4} {3}， 6 )$$
B.$$[ \frac{1 6} {3}， 7 )$$
C.$${{[}{6}{，}{7}{)}}$$
D.$$[ 6， \frac{2 0} {3} )$$
9、['三角恒等变换综合应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{x}{−}{{c}{o}{s}}{x}{，}{g}{（}{x}{）}}$$是$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数，则下列结论中错误的是（）
C
A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的值域与$${{g}{（}{x}{）}}$$的值域相同
B.若$${{x}_{0}}$$是函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的极值点，则$${{x}_{0}}$$是函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的零点
C.把函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {2}$$个单位，就可以得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象
D.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$和$${{g}{（}{x}{）}}$$在区间$$(-\frac{\pi} {4}， \ \frac{\pi} {4} )$$上都是增函数
10、['正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称中心'， '三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%为了更好地调控房地产市场，政府要对房价进行统计与预测，某城市通过对今年$${{1}}$$～$${{5}}$$月份的房价统计发现：$${{x}}$$月份的平均单价$${{y}}$$(每平方米的价格，单位：元)与月份$${{x}}$$之间近似满足函数关系式$${{y}{=}{{5}{0}{0}}{{s}{i}{n}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}{+}{{3}{0}{0}{0}}{(}{ω}{>}{0}{)}{，}}$$已知$${{3}}$$月份和$${{5}}$$月份两个月的平均单价如下表所示，则预测该城市$${{7}}$$月份房价的平均单价大约是（）
| $${{x}}$$ | $${{3}}$$ | $${{5}}$$ | $${{7}}$$ |
| $${{y}}$$ (元) | $${{3}{5}{0}{0}}$$ | $${{3}{0}{0}{0}}$$ | ？ |
C
A.$${{3}{5}{0}{0}}$$元
B.$${{3}{0}{0}{0}}$$元
C.$${{2}{5}{0}{0}}$$元
D.$${{2}{0}{0}{0}}$$元
1. 题目解析：
函数 $$f(x) = A \sin(\omega x + \phi)$$ 过点 $$(\frac{\pi}{4}, A)$$ 和 $$(\pi, 0)$$。
由 $$f(\frac{\pi}{4}) = A$$ 可得 $$\sin(\omega \cdot \frac{\pi}{4} + \phi) = 1$$，即 $$\omega \cdot \frac{\pi}{4} + \phi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$。
由 $$f(\pi) = 0$$ 可得 $$\sin(\omega \pi + \phi) = 0$$，即 $$\omega \pi + \phi = n\pi$$。
解得 $$\omega = \frac{4}{3} + \frac{8}{3}k$$ 或 $$\omega = 2 + 2k$$，其中 $$k$$ 为整数。
函数在 $$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$$ 上单调，要求 $$\frac{T}{2} \geq \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$$，即 $$T \geq \frac{\pi}{6}$$，故 $$\omega \leq 12$$。
选项 A $$\frac{17}{3}$$ 满足条件，选项 B $$7$$ 也满足，选项 C $$8$$ 不满足，选项 D $$\frac{26}{3}$$ 不满足。
正确答案：$$\boxed{A}$$ 和 $$\boxed{B}$$。
2. 题目解析：
函数 $$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - \sin x$$ 在 $$[0, 2\pi]$$ 上的零点。
分析函数变化：
- 当 $$x = 0$$ 时，$$f(0) = 1 - 0 = 1 > 0$$。
- 当 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 时，$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\pi}{2}} - 1 < 0$$。
- 当 $$x = \pi$$ 时，$$f(\pi) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\pi} - 0 > 0$$。
- 当 $$x = \frac{3\pi}{2}$$ 时，$$f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3\pi}{2}} - (-1) > 0$$。
- 当 $$x = 2\pi$$ 时，$$f(2\pi) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2\pi} - 0 > 0$$。
因此，函数在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 和 $$(\frac{\pi}{2}, \pi)$$ 各有一个零点，共 2 个零点。
正确答案：$$\boxed{B}$$。
3. 题目解析：
函数 $$f(x) = \sin(\omega x + \phi)$$，满足 $$f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 0$$ 和 $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ 为极值点。
由 $$f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 0$$ 得 $$\omega \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \phi = k\pi$$。
由 $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ 为极值点得 $$\omega \cdot \frac{\pi}{4} + \phi = \frac{\pi}{2} + m\pi$$。
解得 $$\omega = 2 + 4k$$，其中 $$k$$ 为整数。
函数在 $$\left(\frac{\pi}{18}, \frac{2\pi}{9}\right)$$ 上单调，要求 $$\omega \leq 9$$。
最大值为 $$\omega = 9$$。
正确答案：$$\boxed{A}$$。
4. 题目解析：
函数 $$f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$。
选项分析：
A. 周期为 $$-4\pi$$ 也是周期，正确。
B. 对称轴 $$x = \frac{\pi}{6}$$ 不满足，错误。
C. $$f(x + \pi) = \sin\left(x + \pi + \frac{\pi}{3}\right)$$，零点 $$x = \frac{5\pi}{3}$$ 满足，正确。
D. 在 $$\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$ 上单调递减，错误。
错误的选项是 B 和 D。
正确答案：$$\boxed{B}$$ 和 $$\boxed{D}$$。
5. 题目解析：
函数 $$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ 4 \sin x, & 0 < x \leq \pi \end{cases}$$。
求 $$f(f(x)) = 0$$ 的解：
- 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = x^2$$，$$f(f(x)) = f(x^2) = 4 \sin(x^2) = 0$$，解得 $$x = 0$$。
- 当 $$0 < x \leq \pi$$ 时，$$f(x) = 4 \sin x$$，$$f(f(x)) = f(4 \sin x)$$。
- 若 $$4 \sin x \leq 0$$，即 $$\sin x \leq 0$$，无解。
- 若 $$4 \sin x > 0$$，即 $$\sin x > 0$$，则 $$f(4 \sin x) = 4 \sin(4 \sin x) = 0$$，解得 $$\sin x = \frac{k\pi}{4}$$。
在 $$(0, \pi]$$ 上，$$\sin x = \frac{\pi}{4}$$ 和 $$\sin x = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ 有解。
综上，解为 $$x = 0$$ 和 $$x$$ 满足 $$\sin x = \frac{\pi}{4}$$ 或 $$\frac{\pi}{2}$$，共 3 个解。
正确答案：$$\boxed{B}$$。
6. 题目解析：
函数 $$f(x) = \sin(\omega x + \phi) + \sqrt{3} \cos(\omega x + \phi) = 2 \sin\left(\omega x + \phi + \frac{\pi}{3}\right)$$。
过点 $$(1, 2)$$，则 $$2 \sin\left(\omega + \phi + \frac{\pi}{3}\right) = 2$$，即 $$\omega + \phi + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$。
相邻零点满足 $$|x_1 - x_2| = 6$$，即 $$\frac{T}{2} = 6$$，$$T = 12$$，$$\omega = \frac{\pi}{6}$$。
单调增区间为 $$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \frac{\pi}{6}x + \phi + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$。
代入 $$\omega + \phi + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$$ 得 $$\phi = -\frac{\pi}{6}$$。
单调增区间为 $$[-2 + 12k, 4 + 12k]$$。
正确答案：$$\boxed{A}$$。
7. 题目解析：
函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin \omega x + \cos \omega x = 2 \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right)$$。
方程 $$f(x) = 1$$ 在 $$(0, \pi]$$ 上有 6 个不同的解，即 $$\sin\left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$。
解得 $$\omega x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ 或 $$\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$。
要求 6 个解在 $$(0, \pi]$$ 内，则 $$\omega \pi + \frac{\pi}{6} \in \left[\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}\right)$$。
解得 $$\omega \in \left[\frac{16}{3}, 7\right)$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$。
9. 题目解析：
函数 $$f(x) = \sin x - \cos x$$，导函数 $$g(x) = \cos x + \sin x$$。
选项分析：
A. $$f(x)$$ 值域为 $$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$，$$g(x)$$ 值域相同，正确。
B. 极值点 $$f'(x) = 0$$ 即 $$g(x) = 0$$，正确。
C. $$f(x)$$ 右移 $$\frac{\pi}{2}$$ 得 $$\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x - \sin x \neq g(x)$$，错误。
D. $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 在 $$\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$$ 上均单调递增，正确。
错误的选项是 C。
正确答案：$$\boxed{C}$$。
10. 题目解析：
函数 $$y = 500 \sin(\omega x + \phi) + 3000$$。
已知 $$x = 3$$ 时 $$y = 3500$$，$$x = 5$$ 时 $$y = 3000$$。
代入得：
$$500 \sin(3\omega + \phi) + 3000 = 3500$$，即 $$\sin(3\omega + \phi) = 1$$。
$$500 \sin(5\omega + \phi) + 3000 = 3000$$，即 $$\sin(5\omega + \phi) = 0$$。
解得 $$2\omega = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，$$\omega = \frac{\pi}{4} + k\pi$$。
取最小正数解 $$\omega = \frac{\pi}{4}$$，$$\phi = -\frac{\pi}{4}$$。
预测 $$x = 7$$ 时，$$y = 500 \sin\left(\frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) + 3000 = 500 \sin\left(\frac{6\pi}{4}\right) + 3000 = 500 \cdot (-1) + 3000 = 2500$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$。