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正确率40.0%已知集合$$A=\{x | x=\operatorname{s i n} \frac{n \pi} {3}， \， \， \， n \in Z \}$$，且$${{B}{⊆}{A}}$$，则集合$${{B}}$$的个数为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{5}}$$
2、['正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%设动直线$${{x}{=}{a}}$$与函数$$f ( x )=2 \mathrm{s i n}^{2} \left( \frac{\pi} {4}+x \right)$$和$$g ( x )=\sqrt{3} \mathrm{c o s} 2 x+\frac5 2$$的图像分别交于$${{M}{，}{N}}$$两点，则$$| \overrightarrow{M N} |$$的最大值为（）
A
A.$$\frac{7} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
3、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{array} {l} {{x}} \\ {{x}} \end{array} \right)=\frac{\sqrt{3}} {2} \mathrm{s i n} \ ( \begin{array} {l} {{x}} \\ {{x}} \end{array} \begin{array} {l} {{\pi}} \\ {{\pi}} \end{array} ) \ -\frac{1} {2} \mathrm{c o s} \ ( \begin{array} {l} {{x}} \\ {{x}} \end{array} \begin{array} {l} {{\pi}} \\ {{\pi}} \end{array} \ .$$，若存在$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}， ~ \dots， ~ x_{n}$$满足$$0 \leqslant x_{1} < x_{2} < x_{3} < \ldots< x_{n} \leqslant6 \pi$$，且$$| f \left( x_{1} \right)-f \left( x_{2} \right) |+| f \left( x_{2} \right) |-f \left( x_{3} \right) |+\ldots+| f ( x_{n-1} )-f ( x_{n} ) |=1 2 ( n \geqslant2， ~ n \in N^{*} )$$，则$${{n}}$$的最小值为（）
C
A.$${{6}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{2}}$$
4、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%已知将函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {6} ) \operatorname{c o s} x+\frac{1} {2}$$的图象向左平移$$\frac{5 \pi} {1 2}$$个单位长度后得到$$y=g \emph{\left( x \right)}$$的图象，则$${{g}{（}{x}{）}}$$在$$[-\frac{\pi} {3}， \ \frac{\pi} {3} ]$$上的值域为（）
C
A.$$[-\frac{1} {2}， ~ 1 ]$$
B.$$[-1， ~ \frac{1} {2} ]$$
C.$$[-\frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 1 ]$$
D.$$[-\frac{1} {2}， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$
5、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知扇形的圆心角为$${{θ}{，}}$$其弧长是其半径的$${{2}}$$倍，则$$\frac{\operatorname{s i n} \theta} {| \operatorname{s i n} \theta|}+\frac{| \operatorname{c o s} \theta|} {\operatorname{c o s} \theta}+\frac{| \operatorname{t a n} \theta|} {\operatorname{t a n} \theta}=\alpha$$）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{3}}$$
6、['余弦定理及其应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '特殊角的三角函数值'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%在锐角三角形$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$a， ~ b， ~ c$$分别是角$$A， ~ B， ~ C$$的对边，$$\left( a+b+c \right) \left( a+c-b \right)=\left( 2+\sqrt{3} \right) a c$$，则$$\operatorname{c o s} A+\operatorname{s i n} C$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\left( \frac{3} {2}， \sqrt{3} \right)$$
B.$$\left( \frac3 2， \sqrt{3} \right]$$
C.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{3} {2} \right)$$
D.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， \sqrt{3} \right)$$
7、['正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x， \， \， \， x \in( 0， \pi)$$，若直线$${{y}{=}{b}}$$与$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像恰有两个交点，则实数$${{b}}$$的取值范围是
C
A.$$(-2， 2 )$$
B.$$(-1， 2 )$$
C.$$( 1， 2 )$$
D.$$( 0， 2 )$$
8、['利用单位圆定义任意角的三角函数'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知点$$A ( x_{1}， y_{1} )$$为单位圆上任意一点，若点$$A ( x_{1}， y_{1} )$$在单位圆上绕原点顺时针旋转$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$到点$$B ( x_{2}， y_{2} )$$，则$${{x}_{1}{−}{{y}_{2}}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
9、['直线系方程'， '两条直线垂直'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知$${{m}{∈}{R}}$$，过定点$${{A}}$$的动直线$$m x+y=0$$和过定点$${{B}}$$的动直线$$x-m y-m+3=0$$交于点$${{P}}$$，则$$| P A |+\sqrt{3} | P B |$$的取值范围是（）
D
A.$$( \sqrt{1 0}， 2 \sqrt{1 0} ]$$
B.$$( \sqrt{1 0}， \sqrt{3 0} ]$$
C.$$[ \sqrt{1 0}， \sqrt{3 0} )$$
D.$$[ \sqrt{1 0}， 2 \sqrt{1 0} ]$$
10、['正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{c o s} \; 2 x+\operatorname{s i n}^{2} x， x \in R$$的值域是$${{(}{)}}$$
C
A.$$[-1， 2 ]$$
B.$$[ \frac{1} {2}， 1 ]$$
C.$$[ 0， 1 ]$$
D.$$[ 0， 2 ]$$
1. 首先确定集合$$A$$的元素。由于$$\sin \frac{n\pi}{3}$$的周期为6，计算$$n=0,1,2,3,4,5$$时的值：
集合$$A$$有3个元素，其子集个数为$$2^3=8$$，因此集合$$B$$的个数为8，选C。
2. 首先化简函数$$f(x)$$和$$g(x)$$：
距离$$|MN| = |g(a) - f(a)| = \left| \sqrt{3} \cos 2a + \frac{3}{2} - \sin 2a \right|$$
利用振幅公式，最大值为$$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} + \frac{3}{2} = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$$，选A。
3. 函数化简为$$f(x) = \sin\left(\pi x - \frac{\pi}{6}\right)$$。其周期为2，振幅为1。
在$$[0,6\pi]$$内有3个完整周期，每个周期的差值和为4。要求总差值为12，至少需要跨越3个周期的极值点，因此$$n_{\text{min}} = 8$$，选C。
4. 首先化简$$f(x)$$：
平移后得到$$g(x) = \sin\left(2x + \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2} = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$$
在$$x \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$$时，$$2x + \frac{2\pi}{3} \in \left[0, \frac{4\pi}{3}\right]$$，$$\sin$$的取值范围为$$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$$，因此$$g(x)$$的值域为$$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}, 1 + \frac{1}{2}\right]$$，即$$\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$$，但选项中最接近的是A。
5. 由弧长公式$$l = r\theta$$，题意给出$$l = 2r$$，因此$$\theta = 2$$弧度。
由于$$\theta \in (\pi/2, \pi)$$，$$\sin \theta > 0$$，$$\cos \theta < 0$$，$$\tan \theta < 0$$。代入表达式得：
选A。
6. 首先化简条件：
由余弦定理得$$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，因此$$B = \frac{\pi}{6}$$。
在锐角三角形中，$$A \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$$，$$C = \frac{5\pi}{6} - A$$。
计算$$\cos A + \sin C = \cos A + \sin\left(\frac{5\pi}{6} - A\right)$$，化简后范围为$$\left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right)$$，选A。
7. 函数$$f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$，在$$(0, \pi)$$内，$$x - \frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$$。
要使$$y=b$$与图像有两个交点，需$$b \in (1, 2)$$，选C。
8. 旋转后坐标变换为：
因此$$x_1 - y_2 = x_1\left(1 + \frac{1}{2}\right) - y_1 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}x_1 - \frac{\sqrt{3}}{2}y_1$$
最大值为$$\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3}$$，选B。
9. 直线$$mx+y=0$$过定点$$A(0,0)$$，直线$$x-my-m+3=0$$过定点$$B(1,3)$$。
两条直线垂直，交点$$P$$的轨迹是以$$AB$$为直径的圆，半径为$$\frac{\sqrt{10}}{2}$$。
$$|PA| + \sqrt{3}|PB|$$的最大值为$$2\sqrt{10}$$，最小值为$$\sqrt{10}$$，选D。
10. 化简函数：
因此$$y \in [0, 1]$$，选C。
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