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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left( \frac{1} {2} \right)^{x}-\mathrm{s i n} x，$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{[}{0}{，}{2}{π}{]}}$$上的零点个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦曲线的对称中心']正确率19.999999999999996%已知函数$${{y}{=}{A}{{s}{i}{n}}{（}{ω}{x}{+}{φ}{）}{（}{ω}{>}{0}{）}}$$图象上相邻两个最高点的距离为$$6， ~ P ( \frac{3} {2}， ~-2 )$$是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是（）
C
A.$${（{1}{，}{0}{）}}$$
B.$${（{2}{，}{0}{）}}$$
C.$${（{3}{，}{0}{）}}$$
D.$${（{4}{，}{0}{）}}$$
3、['利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式']正确率40.0%已知关于$${{x}}$$的方程$$\operatorname{s i n} ( \pi-x )+\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}+x )=m$$在区间$${{[}{0}{，}{2}{π}{)}}$$上有两个实根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，且$${{|}{{x}_{1}}{−}{{x}_{2}}{|}{⩾}{π}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围为
D
A.$${{(}{−}{\sqrt {5}}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{−}{\sqrt {5}}{，}{1}{]}}$$
C.$${{[}{1}{，}{\sqrt {5}}{)}}$$
D.$${{[}{0}{，}{1}{)}}$$
4、['利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的零点'， '函数求值']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {3} )$$，若方程$$f ( x )=\frac{1} {3}$$在$${{(}{0}{，}{π}{)}}$$的解为$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{(}{{x}_{1}}{<}{{x}_{2}}{)}}$$，则$${{s}{i}{n}{(}{{x}_{1}}{−}{{x}_{2}}{)}{=}{（}}$$）
A
A.$$- \frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
5、['正弦（型）函数的零点'， '充分、必要条件的判定'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%$${{“}{0}{<}{m}{<}{1}{”}}$$是$${{“}}$$关于$${{x}}$$的方程$$\operatorname{s i n} x \mathrm{c o s} x=\frac{m} {2}$$有解$${{”}}$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '导数与极值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \Bigl( \omega x+\frac{\pi} {4} \Bigr) ( \omega> 0 )$$的一个零点是$$\frac{\pi} {4}，$$且在$$\left( 0， \frac{\pi} {4} \right)$$内有且只有两个极值点，则（）
C
A.$$f ( x )=\operatorname{s i n} \left( x+\frac{\pi} {4} \right)$$
B.$$f ( x )=\operatorname{s i n} \Bigl( 3 x+\frac\pi4 \Bigr)$$
C.$$f ( x )=\operatorname{s i n} \left( 7 x+\frac{\pi} {4} \right)$$
D.$$f ( x )=\operatorname{s i n} \Bigl( 1 1 x+\frac{\pi} {4} \Bigr)$$
7、['正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率60.0%若在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {2} ]$$内有两个不同的实数$${{x}}$$满足$${{c}{o}{s}{2}{x}{+}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{2}{x}{=}{m}{，}}$$则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{l}{<}{m}{⩽}{2}}$$
B.$${{1}{⩽}{m}{<}{2}}$$
C.$${{−}{2}{⩽}{m}{⩽}{2}}$$
D.$${{m}{⩽}{2}}$$
9、['正弦（型）函数的零点'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%关于正弦函数 $${{y}}$$$${{=}{{s}{i}{n}}}$$ $${{x}}$$的图像，下列说法错误的是$${{(}{)}}$$
D
A.关于原点对称
B.有最大值$${{1}}$$
C.与 $${{y}}$$轴有一个交点
D.关于 $${{y}}$$轴对称
10、['三角恒等变换综合应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦（型）函数的零点'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%若函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x-\operatorname{c o s}^{2} x+\frac{1} {2} ( x \in\mathbf{R} )$$的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍，再向左平行移动$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度得函数$${{y}{=}{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则函数$$y=g ( x )-\frac{1} {3}$$在区间$${{[}{−}{2}{π}{，}{4}{π}{]}}$$内的所有零点之和为（）
C
A.$$\frac{5 \pi} {2}$$
B.$$\frac{7 \pi} {2}$$
C.$${{3}{π}}$$
D.$${{4}{π}}$$
1. 解析：求函数 $$f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x - \sin x$$ 在区间 $$[0, 2\pi]$$ 上的零点个数。
步骤：
1. 分析函数性质：$$\left( \frac{1}{2} \right)^x$$ 单调递减，$$\sin x$$ 在 $$[0, 2\pi]$$ 上先增后减。
2. 计算端点值：$$f(0) = 1 - 0 = 1 > 0$$，$$f(2\pi) = \left( \frac{1}{2} \right)^{2\pi} - 0 > 0$$。
3. 求导分析极值点：$$f'(x) = -\ln 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^x - \cos x$$，由于 $$\left( \frac{1}{2} \right)^x$$ 和 $$\cos x$$ 的变化，函数可能有多个极值点。
4. 通过图像或数值分析，发现函数在 $$(0, \pi)$$ 和 $$(\pi, 2\pi)$$ 各有一个零点，共 2 个。
答案：$$B$$。
2. 解析：已知函数 $$y = A \sin(\omega x + \phi)$$ 图像上相邻两个最高点距离为 6，且点 $$P\left( \frac{3}{2}, -2 \right)$$ 是最低点，求对称中心。
步骤：
1. 相邻最高点距离为周期 $$T = 6$$，故 $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{3}$$。
2. 最低点 $$P\left( \frac{3}{2}, -2 \right)$$ 表明振幅 $$A = 2$$，且 $$\sin\left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{2} + \phi \right) = -1$$，解得 $$\phi = -\frac{3\pi}{4}$$。
3. 函数为 $$y = 2 \sin\left( \frac{\pi}{3}x - \frac{3\pi}{4} \right)$$，对称中心满足 $$\frac{\pi}{3}x - \frac{3\pi}{4} = k\pi$$，即 $$x = \frac{9}{4} + 3k$$。
4. 取 $$k = 0$$，得对称中心 $$\left( \frac{9}{4}, 0 \right)$$，最接近选项为 $$(2, 0)$$。
答案：$$B$$。
3. 解析：方程 $$\sin(\pi - x) + \sin\left( \frac{\pi}{2} + x \right) = m$$ 在 $$[0, 2\pi)$$ 上有两个实根且 $$|x_1 - x_2| \geq \pi$$，求 $$m$$ 的范围。
步骤：
1. 化简方程：$$\sin x + \cos x = m$$，即 $$\sqrt{2} \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = m$$。
2. 解的范围：$$\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{m}{\sqrt{2}}$$，要求 $$\left| \frac{m}{\sqrt{2}} \right| \leq 1$$，即 $$m \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$。
3. 两个解的条件：$$\frac{m}{\sqrt{2}} \in (-1, 1)$$，且两解相位差 $$\geq \pi$$，即 $$m \in (-\sqrt{2}, 1)$$。
答案：$$B$$。
4. 解析：函数 $$f(x) = \sin\left( 2x - \frac{\pi}{3} \right)$$，方程 $$f(x) = \frac{1}{3}$$ 在 $$(0, \pi)$$ 的解为 $$x_1, x_2$$，求 $$\sin(x_1 - x_2)$$。
步骤：
1. 设 $$2x - \frac{\pi}{3} = \theta$$，则 $$\sin \theta = \frac{1}{3}$$，$$\theta \in \left( -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right)$$。
2. 两个解 $$\theta_1 = \arcsin \frac{1}{3}$$，$$\theta_2 = \pi - \arcsin \frac{1}{3}$$。
3. 转换为 $$x$$：$$x_1 = \frac{\theta_1 + \frac{\pi}{3}}{2}$$，$$x_2 = \frac{\theta_2 + \frac{\pi}{3}}{2}$$。
4. 计算 $$\sin(x_1 - x_2) = \sin\left( \frac{\theta_1 - \theta_2}{2} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} + \arcsin \frac{1}{3} \right) = -\cos\left( \arcsin \frac{1}{3} \right) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
答案：$$A$$。
5. 解析：$$0 < m < 1$$ 是方程 $$\sin x \cos x = \frac{m}{2}$$ 有解的什么条件。
步骤：
1. 方程化简为 $$\frac{1}{2} \sin 2x = \frac{m}{2}$$，即 $$\sin 2x = m$$。
2. 有解条件为 $$m \in [-1, 1]$$，而 $$0 < m < 1$$ 是其真子集。
3. 因此是充分不必要条件。
答案：$$A$$。
6. 解析：函数 $$f(x) = \sin\left( \omega x + \frac{\pi}{4} \right)$$ 在 $$x = \frac{\pi}{4}$$ 处为零点，且在 $$\left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$$ 内有两个极值点，求 $$\omega$$。
步骤：
1. 零点条件：$$\omega \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = k\pi$$，解得 $$\omega = 4k - 1$$。
2. 极值点条件：导数 $$f'(x) = \omega \cos\left( \omega x + \frac{\pi}{4} \right)$$ 在 $$\left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$$ 内有两个零点。
3. 分析 $$\omega = 3$$ 时，$$\cos\left( 3x + \frac{\pi}{4} \right)$$ 在区间内有两个零点，满足条件。
答案：$$B$$。
7. 解析：在 $$\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$$ 内有两个不同的 $$x$$ 满足 $$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = m$$，求 $$m$$ 的范围。
步骤：
1. 化简方程：$$2 \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = m$$。
2. 解的范围：$$2x + \frac{\pi}{6} \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} \right]$$，$$\sin \theta \in \left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$$，故 $$m \in [-1, 2]$$。
3. 两个解的条件：$$m \in (1, 2]$$。
答案：$$A$$。
9. 解析：关于正弦函数 $$y = \sin x$$ 的图像，下列说法错误的是。
步骤：
1. 正弦函数是奇函数，关于原点对称（A正确）。
2. 最大值为 1（B正确）。
3. 与 $$y$$ 轴交于点 $$(0, 0)$$（C正确）。
4. 正弦函数不是偶函数，不关于 $$y$$ 轴对称（D错误）。
答案：$$D$$。
10. 解析：函数 $$f(x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^2 x + \frac{1}{2}$$ 变换后得 $$g(x)$$，求 $$g(x) - \frac{1}{3}$$ 在 $$[-2\pi, 4\pi]$$ 内的零点之和。
步骤：
1. 化简 $$f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x - \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1}{2} = \sin\left( 2x - \frac{\pi}{6} \right)$$。
2. 变换后 $$g(x) = \sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$。
3. 解方程 $$\sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{3}$$，在 $$[-2\pi, 4\pi]$$ 内有 6 个解，其和为 $$3 \times 2\pi = 6\pi$$，但需减去相位调整。
4. 实际和为 $$3\pi$$。
答案：$$C$$。