.jpg)
正确率60.0%已知动点$$A ( x， ~ y )$$在圆$$x^{2}+y^{2}=1$$上沿逆时针方向匀速运动，其初始位置为$$A_{0} \frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2}， 1 2$$秒后第一次回到初始位置，则动点$${{A}}$$的纵坐标$${{y}}$$关于时间$${{t}}$$(单位：秒)的函数解析式为（）
C
A.$$y=\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3} t+\frac{\pi} {6} \right)$$
B.$$y=\operatorname{c o s} \left( \frac{\pi} {6} t+\frac{\pi} {3} \right)$$
C.$$y=\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {6} t+\frac{\pi} {3} \right)$$
D.$$y=\operatorname{c o s} \left( \frac{\pi} {3} t+\frac{\pi} {6} \right)$$
4、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用']正确率60.0%车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，其单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量满足函数关系式$$F ( t )=5 0+4 \mathrm{s i n} \frac{t} {2}$$(其中$$0 \leqslant t \leqslant2 0， F ( t )$$的单位是辆$${{/}}$$分钟$${{，}{t}}$$的单位是分钟)，则下列哪个时间段内车流量是增加的（）
C
A.$$[ 0， 5 ]$$
B.$$[ 5， 1 0 ]$$
C.$$[ 1 0， 1 5 ]$$
D.$$[ 1 5， 2 0 ]$$
5、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率60.0%在平面直角坐标系中，一个质点在圆心为坐标原点，半径为$${{2}}$$的圆$${{O}}$$上，以圆$${{O}}$$与$${{x}}$$轴正半轴的交点$${{P}_{0}}$$为起点，沿逆时针方向匀速运动到$${{P}}$$点，每$${{5}{s}}$$转一圈，则$${{2}{s}}$$后$${{P}_{0}{P}}$$的长为（）
C
A.$$2 \mathrm{s i n} \frac{4 \pi} {5}$$
B.$$2 \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {5}$$
C.$$4 \mathrm{s i n} \frac{2 \pi} {5}$$
D.$$4 \operatorname{c o s} \frac{2 \pi} {5}$$
6、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率40.0%如图①所示，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用$${{.}}$$假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动$${{.}}$$现将筒车抽象为一个几何图形，如图②所示，圆$${{O}}$$的半径为$${{4}}$$米，盛水筒$${{M}}$$从点$${{P}_{0}}$$处开始运动，$${{O}{{P}_{0}}}$$与水平面的所成的角为$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$，且转动$${{1}}$$圈需$${{2}}$$分钟，则盛水筒$${{M}}$$距离水面的高度$${{H}}$$（单位$${{:}}$$米$${{)}}$$与时间$${{t}}$$（单位$${{:}}$$秒$${{)}}$$之间的函数关系式是（）
$$None$$$$None$$
A
A.$$H=4 \operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {6 0} t-\frac{\pi} {6} \Bigr)+2$$
B.$$H=4 \operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {3 0} t-\frac{\pi} {6} \Bigr)+2$$
C.$$H=4 \operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {6 0} \mathrm{t}-\frac{\pi} {3} \right)+2$$
D.$$H=4 \operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3 0} t-\frac{\pi} {3} \right)+2$$
7、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率40.0%某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约$${{.}}$$如图，摩天轮中心为$${{O}}$$，直径为$${{8}{8}}$$米，最高点$${{A}}$$距离地面$${{1}{0}{0}}$$米，匀速运行一圈的时间是$${{1}{8}}$$分钟$${{.}}$$由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离不低于$${{3}{4}}$$米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（）
$$None$$
B
A.$${{1}{0}}$$分钟
B.$${{1}{2}}$$分钟
C.$${{1}{4}}$$分钟
D.$${{1}{6}}$$分钟
8、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角形解的个数问题']正确率60.0%两座灯塔$${{A}}$$和$${{B}}$$与海洋观测站$${{C}}$$的距离分别是$${{a}{k}{m}}$$和$${{2}{a}{k}{m}}$$，灯塔$${{A}}$$在观测站$${{C}}$$的北偏东$${{2}{0}^{∘}}$$，灯塔$${{B}}$$在观测站$${{C}}$$的南偏东$${{7}{0}^{∘}}$$，则灯塔$${{A}}$$与灯塔$${{B}}$$之间的距离为（）
C
A.$${\sqrt {3}{{a}{k}{m}}}$$
B.$${{2}{a}{k}{m}}$$
C.$${\sqrt {5}{{a}{k}{m}}}$$
D.$${\sqrt {7}{{a}{k}{m}}}$$
1. 解析：
动点$$A(x, y)$$在圆$$x^2 + y^2 = 1$$上运动，初始位置为$$A_0\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，对应角度为$$\frac{\pi}{3}$$。12秒后第一次回到初始位置，说明周期$$T = 12$$秒，角频率$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{6}$$。
纵坐标$$y$$关于时间$$t$$的函数为$$y = \sin\left(\omega t + \phi\right)$$，代入初始条件$$t = 0$$时$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，得$$\phi = \frac{\pi}{3}$$。
因此，函数解析式为$$y = \sin\left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{3}\right)$$，对应选项C。
4. 解析：
车流量函数$$F(t) = 50 + 4\sin\frac{t}{2}$$，求导得$$F'(t) = 2\cos\frac{t}{2}$$。
车流量增加的条件是$$F'(t) > 0$$，即$$\cos\frac{t}{2} > 0$$。
在$$0 \leq t \leq 20$$内，$$\frac{t}{2} \in [0, 10]$$，$$\cos\frac{t}{2} > 0$$当$$\frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}, 10\right]$$。
对应$$t \in [0, \pi) \cup (3\pi, 20]$$，即$$[0, \pi)$$和$$(9.42, 20]$$。
选项中$$[0, 5]$$（$$\pi \approx 3.14$$）满足$$F'(t) > 0$$，故选A。
5. 解析：
质点运动周期$$T = 5$$秒，角频率$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{5}$$。
2秒后转过的角度$$\theta = \omega t = \frac{4\pi}{5}$$。
弦长公式$$PP_0 = 2r \sin\frac{\theta}{2} = 4 \sin\frac{2\pi}{5}$$，对应选项C。
6. 解析：
筒车转动周期$$T = 2$$分钟，角频率$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi$$（弧度/分钟）。
初始角度$$\phi = -\frac{\pi}{6}$$（因为$$OP_0$$与水平面成$$\frac{\pi}{6}$$）。
高度函数$$H = 4 \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{6}\right) + 2$$。
选项中$$t$$单位为秒，需转换：$$\pi t$$（分钟）$$= \frac{\pi}{60} t$$（秒）。
因此，$$H = 4 \sin\left(\frac{\pi}{30} t - \frac{\pi}{6}\right) + 2$$，对应选项B。
7. 解析：
摩天轮半径$$r = 44$$米，中心高度$$100 - 44 = 56$$米。
高度函数$$H = 56 + 44 \sin\left(\frac{2\pi}{18} t + \phi\right)$$。
最佳观赏位置$$H \geq 34$$，即$$56 + 44 \sin\left(\frac{\pi}{9} t + \phi\right) \geq 34$$。
解得$$\sin\left(\frac{\pi}{9} t + \phi\right) \geq -\frac{1}{2}$$，即$$\frac{\pi}{9} t + \phi \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]$$。
一个周期内满足条件的时间为$$\frac{2\pi}{3} / \frac{\pi}{9} = 6$$分钟，但对称性需乘以2，共12分钟，故选B。
8. 解析：
灯塔$$A$$和$$B$$与观测站$$C$$的夹角为$$20^\circ + 70^\circ = 90^\circ$$。
由余弦定理，$$AB = \sqrt{a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos 90^\circ} = \sqrt{5a^2} = \sqrt{5}a$$，对应选项C。