三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用-三角函数的应用知识点考前基础自测题解析-浙江省等高一数学必修,平均正确率76.0%

1、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '正弦（型）函数的周期性'， '函数求解析式']

正确率60.0%已知动点$${{A}{(}{x}{，}{y}{)}}$$在圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$上沿逆时针方向匀速运动，其初始位置为$$A_{0} \frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2}， 1 2$$秒后第一次回到初始位置，则动点$${{A}}$$的纵坐标$${{y}}$$关于时间$${{t}}$$(单位：秒)的函数解析式为（）

A.$$y=\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3} t+\frac{\pi} {6} \right)$$

B.$$y=\operatorname{c o s} \left( \frac{\pi} {6} t+\frac{\pi} {3} \right)$$

C.$$y=\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {6} t+\frac{\pi} {3} \right)$$

D.$$y=\operatorname{c o s} \left( \frac{\pi} {3} t+\frac{\pi} {6} \right)$$

3、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']

正确率60.0%在平面直角坐标系中，一个质点在圆心为坐标原点，半径为$${{2}}$$的圆$${{O}}$$上，以圆$${{O}}$$与$${{x}}$$轴正半轴的交点$${{P}_{0}}$$为起点，沿逆时针方向匀速运动到$${{P}}$$点，每$${{5}{s}}$$转一圈，则$${{2}{s}}$$后$${{P}_{0}{P}}$$的长为（）

A.$$2 \mathrm{s i n} \frac{4 \pi} {5}$$

B.$$2 \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {5}$$

C.$$4 \mathrm{s i n} \frac{2 \pi} {5}$$

D.$$4 \operatorname{c o s} \frac{2 \pi} {5}$$

5、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']

正确率60.0%音乐是用声音来展现美，给人以听觉上的享受.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐音都能用数学表达式来描述，它们是一些形如$${{y}{=}{a}{{s}{i}{n}}{b}{x}}$$的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音.由乐音的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数$${{y}{=}{{0}{.}{0}{6}}{s}{i}{n}{{1}{8}{0}}{{0}{0}{0}}{t}}$$(基本音)构成乐音的是（）

A.$${{y}{=}{{0}{.}{0}{2}}{s}{i}{n}{{3}{6}{0}}{{0}{0}{0}}{t}}$$

B.$${{y}{=}{{0}{.}{0}{3}}{s}{i}{n}{{1}{8}{0}}{{0}{0}{0}}{t}}$$

C.$${{y}{=}{{0}{.}{0}{2}}{s}{i}{n}{{1}{8}{1}}{{8}{0}{0}}{t}}$$

D.$${{y}{=}{{0}{.}{0}{5}}{s}{i}{n}{{5}{4}{0}}{{0}{0}{0}}{t}}$$

7、['圆的一般方程'， '三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']

正确率40.0%若实数$${{x}{，}{y}}$$满足$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{+}{2}{\sqrt {3}}{y}{+}{3}{=}{0}}$$，则$${{x}{−}{\sqrt {3}}{y}}$$的取值范围是（）

A.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

B.$${（{2}{，}{6}{）}}$$

C.$${{[}{2}{，}{6}{]}}$$

D.$${{[}{−}{4}{，}{0}{]}}$$

9、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']

正确率40.0%在长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，底面$${{A}{B}{C}{D}}$$是边长为$${{3}}$$的正方形，侧棱$${{A}{{A}_{1}}{=}{x}{，}{P}}$$为矩形$${{C}{D}{{D}_{1}}{{C}_{1}}}$$内部（含边界）一点，$${{M}}$$为$${{B}{C}}$$中点，$${{∠}{A}{P}{D}{=}{∠}{C}{P}{M}}$$，三棱锥$${{A}_{1}{−}{P}{C}{D}}$$的体积的最大值记为$${{V}{（}{x}{）}}$$，则关于函数$${{V}{（}{x}{）}}$$，下列结论正确的是（）

A.$${{V}{（}{x}{）}}$$为奇函数

B.$${{V}{（}{x}{）}}$$在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上单调递增

C.$${{V}{（}{2}{）}{=}{3}}$$

D.$$V \ ( \textbf{3} ) \ =\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$

1、解析：

动点$$A(x, y)$$在圆$$x^2 + y^2 = 1$$上运动，初始位置为$$A_0\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，对应角度为$$\theta_0 = \frac{\pi}{3}$$。12秒后第一次回到初始位置，说明周期$$T = 12$$秒，角速度$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{6}$$ rad/s。

因此，动点的角度随时间变化为$$\theta(t) = \frac{\pi}{6}t + \frac{\pi}{3}$$。纵坐标$$y$$关于时间$$t$$的函数为$$y = \sin\left(\frac{\pi}{6}t + \frac{\pi}{3}\right)$$，对应选项C。

3、解析：

质点从$$P_0(2, 0)$$出发，逆时针匀速运动，周期$$T = 5$$秒，角速度$$\omega = \frac{2\pi}{5}$$ rad/s。2秒后转过的角度为$$\theta = \omega t = \frac{4\pi}{5}$$。

$$P_0P$$的长度为弦长公式计算：$$P_0P = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 4 \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$$，对应选项C。

5、解析：

基本音频率为$$180000$$ Hz，泛音频率应为基本音的整数倍。选项A（$$360000 = 2 \times 180000$$）、B（$$180000 = 1 \times 180000$$）、D（$$540000 = 3 \times 180000$$）均满足条件。

选项C的频率为$$181800$$ Hz，不是基本音的整数倍，因此不能构成乐音，答案为C。

7、解析：

将方程整理为圆的标准形式：$$(x-1)^2 + \left(y + \sqrt{3}\right)^2 = 1$$，圆心为$$(1, -\sqrt{3})$$，半径$$r = 1$$。

设$$z = x - \sqrt{3}y$$，表示直线$$x - \sqrt{3}y - z = 0$$到圆心的距离不超过半径：$$\frac{|1 - \sqrt{3}(-\sqrt{3}) - z|}{\sqrt{1 + 3}} \leq 1$$，化简得$$|4 - z| \leq 2$$，解得$$2 \leq z \leq 6$$，对应选项C。

9、解析：

建立坐标系，设$$A(0,0,0)$$，$$D(3,0,0)$$，$$C(3,3,0)$$，$$P(3, y, z)$$，$$M(3, 1.5, 0)$$。

由条件$$\angle APD = \angle CPM$$，利用向量点积关系可得$$y = \frac{9}{x}$$。三棱锥体积$$V = \frac{1}{6} \times 3 \times 3 \times x = \frac{3x}{2}$$，但$$P$$在边界时$$z = x$$，体积最大为$$V(x) = \frac{9}{2}$$（与$$x$$无关）。

选项C（$$V(2) = 3$$）正确，其他选项不成立。

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