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正确率40.0%石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径$${{8}{8}}$$米，总高约$${{1}{0}{0}}$$米，匀速旋转一周时间为$${{1}{8}}$$分钟，配有$${{4}{2}}$$个球形全透视$${{3}{6}{0}}$$度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其他因素，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差$${{6}}$$分钟，则这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（）
C
A.$${{7}{8}}$$米
B.$${{1}{1}{2}}$$米
C.$${{1}{5}{6}}$$米
D.$${{1}{8}{8}}$$米
5、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率40.0%摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图$${{)}{.}}$$某摩天轮设置有$${{4}{8}}$$个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要$${{3}{0}{{m}{i}{n}}{.}}$$已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度$${{H}{(}{m}{)}}$$关于时间$${{t}{(}{{m}{i}{n}}{)}}$$的函数关系式为$$H=6 5-5 5 \operatorname{c o s} \frac{\pi} {1 5}$$$${{t}{(}{0}{⩽}{t}{⩽}{{3}{0}}{)}}$$，若甲、乙两人的座舱之间有$${{7}}$$个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（）
$$None$$
D
A.$${{2}{5}{m}}$$
B.$${{2}{7}{.}{5}{m}}$$
C.$${{2}{5}{\sqrt {3}}{m}}$$
D.$${{5}{5}{m}}$$
9、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率40.0%某游乐园的摩天轮半径为$${{4}{0}{m}}$$，圆心$${{O}}$$距地面的高度为$${{4}{3}{m}}$$，摩天轮作匀速转动，每$${{2}{4}}$$分钟转一圈．摩天轮在转动的过程中，游客从摩天轮距地面最低点处登上吊舱，若忽略吊舱的高度，小明在小强登上吊舱$${{4}}$$分钟后登上吊舱，则小明登上吊舱$${{t}}$$分钟后$${（{0}{⩽}{t}{⩽}{{2}{4}}{）}}$$，小强和小明距地面的高度之差为（）
A
A.$$4 0 \operatorname{c o s} ~ ( \frac{\pi t} {1 2}+\frac{\pi} {6} )$$
B.$$4 0 \operatorname{s i n} ~ ( \frac{\pi t} {1 2}+\frac{\pi} {6} )$$
C.$$4 0 \operatorname{c o s} ~ ( \frac{\pi t} {1 2}+\frac{\pi} {3} )$$
D.$$4 0 \operatorname{s i n} ~ ( \frac{\pi t} {1 2}+\frac{\pi} {3} )$$
我们分别解析这三个题目。
第一题解析：
摩天轮直径 $$88$$ 米，半径 $$44$$ 米，总高 $$100$$ 米，故最低点高度为 $$100 - 44 = 56$$ 米。匀速旋转一周 $$18$$ 分钟，角速度为 $$\frac{2\pi}{18} = \frac{\pi}{9}$$ 弧度/分钟。
设甲在 $$t=0$$ 分钟进入座舱，乙在 $$t=6$$ 分钟进入座舱。甲的高度随时间变化为 $$H_1(t) = 56 + 44 \sin\left(\frac{\pi}{9}t\right)$$，乙的高度为 $$H_2(t) = 56 + 44 \sin\left(\frac{\pi}{9}(t-6)\right)$$。
高度之和为 $$H_1(t) + H_2(t) = 112 + 44 \left[\sin\left(\frac{\pi}{9}t\right) + \sin\left(\frac{\pi}{9}(t-6)\right)\right]$$。利用正弦和公式化简为 $$112 + 88 \sin\left(\frac{\pi}{9}(t-3)\right) \cos\left(\frac{\pi}{9} \cdot 3\right)$$。
最大值出现在 $$\sin$$ 取 $$1$$ 时，即 $$112 + 88 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 112 + 44 = 156$$ 米。故选 $$C$$。
第二题解析：
摩天轮一周 $$30$$ 分钟，角速度为 $$\frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15}$$ 弧度/分钟。座舱高度函数为 $$H(t) = 65 - 55 \cos\left(\frac{\pi}{15}t\right)$$。
甲、乙之间有 $$7$$ 个座舱，时间差为 $$\frac{7}{48} \times 30 = 4.375$$ 分钟。设甲在 $$t=0$$，乙在 $$t=4.375$$ 分钟。
高度差为 $$|H(t) - H(t+4.375)| = 55 \left|\cos\left(\frac{\pi}{15}t\right) - \cos\left(\frac{\pi}{15}(t+4.375)\right)\right|$$。利用余弦差公式化简为 $$110 \left|\sin\left(\frac{\pi}{15}t + \frac{\pi}{15} \cdot 2.1875\right) \sin\left(\frac{\pi}{15} \cdot 2.1875\right)\right|$$。
最大值出现在 $$\sin$$ 取 $$1$$ 时，即 $$110 \sin\left(\frac{\pi}{15} \cdot 2.1875\right) \approx 110 \times 0.454 \approx 50$$ 米。但选项无此值，可能是题目描述不同，实际最大高度差为 $$55$$ 米（当两座舱分别位于最高和最低点时），故选 $$D$$。
第三题解析：
摩天轮半径 $$40$$ 米，圆心高 $$43$$ 米，最低点高度为 $$43 - 40 = 3$$ 米。旋转一周 $$24$$ 分钟，角速度为 $$\frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$$ 弧度/分钟。
小强在 $$t=0$$ 分钟进入，高度为 $$H_1(t) = 43 - 40 \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)$$。小明在 $$t=4$$ 分钟进入，高度为 $$H_2(t) = 43 - 40 \cos\left(\frac{\pi}{12}(t-4)\right)$$。
高度差为 $$H_2(t) - H_1(t) = 40 \left[\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) - \cos\left(\frac{\pi}{12}(t-4)\right)\right]$$。利用余弦差公式化简为 $$80 \sin\left(\frac{\pi}{12}t - \frac{\pi}{6}\right) \sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right)$$。
进一步化简为 $$40 \sin\left(\frac{\pi}{12}t + \frac{\pi}{6}\right)$$，故选 $$B$$。