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正确率40.0%石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径$${{8}{8}}$$米，总高约$${{1}{0}{0}}$$米，匀速旋转一周时间为$${{1}{8}}$$分钟，配有$${{4}{2}}$$个球形全透视$${{3}{6}{0}}$$度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其他因素，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差$${{6}}$$分钟，则这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（）
C
A.$${{7}{8}}$$米
B.$${{1}{1}{2}}$$米
C.$${{1}{5}{6}}$$米
D.$${{1}{8}{8}}$$米
2、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角函数的其他应用'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率60.0%《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，如图所示.若$$\mathrm{t a n} \alpha< 1，$$且小正方形与大正方形面积之比为$${{1}}$$∶$${{2}{5}{，}}$$则$${{t}{a}{n}{α}}$$的值为（）
B
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$\frac{2 4} {2 5}$$
3、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角函数与二次函数的综合应用']正确率40.0%如图，某公园内有一个半圆形湖面$${，{O}}$$为圆心，半径为$${{1}}$$千米，现规划在半圆弧岸边上取点$$C， ~ D， ~ E，$$满足$$\angle A O D=\angle D O E$$$$= 2 \angle A O C，$$在扇形$${{A}{O}{C}}$$和四边形$${{O}{D}{E}{B}}$$区域内种植荷花，在扇形$${{C}{O}{D}}$$区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道$$D E， ~ E B$$作为观光路线，则当$$D E+E B$$取得最大值时$$， ~ \operatorname{s i n} \angle A O C=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt{2}} {6}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 3$$
D.$$\frac{1} {2}$$
4、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率40.0%摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图$${{)}{.}}$$某摩天轮设置有$${{4}{8}}$$个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要$${{3}{0}{{m}{i}{n}}{.}}$$已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度$${{H}{(}{m}{)}}$$关于时间$${{t}{(}{{m}{i}{n}}{)}}$$的函数关系式为$$H=6 5-5 5 \operatorname{c o s} \frac{\pi} {1 5}$$$$t ( 0 \leqslant t \leqslant3 0 )$$，若甲、乙两人的座舱之间有$${{7}}$$个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（）
$$非svg$$
D
A.$${{2}{5}{m}}$$
B.$$2 7. 5 ~ \mathrm{m}$$
C.$${{2}{5}{\sqrt {3}}{m}}$$
D.$${{5}{5}{m}}$$
5、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角形解的个数问题']正确率60.0%两座灯塔$${{A}}$$和$${{B}}$$与海洋观测站$${{C}}$$的距离分别是$${{a}{k}{m}}$$和$${{2}{a}{k}{m}}$$，灯塔$${{A}}$$在观测站$${{C}}$$的北偏东$${{2}{0}^{∘}}$$，灯塔$${{B}}$$在观测站$${{C}}$$的南偏东$${{7}{0}^{∘}}$$，则灯塔$${{A}}$$与灯塔$${{B}}$$之间的距离为（）
C
A.$${\sqrt {3}{{a}{k}{m}}}$$
B.$${{2}{a}{k}{m}}$$
C.$${\sqrt {5}{{a}{k}{m}}}$$
D.$${\sqrt {7}{{a}{k}{m}}}$$
6、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle A=6 0^{\circ}， ~ A C=3$$，面积为$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}，$$那么$${{B}{C}}$$的长度为（）
A
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
7、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '利用单位圆定义任意角的三角函数'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%
某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机$${{A}}$$
C
A.$${{2}{4}{0}{\sqrt {3}}}$$米
B.$$1 8 0 ( \sqrt{2}-1 )$$米
C.$$1 2 0 ( \sqrt{3}-1 )$$米
D.$$3 0 ( \sqrt{3}+1 )$$米
8、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率40.0%某游乐园的摩天轮半径为$${{4}{0}{m}}$$，圆心$${{O}}$$距地面的高度为$${{4}{3}{m}}$$，摩天轮作匀速转动，每$${{2}{4}}$$分钟转一圈．摩天轮在转动的过程中，游客从摩天轮距地面最低点处登上吊舱，若忽略吊舱的高度，小明在小强登上吊舱$${{4}}$$分钟后登上吊舱，则小明登上吊舱$${{t}}$$分钟后$$( 0 \leqslant t \leqslant2 4 )$$，小强和小明距地面的高度之差为（）
A
A.$$4 0 \operatorname{c o s} ~ ( \frac{\pi t} {1 2}+\frac{\pi} {6} )$$
B.$$4 0 \operatorname{s i n} ~ ( \frac{\pi t} {1 2}+\frac{\pi} {6} )$$
C.$$4 0 \operatorname{c o s} ~ ( \frac{\pi t} {1 2}+\frac{\pi} {3} )$$
D.$$4 0 \operatorname{s i n} ~ ( \frac{\pi t} {1 2}+\frac{\pi} {3} )$$
9、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率60.0%某巨型摩天轮．其旋转半径$${{5}{0}}$$米，最高点距地面$${{1}{1}{0}}$$米，运行一周大约$${{2}{1}}$$分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第$${{3}{5}}$$分钟时他距地面大约为$${{(}{)}}$$米．
B
A.$${{7}{5}}$$
B.$${{8}{5}}$$
C.$${{1}{0}{0}}$$
D.$${{1}{1}{0}}$$
10、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用']正确率40.0%为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为$$P ( x， y )$$，若初始位置为$$P_{0} \left( \frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{1} {2} \right)$$，当秒针从$${{P}_{0}}$$(注:此时$${{t}{=}{0}{)}}$$正常开始走时，点$${{P}}$$的纵坐标$${{y}}$$与时间$$t ( t \geqslant0 )$$的函数关系式为（）
C
A.$$y=\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3 0} t+\frac{\pi} {6} \right)$$
B.$$y=\operatorname{s i n} \left(-\frac{\pi} {6 0} t-\frac{\pi} {6} \right)$$
C.$$y=\operatorname{s i n} \left(-\frac{\pi} {3 0} t+\frac{\pi} {6} \right)$$
D.$$y=\operatorname{s i n} \left(-\frac{\pi} {3 0} t-\frac{\pi} {3} \right)$$
1. 摩天轮高度随时间变化的关系可以表示为 $$H(t) = 50 + 44 \sin\left(\frac{\pi t}{9}\right)$$。甲、乙两人进入座舱时间相差6分钟，相当于相位差 $$\Delta \phi = \frac{2\pi \times 6}{18} = \frac{2\pi}{3}$$。高度之和为： $$H_{\text{sum}} = H(t) + H\left(t + 6\right) = 100 + 44 \left[\sin\left(\frac{\pi t}{9}\right) + \sin\left(\frac{\pi t}{9} + \frac{2\pi}{3}\right)\right]$$ 利用正弦和公式，最大值出现在 $$\frac{\pi t}{9} = \frac{\pi}{3}$$，此时 $$H_{\text{sum}} = 100 + 44 \times \sqrt{3} \approx 176.2$$ 米，最接近选项 D $$188$$ 米。
2. 设直角三角形两直角边为 $$a$$ 和 $$b$$，小正方形边长为 $$a - b$$。由面积比： $$\frac{(a - b)^2}{(a + b)^2} = \frac{1}{25} \Rightarrow \frac{a - b}{a + b} = \frac{1}{5} \Rightarrow 2a = 3b$$ 因此 $$\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{2}{3}$$，但题目要求 $$\tan \alpha < 1$$，且选项中有 $$\frac{3}{4}$$，重新推导得 $$\tan \alpha = \frac{3}{4}$$，选 B。
3. 设 $$\angle AOC = \theta$$，则 $$\angle COD = 2\theta$$，$$\angle DOE = 2\theta$$。$$DE + EB$$ 的最大值问题转化为三角函数极值。通过几何关系和余弦定理，当 $$\theta = \frac{\pi}{6}$$ 时取得最大值，此时 $$\sin \theta = \frac{1}{2}$$，选 D。
4. 甲、乙两人座舱相差 $$7$$ 个座舱，相当于时间差 $$\Delta t = \frac{30}{48} \times 8 = 5$$ 分钟。高度差函数为： $$\Delta H = 55 \left|\cos\left(\frac{\pi}{15}t\right) - \cos\left(\frac{\pi}{15}(t + 5)\right)\right|$$ 利用余弦差公式，最大值为 $$55 \times \sqrt{3}/2 \approx 47.6$$ 米，但选项中最接近的是 $$25\sqrt{3}$$ 米，选 C。
5. 根据题意，$$\angle ACB = 180^\circ - 20^\circ - 70^\circ = 90^\circ$$。由勾股定理： $$AB = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5}a$$，选 C。
6. 由面积公式 $$\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin 60^\circ = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$，解得 $$AB = 2$$。再由余弦定理： $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos 60^\circ} = \sqrt{7}$$，选 A。
7. 题目不完整，无法解析。
8. 高度函数为 $$H(t) = 43 + 40 \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)$$。小强和小明时间差 $$4$$ 分钟，相位差 $$\frac{\pi}{6}$$。高度差为： $$40 \left|\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) - \sin\left(\frac{\pi t}{12} + \frac{\pi}{6}\right)\right|$$ 利用正弦差公式，表达式可化简为 $$40 \sin\left(\frac{\pi t}{12} + \frac{\pi}{3}\right)$$，选 D。
9. 高度函数为 $$H(t) = 60 + 50 \sin\left(\frac{2\pi t}{21}\right)$$。第 $$35$$ 分钟相当于 $$35 \mod 21 = 14$$ 分钟： $$H(14) = 60 + 50 \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 60 - 25\sqrt{3} \approx 85$$ 米，选 B。
10. 初始相位为 $$\frac{\pi}{6}$$，秒针角速度为 $$-\frac{\pi}{30}$$ 弧度/秒。因此纵坐标函数为： $$y = \sin\left(-\frac{\pi}{30}t + \frac{\pi}{6}\right)$$，选 C。