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正确率40.0%在长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，底面$${{A}{B}{C}{D}}$$是边长为$${{3}}$$的正方形，侧棱$${{A}{{A}_{1}}{=}{x}{，}{P}}$$为矩形$${{C}{D}{{D}_{1}}{{C}_{1}}}$$内部（含边界）一点，$${{M}}$$为$${{B}{C}}$$中点，$${{∠}{A}{P}{D}{=}{∠}{C}{P}{M}}$$，三棱锥$${{A}_{1}{−}{P}{C}{D}}$$的体积的最大值记为$${{V}{（}{x}{）}}$$，则关于函数$${{V}{（}{x}{）}}$$，下列结论正确的是（）
D
A.$${{V}{（}{x}{）}}$$为奇函数
B.$${{V}{（}{x}{）}}$$在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上单调递增
C.$${{V}{（}{2}{）}{=}{3}}$$
D.$$V \ ( \textbf{3} ) \ =\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
我们逐步分析题目条件并求解函数 $$V(x)$$ 的最大值及其性质。
1. 几何设定与坐标系建立
设长方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 的底面 $$ABCD$$ 为边长为 $$3$$ 的正方形，侧棱 $$AA_1 = x$$。建立坐标系如下：
- 点 $$A(0, 0, 0)$$
- 点 $$B(3, 0, 0)$$
- 点 $$C(3, 3, 0)$$
- 点 $$D(0, 3, 0)$$
- 点 $$A_1(0, 0, x)$$
- 点 $$P$$ 在矩形 $$CDD_1C_1$$ 内，设其坐标为 $$(a, 3, b)$$，其中 $$0 \leq a \leq 3$$，$$0 \leq b \leq x$$
- 点 $$M$$ 为 $$BC$$ 中点，坐标为 $$(3, 1.5, 0)$$
2. 角度条件分析
题目给出条件 $$∠APD = ∠CPM$$。利用向量点积公式计算这两个角度的余弦值：
- 向量 $$\vec{AP} = (a, 3, b)$$，$$\vec{DP} = (a, 0, b)$$
- 向量 $$\vec{CP} = (a-3, 0, b)$$，$$\vec{MP} = (a-3, 1.5, b)$$
- 由 $$∠APD = ∠CPM$$ 可得： $$\frac{\vec{AP} \cdot \vec{DP}}{|\vec{AP}| \cdot |\vec{DP}|} = \frac{\vec{CP} \cdot \vec{MP}}{|\vec{CP}| \cdot |\vec{MP}|}$$
- 化简后得到关系式： $$\frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + 9 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{(a-3)^2 + b^2}{\sqrt{(a-3)^2 + b^2} \cdot \sqrt{(a-3)^2 + 2.25 + b^2}}$$
- 进一步化简可得 $$b^2 = 3a - a^2$$，即 $$P$$ 的坐标满足 $$b = \sqrt{3a - a^2}$$（因为 $$b \geq 0$$）
3. 三棱锥体积计算
三棱锥 $$A_1-PCD$$ 的体积公式为： $$V = \frac{1}{6} \left| \det(\vec{A_1P}, \vec{A_1C}, \vec{A_1D}) \right|$$ 代入坐标计算： $$\vec{A_1P} = (a, 3, b - x)$$ $$\vec{A_1C} = (3, 3, -x)$$ $$\vec{A_1D} = (0, 3, -x)$$ 行列式展开为： $$\det = a(3(-x) - 3(-x)) - 3(3(-x) - 0(-x)) + (b - x)(3 \cdot 3 - 0 \cdot 3) = 9(b - x)$$ 因此体积为： $$V = \frac{1}{6} \cdot 9|x - b| = \frac{3}{2}(x - b)$$ 由于 $$b = \sqrt{3a - a^2}$$，且 $$0 \leq a \leq 3$$，$$b$$ 的最大值为 $$\frac{3}{2}$$（当 $$a = 1.5$$ 时）。
因此，体积的最大值为： $$V(x) = \frac{3}{2}\left(x - \min_{a} b\right) = \frac{3}{2}\left(x - 0\right) = \frac{3x}{2}$$ 但需注意 $$b$$ 的最小值为 $$0$$（当 $$a = 0$$ 或 $$a = 3$$ 时），所以 $$V(x)$$ 的最大值实际上是： $$V(x) = \frac{3}{2}(x - 0) = \frac{3x}{2}$$ 然而，题目要求的是 $$V(x)$$ 为体积的最大值，因此需要重新考虑 $$P$$ 的位置使体积最大化。实际上，体积表达式为 $$V = \frac{3}{2}(x - b)$$，当 $$b$$ 最小时，$$V$$ 最大。由于 $$b \geq 0$$，所以 $$V(x)$$ 的最大值为 $$\frac{3x}{2}$$。
4. 选项分析
A. $$V(x)$$ 为奇函数：$$V(x) = \frac{3x}{2}$$ 是奇函数（因为 $$V(-x) = -\frac{3x}{2} = -V(x)$$），正确。
B. $$V(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增：$$V(x) = \frac{3x}{2}$$ 是线性增函数，正确。
C. $$V(2) = 3$$：代入得 $$V(2) = \frac{3 \times 2}{2} = 3$$，正确。
D. $$V(3) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$：实际 $$V(3) = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2}$$，错误。
5. 结论
正确的选项为 A、B、C。