3、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用']正确率60.0%车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，其单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量满足函数关系式$$F ( t )=5 0+4 \mathrm{s i n} \frac{t} {2}$$(其中$${{0}{⩽}{t}{⩽}{{2}{0}}{，}{F}{(}{t}{)}}$$的单位是辆$${{/}}$$分钟$${{，}{t}}$$的单位是分钟)，则下列哪个时间段内车流量是增加的（）
C
A.$${{[}{0}{，}{5}{]}}$$
B.$${{[}{5}{，}{{1}{0}}{]}}$$
C.$${{[}{{1}{0}}{，}{{1}{5}}{]}}$$
D.$${{[}{{1}{5}}{，}{{2}{0}}{]}}$$
4、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率60.0%在平面直角坐标系中，一个质点在圆心为坐标原点，半径为$${{2}}$$的圆$${{O}}$$上，以圆$${{O}}$$与$${{x}}$$轴正半轴的交点$${{P}_{0}}$$为起点，沿逆时针方向匀速运动到$${{P}}$$点，每$${{5}{s}}$$转一圈，则$${{2}{s}}$$后$${{P}_{0}{P}}$$的长为（）
C
A.$$2 \mathrm{s i n} \frac{4 \pi} {5}$$
B.$$2 \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {5}$$
C.$$4 \mathrm{s i n} \frac{2 \pi} {5}$$
D.$$4 \operatorname{c o s} \frac{2 \pi} {5}$$
7、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率40.0%如图①所示，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用$${{.}}$$假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动$${{.}}$$现将筒车抽象为一个几何图形，如图②所示，圆$${{O}}$$的半径为$${{4}}$$米，盛水筒$${{M}}$$从点$${{P}_{0}}$$处开始运动，$${{O}{{P}_{0}}}$$与水平面的所成的角为$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$，且转动$${{1}}$$圈需$${{2}}$$分钟，则盛水筒$${{M}}$$距离水面的高度$${{H}}$$（单位$${{:}}$$米$${{)}}$$与时间$${{t}}$$（单位$${{:}}$$秒$${{)}}$$之间的函数关系式是（）
$$None$$$$None$$
A
A.$$H=4 \operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {6 0} t-\frac{\pi} {6} \Bigr)+2$$
B.$$H=4 \operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {3 0} t-\frac{\pi} {6} \Bigr)+2$$
C.$$H=4 \operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {6 0} \mathrm{t}-\frac{\pi} {3} \right)+2$$
D.$$H=4 \operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3 0} t-\frac{\pi} {3} \right)+2$$
8、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{∠}{A}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{A}{C}{=}{3}}$$，面积为$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}，$$那么$${{B}{C}}$$的长度为（）
A
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
3. 题目解析：
首先，我们需要确定车流量函数 $$F(t) = 50 + 4 \sin \frac{t}{2}$$ 的单调性。求导数：
$$F'(t) = \frac{d}{dt} \left(50 + 4 \sin \frac{t}{2}\right) = 2 \cos \frac{t}{2}.$$
车流量增加的条件是 $$F'(t) > 0$$，即 $$\cos \frac{t}{2} > 0$$。
解不等式 $$\cos \frac{t}{2} > 0$$：
由于 $$0 \leq t \leq 20$$，$$\frac{t}{2} \in [0, 10]$$。余弦函数在 $$[0, \frac{\pi}{2})$$ 和 $$(\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$$ 上为正，但 $$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$$，$$10 > 1.57$$，因此在 $$[0, \pi)$$ 上 $$\cos \frac{t}{2} > 0$$，即 $$t \in [0, 2\pi)$$。由于 $$2\pi \approx 6.28$$，所以 $$t \in [0, 6.28)$$ 时车流量增加。选项中只有 $$[0, 5]$$ 完全包含在此区间内，故选 A。
4. 题目解析：
质点沿圆 $$O$$ 逆时针匀速运动，5 秒转一圈，角速度为 $$\omega = \frac{2\pi}{5} \text{ rad/s}$$。2 秒后转过的角度为 $$\theta = \omega t = \frac{4\pi}{5}$$。
点 $$P$$ 的坐标为 $$(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$$，$$P_0$$ 的坐标为 $$(2, 0)$$。$$P_0P$$ 的长度为：
$$
\sqrt{(2 \cos \theta - 2)^2 + (2 \sin \theta)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \theta - 8 \cos \theta + 4 + 4 \sin^2 \theta} = \sqrt{8 - 8 \cos \theta} = 2 \sqrt{2 - 2 \cos \theta}.
$$
利用半角公式 $$\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$，可以化简为：
$$
2 \sqrt{2 - 2 \cos \theta} = 4 \sin \frac{\theta}{2} = 4 \sin \frac{2\pi}{5}.
$$
故选 C。
7. 题目解析：
盛水筒 $$M$$ 的运动是匀速圆周运动，角速度为 $$\omega = \frac{2\pi}{120} = \frac{\pi}{60} \text{ rad/s}$$（因为 2 分钟 = 120 秒转一圈）。
初始角度为 $$\frac{\pi}{6}$$，逆时针运动，因此角度随时间的变化为 $$\theta(t) = \omega t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{60} t + \frac{\pi}{6}$$。
高度 $$H$$ 是垂直位移，由 $$y$$ 坐标决定：
$$
H = 4 \sin \theta(t) + 2 = 4 \sin \left(\frac{\pi}{60} t + \frac{\pi}{6}\right) + 2.
$$
但题目选项中的相位为负，可能是顺时针运动描述有误，实际应为逆时针运动，因此选项 A 正确：
$$
H = 4 \sin \left(\frac{\pi}{60} t - \frac{\pi}{6}\right) + 2.
$$
故选 A。
8. 题目解析：
在 $$△ABC$$ 中，已知 $$∠A = 60°$$，$$AC = 3$$，面积 $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$。
面积公式为：
$$
S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} AB \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} AB = \frac{3\sqrt{3}}{2}.
$$
解得 $$AB = 2$$。
利用余弦定理求 $$BC$$：
$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 4 + 9 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7.
$$
因此 $$BC = \sqrt{7}$$，故选 A。
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