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正确率60.0%某港口在一天$${{2}{4}{h}}$$内潮水的高度$${{S}}$$(单位：$${{m}{)}}$$随时间$${{t}}$$(单位：$${{h}{，}{0}{⩽}{t}{⩽}{{2}{4}}{)}}$$的变化近似满足关系式$$S ( t )=3 \mathrm{s i n} \left( \frac{\pi} {1 2} t+\frac{5} {6} \pi\right)，$$则$${{t}{=}{{1}{7}}{h}}$$时潮水起落的速度是（）
B
A.$$\frac{\pi} {8} \textrm{m} / \textrm{h}$$
B.$$\frac{\sqrt{2} \pi} {8} \mathrm{\ m} / \mathrm{h}$$
C.$$\frac{\sqrt{3} \pi} {8} \mathrm{\ m} / \mathrm{h}$$
D.$$\frac{\pi} {4} \textrm{m} / \textrm{h}$$
4、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用']正确率60.0%某市一家房地产中介公司对本市一楼盘连续几个季度以来的房价进行了统计，发现每个季度的平均单价$${{y}}$$(每平方米的价格，单位:元)与第$${{x}}$$季度之间近似满足关系式$${{y}{=}{{5}{0}{0}}{s}{i}{n}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}{+}{9}{{5}{0}{0}}{(}{ω}{>}{0}{)}}$$，令$${{x}{=}{1}}$$表示今年的第一季度，已知第一、二季度的数据如表所示:
| $${{x}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{1}{0}{{0}{0}{0}}}$$ | $${{9}{{5}{0}{0}}}$$ |
C
A.$${{1}{0}{{0}{0}{0}}}$$元
B.$${{9}{{5}{0}{0}}}$$元
C.$${{9}{{0}{0}{0}}}$$元
D.$${{8}{{5}{0}{0}}}$$元
5、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用']正确率60.0%车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，其单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量满足函数关系式$$F ( t )=5 0+4 \mathrm{s i n} \frac{t} {2}$$(其中$${{0}{⩽}{t}{⩽}{{2}{0}}{，}{F}{(}{t}{)}}$$的单位是辆$${{/}}$$分钟$${{，}{t}}$$的单位是分钟)，则下列哪个时间段内车流量是增加的（）
C
A.$${{[}{0}{，}{5}{]}}$$
B.$${{[}{5}{，}{{1}{0}}{]}}$$
C.$${{[}{{1}{0}}{，}{{1}{5}}{]}}$$
D.$${{[}{{1}{5}}{，}{{2}{0}}{]}}$$
6、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率40.0%如图①所示，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用$${{.}}$$假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动$${{.}}$$现将筒车抽象为一个几何图形，如图②所示，圆$${{O}}$$的半径为$${{4}}$$米，盛水筒$${{M}}$$从点$${{P}_{0}}$$处开始运动，$${{O}{{P}_{0}}}$$与水平面的所成的角为$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$，且转动$${{1}}$$圈需$${{2}}$$分钟，则盛水筒$${{M}}$$距离水面的高度$${{H}}$$（单位$${{:}}$$米$${{)}}$$与时间$${{t}}$$（单位$${{:}}$$秒$${{)}}$$之间的函数关系式是（）
$$None$$$$None$$
A
A.$$H=4 \operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {6 0} t-\frac{\pi} {6} \Bigr)+2$$
B.$$H=4 \operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {3 0} t-\frac{\pi} {6} \Bigr)+2$$
C.$$H=4 \operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {6 0} \mathrm{t}-\frac{\pi} {3} \right)+2$$
D.$$H=4 \operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3 0} t-\frac{\pi} {3} \right)+2$$
7、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用']正确率40.0%某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约$${{.}}$$如图，摩天轮中心为$${{O}}$$，直径为$${{8}{8}}$$米，最高点$${{A}}$$距离地面$${{1}{0}{0}}$$米，匀速运行一圈的时间是$${{1}{8}}$$分钟$${{.}}$$由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离不低于$${{3}{4}}$$米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（）
$$None$$
B
A.$${{1}{0}}$$分钟
B.$${{1}{2}}$$分钟
C.$${{1}{4}}$$分钟
D.$${{1}{6}}$$分钟
8、['三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{∠}{A}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{A}{C}{=}{3}}$$，面积为$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}，$$那么$${{B}{C}}$$的长度为（）
A
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
1. 题目解析：
潮水高度函数为 $$S(t) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{12} t + \frac{5}{6}\pi\right)$$，要求 $$t=17$$ 时的潮水速度，即求导数 $$S'(t)$$ 在 $$t=17$$ 时的值。
导数计算：
$$S'(t) = 3 \cdot \frac{\pi}{12} \cos\left(\frac{\pi}{12} t + \frac{5}{6}\pi\right) = \frac{\pi}{4} \cos\left(\frac{\pi}{12} t + \frac{5}{6}\pi\right)$$
代入 $$t=17$$：
$$S'(17) = \frac{\pi}{4} \cos\left(\frac{17\pi}{12} + \frac{5}{6}\pi\right) = \frac{\pi}{4} \cos\left(\frac{17\pi}{12} + \frac{10\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{4} \cos\left(\frac{27\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{4} \cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)$$
化简 $$\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因此：
$$S'(17) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pi}{8}$$
答案为 B。
4. 题目解析：
房价函数为 $$y = 500 \sin(\omega x + \phi) + 9500$$，已知第一季度（$$x=1$$）和第二季度（$$x=2$$）的数据分别为 10000 元和 9500 元。
代入数据：
$$500 \sin(\omega \cdot 1 + \phi) + 9500 = 10000$$
$$500 \sin(\omega \cdot 2 + \phi) + 9500 = 9500$$
化简得：
$$\sin(\omega + \phi) = 1$$
$$\sin(2\omega + \phi) = 0$$
解得：
$$\omega + \phi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$
$$2\omega + \phi = \pi + 2k\pi$$
相减得 $$\omega = \frac{\pi}{2}$$，代入得 $$\phi = 2k\pi$$。
因此函数为 $$y = 500 \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) + 9500$$。
第三季度（$$x=3$$）的房价：
$$y = 500 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 9500 = 500 \cdot (-1) + 9500 = 9000$$ 元。
答案为 C。
5. 题目解析：
车流量函数为 $$F(t) = 50 + 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right)$$，要求车流量增加的时间段，即求导数 $$F'(t) > 0$$。
导数计算：
$$F'(t) = 4 \cdot \frac{1}{2} \cos\left(\frac{t}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{t}{2}\right)$$
要求 $$F'(t) > 0$$，即 $$\cos\left(\frac{t}{2}\right) > 0$$。
在 $$t \in [0, 20]$$ 时，$$\frac{t}{2} \in [0, 10]$$，$$\cos\left(\frac{t}{2}\right) > 0$$ 的解为 $$\frac{t}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}) \cup \cdots$$。
由于 $$\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$$ 和 $$\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$$，因此在 $$t \in [0, \pi) \approx [0, 3.14)$$ 和 $$t \in (3\pi, 5\pi) \approx (9.42, 15.71)$$ 时 $$F'(t) > 0$$。
选项中只有 $$[10, 15]$$ 完全包含在 $$(9.42, 15.71)$$ 内，因此答案为 C。
6. 题目解析：
盛水筒 $$M$$ 的运动为匀速圆周运动，半径为 4 米，初始角度为 $$\frac{\pi}{6}$$，转动一圈需 2 分钟（120 秒），角速度为 $$\omega = \frac{2\pi}{120} = \frac{\pi}{60}$$ 弧度/秒。
高度 $$H$$ 的函数为：
$$H = 4 \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{6}\right) + 2$$
代入 $$\omega = \frac{\pi}{60}$$，得：
$$H = 4 \sin\left(\frac{\pi}{60} t - \frac{\pi}{6}\right) + 2$$
答案为 A。
7. 题目解析：
摩天轮直径为 88 米，半径为 44 米，最高点 $$A$$ 距离地面 100 米，因此最低点距离地面 $$100 - 88 = 12$$ 米。
高度函数为：
$$H(t) = 44 \sin\left(\omega t + \phi\right) + 56$$
运行一圈需 18 分钟，角速度为 $$\omega = \frac{2\pi}{18} = \frac{\pi}{9}$$ 弧度/分钟。
最佳观赏位置为 $$H(t) \geq 34$$，即：
$$44 \sin\left(\frac{\pi}{9} t + \phi\right) + 56 \geq 34$$
化简得：
$$\sin\left(\frac{\pi}{9} t + \phi\right) \geq -\frac{1}{2}$$
解得 $$\frac{\pi}{9} t + \phi \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]$$，即 $$t \in \left[-\frac{3}{2} - \frac{9\phi}{\pi}, \frac{21}{2} - \frac{9\phi}{\pi}\right]$$。
由于摩天轮匀速运行，最佳观赏时长为 $$\frac{7\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$$ 弧度，对应时间为 $$\frac{4\pi}{3} \cdot \frac{9}{\pi} = 12$$ 分钟。
答案为 B。
8. 题目解析：
在 $$△ABC$$ 中，已知 $$∠A = 60^\circ$$，$$AC = 3$$，面积为 $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$。
面积公式：
$$\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$$
代入得：
$$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
解得 $$AB = 2$$。
利用余弦定理求 $$BC$$：
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 9 - 6 = 7$$
因此 $$BC = \sqrt{7}$$。
答案为 A。