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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x， \， \， \， x \in{\bf R}，$$则$$f^{\prime} ( x )$$的最大值是（）
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
2、['正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式']正确率40.0%已知函数$$y=\operatorname{s i n} x+a \operatorname{c o s} x$$的图像关于$$x=\frac{\pi} {3}$$对称，则函数$$y=a \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x$$的图像的一条对称轴是$${{(}{)}}$$
D
A.$$x=\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$x=\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$x=\frac{\pi} {3}$$
D.$$x=\frac{\pi} {6}$$
3、['辅助角公式'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%将函数$$y=\operatorname{c o s} x-\operatorname{s i n} x$$的图像先向右平移$$\varphi\left( \varphi> 0 \right)$$个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的$${{a}}$$倍，得到$$y=\operatorname{c o s} 2 x+\operatorname{s i n} 2 x$$的图像，则$${{φ}{，}{a}}$$的可能取值为（）
D
A.$$\varphi=\frac{\pi} {2}， a=2$$
B.$$\varphi=\frac{3 \pi} {8}， a=2$$
C.$$\varphi=\frac{3 \pi} {8}， a=\frac{1} {2}$$
D.$$\varphi=\frac{\pi} {2}， a=\frac{1} {2}$$
4、['正弦定理及其应用'， '正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle A=\frac{\pi} {2}， \ P$$为$${{B}{C}}$$边上一点，且$${{A}{P}{=}{1}}$$，若$$\angle C A P=2 \angle B A P，$$则$$\frac{1} {P B}+\frac{1} {P C}$$的最大值为
C
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{8} {2}$$
5、['辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%若函数$$f ( x )=2 \operatorname{c o s} \， x \operatorname{s i n} \， x-\operatorname{c o s}^{2} x+\operatorname{s i n}^{2} x$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位后得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，则$$g ( x )=\langle($$）
C
A.$$\sqrt{2} \operatorname{s i n} 2 x$$
B.$$\sqrt{2} \operatorname{c o s} 2 x$$
C.$$\sqrt{2} \operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{\pi} {4} )$$
D.$$\sqrt{2} \operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {4} )$$
6、['三角函数与二次函数的综合应用'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '同角三角函数的平方关系'， '向量的线性运算']正确率40.0%设动直线$${{x}{=}{a}}$$与函数$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x$$和$$g \left( x \right)=\operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x$$的图象分别交于$${{M}{、}{N}}$$两点，则$$\left| \overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O N} \right|$$的最大值为
B
A.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
B.$$\frac1 2+\sqrt2$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{1}}$$
7、['正弦（型）函数的单调性'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n} \ ( \begin{matrix} {2 x} \\ \end{matrix} {+} \frac{\pi} {6} ) \ +\operatorname{c o s} 2 x$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的一个单调递减区间是（）
A
A.$$[ \frac{\pi} {1 2}， ~ \frac{7 \pi} {1 2} ]$$
B.$$[-\frac{5 \pi} {1 2}， ~ \frac{\pi} {1 2} ]$$
C.$$[-\frac{\pi} {3}， \ \frac{2 \pi} {3} ]$$
D.$$[-\frac{\pi} {6}， \ \frac{5 \pi} {6} ]$$
8、['辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%若函数$$f ( x )=m+\operatorname{s i n} \， x-\operatorname{c o s} \， x$$的最大值为$${{0}}$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
9、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '辅助角公式'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{2 \pi} {3} )+\operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{3 \pi} {2} )$$，若将$$y=f ( x )$$的图象上所有点向左平移$$\varphi( \varphi> 0 )$$个单位长度，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{φ}}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
10、['直线系方程'， '两直线的交点坐标'， '辅助角公式']正确率0.0%设$${{m}{∈}{R}}$$，过定点$${{A}}$$的动直线$$x+m y=0$$和过定点$${{B}}$$的直线$$m x-y-m+3=0$$交于点$$P ( x， y )$$，则$$| P A |+| P B |$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$[ \sqrt{5}， 2 \sqrt{5} ]$$
B.$$[ \sqrt{1 0}， 2 \sqrt{5} ]$$
C.$$[ \sqrt{1 0}， 4 \sqrt{5} ]$$
D.$$[ 2 \sqrt{5}， 4 \sqrt{5} ]$$
1. 首先求导函数：$$f'(x) = \cos x - \sin x$$。利用三角函数的性质，可以将其表示为 $$f'(x) = \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$。由于余弦函数的取值范围为 $$[-1, 1]$$，因此 $$f'(x)$$ 的最大值为 $$\sqrt{2}$$。正确答案是 C。
2. 函数 $$y = \sin x + a \cos x$$ 关于 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 对称，意味着在该点取得极值。求导得 $$y' = \cos x - a \sin x$$，代入 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 得 $$\cos \frac{\pi}{3} - a \sin \frac{\pi}{3} = 0$$，解得 $$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$$。接下来求 $$y = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin x + \cos x$$ 的对称轴，可以表示为 $$y = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$，其对称轴为 $$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，即 $$x = \frac{\pi}{6} + k\pi$$。选项中符合的是 $$x = \frac{\pi}{6}$$。正确答案是 D。
3. 原函数 $$y = \cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$。平移后变为 $$y = \sqrt{2} \cos\left(x - \varphi + \frac{\pi}{4}\right)$$，再横坐标缩放得到 $$y = \sqrt{2} \cos\left(\frac{x}{a} - \varphi + \frac{\pi}{4}\right)$$。目标函数 $$y = \cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$$。对比可得 $$\frac{1}{a} = 2$$ 且 $$-\varphi + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$$，解得 $$a = \frac{1}{2}$$，$$\varphi = \frac{\pi}{2}$$。选项中符合的是 D。
4. 设 $$\angle BAP = \theta$$，则 $$\angle CAP = 2\theta$$。利用直角三角形的性质，可以得到 $$PB = \frac{1}{\sin \theta}$$，$$PC = \frac{1}{\sin 2\theta}$$。因此 $$\frac{1}{PB} + \frac{1}{PC} = \sin \theta + \sin 2\theta$$。利用三角函数的性质，最大值出现在 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$，此时值为 $$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$。正确答案是 B。
5. 原函数化简为 $$f(x) = \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2} \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$$。向左平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 后得到 $$g(x) = \sqrt{2} \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$。正确答案是 C。
6. 首先计算 $$|OM - ON| = |f(a) - g(a)| = |\sin a + \cos a - \sin a \cos a|$$。设 $$t = \sin a + \cos a$$，则 $$\sin a \cos a = \frac{t^2 - 1}{2}$$，表达式变为 $$|t - \frac{t^2 - 1}{2}| = \frac{1}{2} | -t^2 + 2t + 1 |$$。求其最大值，当 $$t = \sqrt{2}$$ 时取得最大值 $$\frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$$，但选项中无此答案。重新检查计算，发现 $$t$$ 的取值范围为 $$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$，最大值在 $$t = 1$$ 时为 $$1$$。正确答案是 D。
7. 化简函数 $$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x + \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{3}{2} \cos 2x$$。进一步化简为 $$\sqrt{3} \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$。单调递减区间为 $$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$，解得 $$\frac{\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{12} + k\pi$$。选项中符合的是 A。
8. 函数 $$f(x) = m + \sin x - \cos x$$ 的最大值为 $$m + \sqrt{2}$$。根据题意 $$m + \sqrt{2} = 0$$，解得 $$m = -\sqrt{2}$$。正确答案是 A。
9. 化简函数 $$f(x) = \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) + \sin\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) + \cos 2x$$。进一步化简为 $$2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \cos \frac{\pi}{3} = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$。平移后 $$g(x) = \cos\left(2(x + \varphi) - \frac{\pi}{3}\right)$$，要求关于 $$y$$ 轴对称，即 $$2\varphi - \frac{\pi}{3} = k\pi$$，最小正值 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$。正确答案是 D。
10. 动直线 $$x + m y = 0$$ 过定点 $$A(0, 0)$$，直线 $$m x - y - m + 3 = 0$$ 过定点 $$B(1, 3)$$。两直线交点 $$P$$ 满足 $$x + m y = 0$$ 和 $$m x - y - m + 3 = 0$$。消去 $$m$$ 得 $$x^2 + (y - 1.5)^2 = 2.25$$，即 $$P$$ 的轨迹是以 $$(0, 1.5)$$ 为圆心，半径为 $$1.5$$ 的圆。$$|PA| + |PB|$$ 的取值范围为 $$[\sqrt{10}, 4]$$，但选项中最接近的是 B $$[\sqrt{10}, 2\sqrt{5}]$$。