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正确率60.0%$$\alpha Z=\frac{1} {\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta\cdot i}-\frac{1} {2} \ ($$其中$${{i}}$$是虚数单位）是纯虚数．$${{”}}$$是$${}^{\omega} \theta=\frac{\pi} {6}+2 k \pi"$$的（）条件．
B
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
2、['给值求角'， '两角和与差的正弦公式'， '特殊角的三角函数值'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%设$$\alpha， \， \， \， \beta\in[ 0， \pi]，$$且满足$$\operatorname{s i n} \! \alpha\! \operatorname{c o s} \! \beta-\operatorname{c o s} \! \alpha\! \operatorname{s i n} \! \beta=1$$，则$$\operatorname{s i n} ( 2 \alpha-\beta)+\operatorname{s i n} ( \alpha-2 \beta)$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[-\sqrt{2}， 1 ]$$
B.$$[-1， \sqrt{2} ]$$
C.$$[-1， 1 ]$$
D.$$[ 1， \sqrt{2} ]$$
3、['给值求角'， '三角形的面积（公式）'， '向量的夹角'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积$$S_{\Delta A B C}={\frac{1 5} {4}}， ~ ~ \left| \overrightarrow{A B} \right|=3， ~ ~ \left| \overrightarrow{A C} \right|=5$$，则$$\angle B A C=( \textit{} )$$
D
A.$$3 0^{\circ}$$
B.
C.$$1 5 0^{\circ}$$
D.$$3 0^{\circ}$$或$$1 5 0^{\circ}$$
4、['向量的模'， '给值求角'， '数量积的性质'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$为单位向量，$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$的夹角为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
5、['余弦定理及其应用'， '给值求角']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$$c^{2}-a^{2}-b^{2}=a b$$，则角$${{C}{=}{（}}$$）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
6、['给值求角'， '充分、必要条件的判定']正确率60.0%已知命题$$p : \operatorname{s i n} 2 x=1$$，命题$$q : \operatorname{t a n} x=1$$，则$${{p}}$$是$${{q}}$$的$${{(}{)}}$$
A
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
7、['子集'， '给值求角'， '元素与集合的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%已知集合$$A=\{1， \ 2 \operatorname{c o s}^{2} \frac{\theta} {2}， \ 3 \}$$，集合$$B=\{\operatorname{c o s} \theta\}$$，若$$\theta\in[ 0， ~ 2 \pi)$$且$${{B}{⊆}{A}}$$，则$${{θ}{=}{（}}$$）
A
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{\pi} {2}$$
C.$${{π}}$$
D.$$\frac{3 \pi} {2}$$
8、['向量的模'， '给值求角'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知两非零向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=2 | \overrightarrow{b} |$$，则$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角大小为 （）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{5} {6}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
9、['正切（型）函数的单调性'， '给值求角'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义'， '利用基本不等式求最值'， '直线的倾斜角']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\frac{1} {2} \mathrm{e}^{x}-\frac{3} {2} \mathrm{e}^{-x}$$，则曲线$$y=f ( x )$$上任意一点处的切线的倾斜角$${{α}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( 0 \，， \， \frac{\pi} {3} ]$$
B.$${( \frac{\pi} {2} \，， \， \frac{2 \pi} {3} ]}$$
C.$$[ \frac{\pi} {3} \，， \， \frac{\pi} {2} )$$
D.$$[ \frac{\pi} {3} \，， \， \pi)$$
10、['给值求角'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%已知锐角$${{α}{，}{β}}$$满足$$\frac{\operatorname{s i n} ( 2 \alpha+\beta)} {\operatorname{c o s} \alpha}=\operatorname{s i n} ( \alpha+\beta)$$，则下列各式正确的是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\alpha+\beta=\frac{\pi} {2}$$
B.$${{α}{=}{β}}$$
C.$$\alpha+\beta=0$$
D. $$\alpha-\beta=\frac{\pi} {2}$$
1. 首先化简复数表达式：$$Z = \frac{1}{\sin \theta + \cos \theta \cdot i} - \frac{1}{2}$$。将分母有理化得：$$Z = \frac{\sin \theta - \cos \theta \cdot i}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} - \frac{1}{2} = \sin \theta - \cos \theta \cdot i - \frac{1}{2}$$。因为 $$Z$$ 是纯虚数，其实部为 0，即 $$\sin \theta - \frac{1}{2} = 0$$，解得 $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ 或 $$\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$。题目中 $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ 只是其中一个解，因此是充分不必要条件。答案为 A。
2. 由 $$\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = 1$$，得 $$\sin(\alpha - \beta) = 1$$。因为 $$\alpha, \beta \in [0, \pi]$$，所以 $$\alpha - \beta = \frac{\pi}{2}$$。将 $$\alpha = \beta + \frac{\pi}{2}$$ 代入所求表达式：$$\sin(2\alpha - \beta) + \sin(\alpha - 2\beta) = \sin\left(2\beta + \pi - \beta\right) + \sin\left(\beta + \frac{\pi}{2} - 2\beta\right) = \sin(\beta + \pi) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = -\sin \beta + \cos \beta$$。设 $$f(\beta) = -\sin \beta + \cos \beta = \sqrt{2} \cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)$$，由于 $$\beta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$，$$f(\beta)$$ 的取值范围为 $$[-1, 1]$$。答案为 C。
3. 由面积公式 $$S = \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \sin \angle BAC$$，代入数据得 $$\frac{15}{4} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin \angle BAC$$，解得 $$\sin \angle BAC = \frac{1}{2}$$。因此 $$\angle BAC = 30^\circ$$ 或 $$150^\circ$$。答案为 D。
4. 设 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 1$$，夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$。计算 $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{1 + 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$$。设夹角为 $$\phi$$，则 $$\cos \phi = \frac{\frac{1}{2}}{1 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$，故 $$\phi = \frac{\pi}{3}$$。答案为 B。
5. 由余弦定理 $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$，与题目条件 $$c^2 - a^2 - b^2 = ab$$ 联立得 $$-2ab \cos C = ab$$，即 $$\cos C = -\frac{1}{2}$$，故 $$C = \frac{2\pi}{3}$$。答案为 D。
6. 命题 $$p: \sin 2x = 1$$ 的解为 $$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$；命题 $$q: \tan x = 1$$ 的解为 $$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$。两者解集相同，故 $$p$$ 是 $$q$$ 的充要条件。答案为 A。
7. 因为 $$B \subseteq A$$，所以 $$\cos \theta$$ 必须是 $$A$$ 的元素之一。$$A$$ 中的元素为 $$1, 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}, 3$$。若 $$\cos \theta = 1$$，则 $$\theta = 0$$；若 $$\cos \theta = 3$$ 无解；若 $$\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$$（即 $$\cos \theta = \cos \theta$$），恒成立但不唯一。验证选项，只有 $$\theta = 0$$ 满足。答案为 A。
8. 由 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$ 得 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$。设 $$|\overrightarrow{b}| = 1$$，则 $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3}$$。计算 $$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b} = -1$$，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 2$$，故 $$\cos \phi = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$$，夹角为 $$\frac{2\pi}{3}$$。答案为 D。
9. 求导数 $$f'(x) = \frac{1}{2} e^x + \frac{3}{2} e^{-x} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{3}$$（由 AM-GM 不等式）。因此切线斜率 $$k \geq \sqrt{3}$$，倾斜角 $$\alpha \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$$。答案为 C。
10. 将方程化简为 $$\frac{\sin(2\alpha + \beta)}{\cos \alpha} = \sin(\alpha + \beta)$$，利用和角公式展开得 $$\sin(2\alpha + \beta) = \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha$$。进一步整理可得 $$\sin \alpha \cos(\alpha + \beta) = 0$$。因为是锐角，$$\sin \alpha \neq 0$$，故 $$\cos(\alpha + \beta) = 0$$，即 $$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$$。答案为 A。