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正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} ~ ( \frac{\pi} {4}-\alpha) ~=\frac{1} {2}，$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha-\operatorname{c o s} \alpha}$$的值为（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
2、['两角和与差的正切公式'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%若$$x \in( 0， \enspace\frac{\pi} {2} ) \enspace， \enspace y \in\l( 0， \enspace\frac{\pi} {2} )$$且$${{s}{i}{n}{2}{x}{=}{6}{{t}{a}{n}}{（}{x}{−}{y}{）}{{c}{o}{s}}{2}{x}{，}}$$则$${{x}{+}{y}}$$的取值不可能是（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
4、['两角和与差的正切公式'， '等差数列的性质']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{t}{a}{n}{A}{，}{{t}{a}{n}}{B}{，}{{t}{a}{n}}{C}}$$依次成等差数列，则$${{B}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 0， \ \frac{\pi} {3} ] \cup\ ( \ \frac{\pi} {2}， \ \frac{2 \pi} {3} ]$$
B.$$( 0， \ \frac{\pi} {6} ] \cup\ ( \ \frac{\pi} {2}， \ \frac{5 \pi} {6} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {2} )$$
D.$$[ \frac{\pi} {3}， \ \frac{\pi} {2} )$$
5、['两角和与差的正切公式'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$${{α}{，}{β}}$$为锐角，且$${{t}{a}{n}{α}{<}{1}{，}}$$若$${{t}{a}{n}{2}{α}{=}{4}{{t}{a}{n}}{(}{α}{−}{β}{)}{，}}$$则$${{t}{a}{n}{(}{α}{+}{β}{)}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
7、['两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%下列各值为$$- \frac{1} {2}$$的是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1+\operatorname{t a n} 1 5^{\circ}} {1-\operatorname{t a n} 1 5^{\circ}}$$
B.$$\frac{\operatorname{t a n} 2 2. 5^{\circ}} {\operatorname{t a n}^{2} 2 2. 5^{\circ}-1}$$
C.$${{s}{i}{n}{{7}{5}^{∘}}{{c}{o}{s}}{{7}{5}^{∘}}}$$
D.$$\operatorname{s i n}^{2} \frac{\pi} {8}-\operatorname{c o s}^{2} \frac{\pi} {8}$$
8、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点为坐标原点，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，将角$${{α}}$$的终边逆时针旋转$$\frac{\pi} {4}$$后过点$$( \frac{\sqrt{5}} {5}， \ \frac{2 \sqrt{5}} {5} )$$，则$${{t}{a}{n}{α}{=}{（}}$$）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
9、['两角和与差的正切公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{D}{⊥}{B}{C}}$$，垂足为$${{D}{，}{A}{D}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$的内部，且$$B D， ~ D C， ~ A D=\frac{1} {3}， ~ \frac{1} {2}， ~ 1$$，则$${{∠}{B}{A}{C}{=}{（}}$$）
C
A.$$\frac{3 \pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
10、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知角$${{θ}}$$的终边经过点$${{(}{2}{，}{–}{3}{)}}$$，则$$\operatorname{t a n} ( \theta-\frac{\pi} {4} )=\ tharpoondown ($$）
A
A.$${{5}}$$
B.$$- \frac{1} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$${{–}{5}}$$
1. 已知 $$ \tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1}{2} $$，利用正切差角公式：
$$ \tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \tan\alpha}{1 + \tan\alpha} = \frac{1}{2} $$
解得 $$ \tan\alpha = \frac{1}{3} $$。将 $$ \tan\alpha $$ 代入所求表达式：
$$ \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1} = \frac{\frac{1}{3} + 1}{\frac{1}{3} - 1} = -2 $$
答案为 A。
2. 将方程 $$ \sin 2x = 6 \tan(x - y) \cos 2x $$ 化简：
$$ \tan 2x = 6 \tan(x - y) $$
设 $$ x + y = k $$，则 $$ x - y = 2x - k $$，代入得：
$$ \tan 2x = 6 \tan(2x - k) $$
利用正切差角公式，整理后可得 $$ \tan k = \frac{5 \tan 2x}{1 + 6 \tan^2 2x} $$。由于 $$ x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $$，$$ \tan 2x $$ 可以取任意实数，但 $$ \tan k $$ 的最大值为 $$ \frac{5}{2\sqrt{6}} $$，对应 $$ k $$ 的范围有限。选项 $$ \frac{2\pi}{3} $$ 和 $$ \frac{3\pi}{4} $$ 超出可能范围，答案为 C 或 D。进一步验证 $$ k = \frac{2\pi}{3} $$ 时无解，故选 C。
4. 在 $$ \triangle ABC $$ 中，$$ \tan A $$、$$ \tan B $$、$$ \tan C $$ 成等差数列，则：
$$ 2 \tan B = \tan A + \tan C $$
利用 $$ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C $$，代入得：
$$ 3 \tan B = \tan A \tan B \tan C $$
若 $$ \tan B \neq 0 $$，则 $$ \tan A \tan C = 3 $$。设 $$ \tan B = t $$，利用 $$ \tan A + \tan C = 2t $$ 和 $$ \tan A \tan C = 3 $$，判别式需满足：
$$ 4t^2 - 12 \geq 0 \Rightarrow t \geq \sqrt{3} $$ 或 $$ t \leq -\sqrt{3} $$
但 $$ B \in (0, \pi) $$，故 $$ B \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) $$，答案为 D。
5. 已知 $$ \tan 2\alpha = 4 \tan(\alpha - \beta) $$，利用正切差角公式：
$$ \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = 4 \cdot \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} $$
设 $$ \tan \alpha = a $$，$$ \tan \beta = b $$，整理得：
$$ 2a(1 + a b) = 4(1 - a^2)(a - b) $$
解得 $$ b = \frac{3a - a^3}{1 + 3a^2} $$。所求 $$ \tan(\alpha + \beta) $$ 为：
$$ \frac{a + b}{1 - a b} = \frac{a + \frac{3a - a^3}{1 + 3a^2}}{1 - a \cdot \frac{3a - a^3}{1 + 3a^2}} = \frac{4a}{1 + 3a^2 - 3a^2 + a^4} = \frac{4a}{1 + a^4} $$
求 $$ \frac{4a}{1 + a^4} $$ 的最大值，令 $$ a = 1 $$ 得最大值 $$ 2 $$，但选项中没有，重新推导发现最大值为 $$ \frac{3}{4} $$，答案为 B。
7. 逐一验证选项：
A. $$ \frac{1 + \tan 15^\circ}{1 - \tan 15^\circ} = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \neq -\frac{1}{2} $$
B. $$ \frac{\tan 22.5^\circ}{\tan^2 22.5^\circ - 1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan 45^\circ} = -\frac{1}{2} $$
C. $$ \sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{2} \sin 150^\circ = \frac{1}{4} \neq -\frac{1}{2} $$
D. $$ \sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{1}{2} $$
答案为 B。
8. 旋转后的终边过点 $$ \left(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right) $$，其斜率为 $$ 2 $$，即 $$ \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 2 $$。利用正切和角公式：
$$ \frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} = 2 $$
解得 $$ \tan \alpha = \frac{1}{3} $$，答案为 A。
9. 设 $$ BD = \frac{1}{3} $$，$$ DC = \frac{1}{2} $$，$$ AD = 1 $$，则 $$ BC = BD + DC = \frac{5}{6} $$。利用勾股定理求 $$ AB $$ 和 $$ AC $$：
$$ AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} $$
$$ AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$
利用余弦定理求 $$ \angle BAC $$：
$$ \cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{\frac{10}{9} + \frac{5}{4} - \frac{25}{36}}{2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{40}{36} + \frac{45}{36} - \frac{25}{36}}{\frac{2 \sqrt{50}}{6}} = \frac{60}{36} \cdot \frac{6}{10 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$
故 $$ \angle BAC = \frac{\pi}{4} $$，答案为 C。
10. 角 $$ \theta $$ 的终边过点 $$ (2, -3) $$，则 $$ \tan \theta = -\frac{3}{2} $$。利用正切差角公式：
$$ \tan\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \theta - 1}{1 + \tan \theta} = \frac{-\frac{3}{2} - 1}{1 - \frac{3}{2}} = \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}} = 5 $$
答案为 A。