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正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=\left( \operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {6} \right)， \ 1 \right)，$$$$b=( 4， ~ 4 \operatorname{c o s} \alpha-\sqrt{3} )，$$若$${{a}{⊥}{b}{，}}$$则$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{4 \pi} {3} \right)$$等于（）
B
A.$$- \frac{\sqrt{3}} {4}$$
B.$$- \frac{1} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$\operatorname{s i n} ( A+B ) \mathrm{s i n} ( A-B )=\operatorname{s i n}^{2} C，$$则此三角形一定是（）
A
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
3、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%svg异常
D
A.$$5 0 ( \sqrt6-\sqrt2 ) ~ \mathrm{m}$$
B.$$5 0 ( \sqrt6+\sqrt2 ) ~ \mathrm{m}$$
C.$$1 0 0 ( \sqrt{3}-1 ) \ \mathrm{m}$$
D.$$1 0 0 ( \sqrt{3}+1 ) \ \mathrm{m}$$
4、['两角和与差的正弦公式'， '角的代换']正确率60.0%已知锐角$${{α}{，}{β}}$$满足$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{2 \sqrt{5}} {5}， ~ \operatorname{s i n} ( \alpha-\beta)=-\frac{3} {5}，$$则$${{s}{i}{n}{β}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {2 5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {2 5}$$
5、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%
$${{(}{)}}$$
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$2 \operatorname{c o s}^{2} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)+\operatorname{s i n} \! \left( 2 \alpha+\frac{\pi} {3} \right)=\frac1 3$$，则$$\operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {3}-2 \alpha\Bigr)=$$
C
A.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
C.$$- \frac2 3$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
7、['两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=\frac{\sqrt{2}} {4}， \alpha\in\left( 0， \pi\right)， \mathbb{K} \frac{1-\operatorname{t a n} \alpha} {1+\operatorname{t a n} \alpha}=\left( \begin{matrix} {\frac{} {}} \\ \end{matrix} \right)$$
B
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${{−}{\sqrt {7}}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
8、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%若函数$$f ( x )=\sqrt{3} \operatorname{s i n} ( 2 x+\theta)+\operatorname{c o s} ( 2 x+\theta)$$为奇函数，且在$$[-\frac{\pi} {4}， 0 ]$$上为减函数，则$${{θ}}$$的一个值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$- \frac{\pi} {3}$$
B.$$- \frac{\pi} {6}$$
C.$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边长分别为$$a， ~ b， ~ c$$.若$$b^{2}+c^{2}-b c=a^{2}， \ \frac c b=\frac1 2$$ $${{c}{o}{s}{B}}$$ 等于（ ）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{0}}$$
10、['正弦定理及其应用'， '积化和差公式与和差化积公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知
，则$${{△}{A}{B}{C}}$$为$${{(}{)}}$$
B
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角非等边三角形
D.钝角三角形
1. 由向量垂直条件 $$a \cdot b = 0$$，代入向量表达式得： $$4 \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) + 1 \cdot (4 \cos \alpha - \sqrt{3}) = 0$$ 展开并化简： $$4 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} + 4 \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} + 4 \cos \alpha - \sqrt{3} = 0$$ $$2\sqrt{3} \sin \alpha + 2 \cos \alpha + 4 \cos \alpha - \sqrt{3} = 0$$ $$2\sqrt{3} \sin \alpha + 6 \cos \alpha = \sqrt{3}$$ 两边除以 $$2\sqrt{3}$$： $$\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{1}{2}$$ 利用辅助角公式： $$2 \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$ $$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$$ 求 $$\sin\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right)$$： $$\sin\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3} + \pi\right) = -\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{4}$$ 答案为 B。
2. 在三角形中 $$A + B + C = \pi$$，故 $$\sin(A+B) = \sin C$$。代入条件： $$\sin C \cdot \sin(A - B) = \sin^2 C$$ 若 $$\sin C \neq 0$$，则 $$\sin(A - B) = \sin C = \sin(A + B)$$。展开得： $$\sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$ 化简得 $$2 \cos A \sin B = 0$$。因为 $$\sin B \neq 0$$，所以 $$\cos A = 0$$，即 $$A = \frac{\pi}{2}$$，为直角三角形。 答案为 A。
3. 题目不完整，无法解析。
4. 已知 $$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，则 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。由 $$\sin(\alpha - \beta) = -\frac{3}{5}$$，得 $$\cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5}$$（因为 $$\alpha, \beta$$ 为锐角）。求 $$\sin \beta$$： $$\sin \beta = \sin[\alpha - (\alpha - \beta)] = \sin \alpha \cos(\alpha - \beta) - \cos \alpha \sin(\alpha - \beta)$$ $$= \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4\sqrt{5}}{25} + \frac{6\sqrt{5}}{25} = \frac{10\sqrt{5}}{25} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ 答案为 A。
5. 题目不完整，无法解析。
6. 利用 $$\cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \cos(2\alpha + \frac{\pi}{2})}{2}$$，代入原式： $$2 \cdot \frac{1 - \sin 2\alpha}{2} + \sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3}$$ 化简得： $$1 - \sin 2\alpha + \sin 2\alpha \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2\alpha \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3}$$ $$1 - \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\alpha = \frac{1}{3}$$ 整理得： $$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\alpha - \frac{1}{2} \sin 2\alpha = -\frac{2}{3}$$ 即： $$\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right) = -\frac{2}{3}$$ 答案为 C。
7. 由 $$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$，展开得： $$\sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}$$ 平方得： $$1 + \sin 2\alpha = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2\alpha = -\frac{3}{4}$$ 因为 $$\alpha \in (0, \pi)$$，所以 $$\cos 2\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$$。利用 $$\frac{1 - \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$$，计算得： $$\tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} = \frac{\sqrt{1 - \sin 2\alpha}}{\sqrt{1 + \sin 2\alpha}} = \frac{\sqrt{1 + \frac{3}{4}}}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = \sqrt{7}$$ 答案为 A。
8. 函数为奇函数，故 $$f(0) = 0$$： $$\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 0 \Rightarrow \tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{6} + k\pi$$ 验证减函数条件，取 $$\theta = -\frac{\pi}{6}$$ 满足要求。 答案为 B。
9. 由余弦定理 $$b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A$$，与给定条件 $$b^2 + c^2 - bc = a^2$$ 对比得： $$2bc \cos A = bc \Rightarrow \cos A = \frac{1}{2}$$ 又 $$\frac{c}{b} = \frac{1}{2}$$，设 $$c = k, b = 2k$$，代入余弦定理： $$a^2 = 4k^2 + k^2 - 2k^2 = 3k^2$$ 再用余弦定理求 $$\cos B$$： $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{3k^2 + k^2 - 4k^2}{2 \cdot \sqrt{3}k \cdot k} = 0$$ 答案为 D。
10. 题目不完整，无法解析。