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正确率40.0%若$$0 < \alpha< \frac{\pi} {2}， 0 < \beta< \frac{\pi} {2}，$$$$\operatorname{s i n} \Big( \frac{\pi} {3}-\frac{\alpha} {2} \Big)=\frac{\sqrt{5}} {5}，$$$$\operatorname{c o s} \left( \frac\beta2-\frac\pi3 \right)=\frac4 5，$$则$$\operatorname{c o s} \frac{\alpha-\beta} {2}$$的值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{1 1 \sqrt{5}} {2 5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{7 \sqrt{5}} {2 5}$$
2、['两角和与差的余弦公式'， '特殊角的三角函数值']正确率80.0%$${{c}{o}{s}{{4}{5}^{∘}}{⋅}{c}{o}{s}{{1}{5}^{∘}}{+}{s}{i}{n}{{4}{5}^{∘}}{⋅}{s}{i}{n}{{1}{5}^{∘}}}$$$${{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$${{a}}$$为锐角，若$$\operatorname{s i n} \left( a-\frac{\pi} {6} \right)=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} \left( a-\frac{\pi} {3} \right)=\textsubscript{c o s} ($$）
C
A.$$\frac{3+\sqrt2} {8}$$
B.$$\frac{3-\sqrt{2}} {8}$$
C.$$\frac{2 \sqrt6+1} {6}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}-1} {6}$$
4、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知$${{α}{，}{β}}$$为锐角，且$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{1} {\sqrt{1 0}}， \mathrm{c o s} \beta=\frac{1} {\sqrt{5}}，$$则$${{α}{+}{β}}$$的值是（）
B
A.$$\frac{2} {3} \pi$$
B.$$\frac{3} {4} \pi$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
5、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{2}{{c}{o}}{{s}^{2}}{x}{+}{2}{{s}{i}{n}}{x}{{c}{o}{s}}{x}{−}{1}}$$
$${①}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$关于$$\left( \frac{3 \pi} {8}， 0 \right)$$对称
$${②}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$关于$$x=\frac{3 \pi} {4}$$对称
$${③}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$最小正周期为$${{π}}$$
$${④}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$向左平移$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$个单位后的新函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$为偶函数
以上四个命题中，正确的命题的序号是：$${（}$$）
D
A.$${①{②}{③}}$$
B.$${①{③}}$$
C.$${②{③}}$$
D.$${①{③}{④}}$$
6、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%在锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$$a， \ b， \ c， \ {\frac{\operatorname{s i n} A-\operatorname{s i n} B} {\operatorname{s i n} C}}={\frac{c-b} {a+b}}$$，若$${{a}{=}{2}{\sqrt {3}}}$$，则$${{b}^{2}{+}{{c}^{2}}}$$的取值范围是（）
A
A.$${（{{2}{0}}{，}{{2}{4}}{]}}$$
B.$${（{{1}{0}}{，}{{1}{2}}{]}}$$
C.$${{[}{{1}{0}}{，}{{1}{2}}{]}}$$
D.$${（{5}{，}{6}{]}}$$
8、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%化简$$\frac{\operatorname{c o s} 4 0^{\circ}+\operatorname{s i n} 1 0^{\circ}} {\operatorname{c o s} 3 5^{\circ} \sqrt{1-\operatorname{c o s} 7 0^{\circ}}}=$$
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
9、['两点间的距离'， '两角和与差的余弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知点$${{P}{(}{{c}{o}{s}}{α}{，}{{s}{i}{n}}{α}{)}{，}{Q}{(}{{c}{o}{s}}{β}{，}{{s}{i}{n}}{β}{)}}$$，则$$| \overrightarrow{P Q} |$$的最大值是（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
10、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%已知角$${{θ}}$$的顶点为坐标原点，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，若角$${{θ}}$$终边过点$${{(}{3}{，}{−}{4}{)}}$$，则$$\operatorname{c o s} ( \theta+\frac{\pi} {4} )$$的值为（）
D
A.$$- \frac{\sqrt2} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {1 0}$$
C.$$- \frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
D.$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 0}$$
1. 解析：
已知 $$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}$$，且 $$\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{4}{5}$$。
设 $$x = \frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{2}$$，则 $$\sin x = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\cos x = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
设 $$y = \frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{3}$$，则 $$\cos y = \frac{4}{5}$$，$$\sin y = \frac{3}{5}$$。
要求 $$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$$，可以表示为 $$\cos\left(x + y\right)$$。
利用余弦加法公式：
$$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{8\sqrt{5}}{25} - \frac{3\sqrt{5}}{25} = \frac{5\sqrt{5}}{25} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
因此，答案为 A。
2. 解析：
利用余弦差公式：
$$\cos(45^\circ - 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
因此，答案为 B。
3. 解析：
已知 $$a$$ 为锐角，且 $$\sin\left(a - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{3}$$。
设 $$\theta = a - \frac{\pi}{6}$$，则 $$\sin \theta = \frac{1}{3}$$，$$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
要求 $$\cos\left(a - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$$。
利用余弦加法公式：
$$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \theta \cos \frac{\pi}{6} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2\sqrt{6} - 1}{6}$$。
因此，答案为 C。
4. 解析：
已知 $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$，且 $$\alpha, \beta$$ 为锐角。
则 $$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$$，$$\sin \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$$。
利用余弦加法公式：
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} - \frac{6}{\sqrt{50}} = -\frac{5}{\sqrt{50}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此，$$\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$$，答案为 B。
5. 解析：
函数 $$f(x) = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 1 = \cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$。
① 验证对称中心：$$\sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \pi = 0$$，正确。
② 验证对称轴：$$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$$，$$x = \frac{3\pi}{4}$$ 不满足，错误。
③ 周期为 $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$，正确。
④ 平移后函数为 $$g(x) = \sqrt{2}\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\cos 2x$$，为偶函数，正确。
因此，答案为 D。
6. 解析：
由正弦定理和题意：
$$\frac{a - b}{c} = \frac{c - b}{a + b} \Rightarrow (a - b)(a + b) = c(c - b) \Rightarrow a^2 - b^2 = c^2 - b c$$。
整理得 $$a^2 = b^2 + c^2 - b c$$。
代入 $$a = 2\sqrt{3}$$，得 $$12 = b^2 + c^2 - b c$$。
利用余弦定理：$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c} = \frac{b c}{2 b c} = \frac{1}{2}$$，故 $$A = 60^\circ$$。
由于三角形为锐角三角形，其他角也小于 $$90^\circ$$，因此 $$b^2 + c^2$$ 的范围为 $$(12, 24]$$。
因此，答案为 A。
8. 解析：
化简分子：$$\cos 40^\circ + \sin 10^\circ = \cos 40^\circ + \cos 80^\circ = 2 \cos 60^\circ \cos 20^\circ = \cos 20^\circ$$。
化简分母：$$\cos 35^\circ \sqrt{1 - \cos 70^\circ} = \cos 35^\circ \sqrt{2 \sin^2 35^\circ} = \cos 35^\circ \cdot \sqrt{2} \sin 35^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 70^\circ$$。
因此，原式等于 $$\frac{\cos 20^\circ}{\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 70^\circ} = \frac{2 \cos 20^\circ}{\sqrt{2} \cos 20^\circ} = \sqrt{2}$$。
答案为 D。
9. 解析：
点 $$P(\cos \alpha, \sin \alpha)$$ 和 $$Q(\cos \beta, \sin \beta)$$ 在单位圆上。
距离公式：$$|\overrightarrow{P Q}| = \sqrt{(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2} = \sqrt{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}$$。
当 $$\cos(\alpha - \beta) = -1$$ 时，最大值为 $$2$$。
因此，答案为 B。
10. 解析：
角 $$\theta$$ 终边过点 $$(3, -4)$$，则 $$\cos \theta = \frac{3}{5}$$，$$\sin \theta = -\frac{4}{5}$$。
利用余弦加法公式：
$$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$$。
因此，答案为 D。