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正确率40.0%若角$${{α}}$$的终边经过点$$( 1， ~-1 )，$$则$${\frac{\mathrm{s i n} \alpha+3 \mathrm{c o s} \alpha} {6 \mathrm{c o s} \alpha-2 \mathrm{s i n} \alpha}}+\mathrm{c o s}^{2} \alpha$$的值为（）
C
A.$$\frac{5} {4}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$- \frac{3} {2}$$
2、['给值求值']正确率80.0%已知$${{θ}}$$为锐角，且$$\operatorname{c o s} \left( \theta+\frac{\pi} {6} \right)=\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \theta=$$（）
A
A.$$\frac{4 \sqrt{3}-3} {1 0}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{3}+3} {1 0}$$
C.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$
D.$$\frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$
3、['给值求值'， '两角和与差的余弦公式']正确率40.0%已知$$\mathrm{s i n} \alpha+\mathrm{s i n} \beta=\frac{4} {5}， \ \mathrm{c o s} \alpha+\mathrm{c o s} \beta=\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\beta)=$$（）
D
A.$$\frac{9} {2 5}$$
B.$$\frac{1 6} {2 5}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
5、['给值求值'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知$${{θ}}$$为第二象限角，且$$\operatorname{c o s} \frac\theta2=-\frac1 2$$，那么$$\frac{\sqrt{1-\operatorname{s i n} \theta}} {\operatorname{c o s} \frac{\theta} {2}-\operatorname{s i n} \frac{\theta} {2}}$$的值是（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
6、['给值求值'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\frac{\mathrm{s i n} \alpha} {1+\mathrm{c o s} \alpha}=-\frac{2} {3}，$$则$$\frac{\operatorname{s i n} \alpha} {1-\operatorname{c o s} \alpha}=$$（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac2 3$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac{3} {2}$$
7、['给值求值'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%已知$${{α}{，}{β}}$$都是锐角，且$${{β}{>}{α}{，}}$$若$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{1} {3}， ~ ~ \operatorname{c o s} ( \beta-\alpha)=\frac{\sqrt{3}} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} ( \beta-2 \alpha)=\mathrm{~ ( ~}$$）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
8、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s}^{2} ( \frac{\alpha} {2}+\frac{\pi} {4} )=$$（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{0}}$$
10、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '给值求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \ ( \frac{\pi} {3}-\alpha) \ =\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} ~ ( \alpha+\frac{\pi} {6} ) ~=~ ($$）
D
A.$$\pm\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
1. 角$$α$$的终边经过点$$(1, -1)$$，因此$$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$。
于是：
$$\sin α = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos α = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
将$$\sin α$$和$$\cos α$$代入表达式：
$$\frac{\sin α + 3\cos α}{6\cos α - 2\sin α} + \cos^2 α = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$
化简分子和分母：
分子：$$-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$
分母：$$3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$
因此第一部分为：$$\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$$
第二部分为：$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
总和为：$$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$
答案为：$$\boxed{C}$$
2. 已知$$θ$$为锐角，且$$\cos\left(θ + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{5}$$。
设$$φ = θ + \frac{\pi}{6}$$，则$$\cos φ = \frac{3}{5}$$，且$$φ$$的范围为$$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right)$$。
因此$$\sin φ = \frac{4}{5}$$。
利用正弦差公式：
$$\sin θ = \sin\left(φ - \frac{\pi}{6}\right) = \sin φ \cos \frac{\pi}{6} - \cos φ \sin \frac{\pi}{6}$$
代入已知值：
$$\sin θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 3}{10}$$
答案为：$$\boxed{A}$$
3. 已知$$\sin α + \sin β = \frac{4}{5}$$，$$\cos α + \cos β = \frac{3}{5}$$。
平方并相加：
$$(\sin α + \sin β)^2 + (\cos α + \cos β)^2 = \sin^2 α + \sin^2 β + 2\sin α \sin β + \cos^2 α + \cos^2 β + 2\cos α \cos β$$
利用$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$化简：
$$2 + 2(\sin α \sin β + \cos α \cos β) = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$$
因此：
$$2 + 2\cos(α - β) = 1 \Rightarrow \cos(α - β) = -\frac{1}{2}$$
答案为：$$\boxed{D}$$
5. 已知$$θ$$为第二象限角，且$$\cos \frac{θ}{2} = -\frac{1}{2}$$。
由$$\cos \frac{θ}{2} = -\frac{1}{2}$$，可得$$\frac{θ}{2} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$或$$\frac{4\pi}{3} + 2k\pi$$。
因为$$θ$$在第二象限，即$$\frac{\pi}{2} < θ < \pi$$，所以$$\frac{θ}{2} = \frac{2\pi}{3}$$（舍去$$\frac{4\pi}{3}$$因为会导致$$θ$$超出范围）。
因此$$θ = \frac{4\pi}{3}$$，但此时$$θ$$在第三象限，与题目矛盾。重新分析：
实际上，$$\cos \frac{θ}{2} = -\frac{1}{2}$$在第二象限时，$$\frac{θ}{2}$$应在$$\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，即$$\frac{θ}{2} = \frac{2\pi}{3}$$，因此$$θ = \frac{4\pi}{3}$$（第三象限），但题目说$$θ$$为第二象限角，可能存在矛盾。
另一种可能是题目描述有误，假设$$\frac{θ}{2}$$在第二象限，即$$\frac{\pi}{2} < \frac{θ}{2} < \pi$$，则$$θ$$在$$\pi < θ < 2\pi$$，与题目矛盾。
可能题目应为$$θ$$为第三象限角，此时$$\frac{θ}{2}$$在第二象限，符合$$\cos \frac{θ}{2} = -\frac{1}{2}$$。
继续计算表达式：
$$\frac{\sqrt{1 - \sin θ}}{\cos \frac{θ}{2} - \sin \frac{θ}{2}} = \frac{\sqrt{(\cos \frac{θ}{2} - \sin \frac{θ}{2})^2}}{\cos \frac{θ}{2} - \sin \frac{θ}{2}} = \frac{|\cos \frac{θ}{2} - \sin \frac{θ}{2}|}{\cos \frac{θ}{2} - \sin \frac{θ}{2}}$$
因为$$\frac{θ}{2}$$在第二象限，$$\cos \frac{θ}{2} < 0$$，$$\sin \frac{θ}{2} > 0$$，所以$$\cos \frac{θ}{2} - \sin \frac{θ}{2} < 0$$。
因此分子为$$-(\cos \frac{θ}{2} - \sin \frac{θ}{2})$$，结果为$$-1$$。
答案为：$$\boxed{A}$$
6. 已知$$\frac{\sin α}{1 + \cos α} = -\frac{2}{3}$$。
利用恒等式$$\frac{\sin α}{1 - \cos α} = \frac{1 + \cos α}{\sin α}$$，因此：
$$\frac{\sin α}{1 - \cos α} = \left(\frac{\sin α}{1 + \cos α}\right)^{-1} = -\frac{3}{2}$$
答案为：$$\boxed{D}$$
7. 已知$$α, β$$为锐角，且$$\sin α = \frac{1}{3}$$，$$\cos(β - α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。
首先计算$$\cos α = \sqrt{1 - \sin^2 α} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
设$$γ = β - α$$，则$$\cos γ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，$$\sin γ = \sqrt{1 - \cos^2 γ} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
要求$$\sin(β - 2α) = \sin(γ - α) = \sin γ \cos α - \cos γ \sin α$$。
代入已知值：
$$\sin(β - 2α) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
答案为：$$\boxed{B}$$
8. 已知$$\sin α = \frac{1}{3}$$，求$$\cos^2\left(\frac{α}{2} + \frac{\π}{4}\right)$$。
利用余弦平方公式：
$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$
设$$x = \frac{α}{2} + \frac{\π}{4}$$，则：
$$\cos^2\left(\frac{α}{2} + \frac{\π}{4}\right) = \frac{1 + \cos\left(α + \frac{\π}{2}\right)}{2} = \frac{1 - \sin α}{2}$$
代入$$\sin α = \frac{1}{3}$$：
$$\frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$$
答案为：$$\boxed{C}$$
10. 已知$$\cos\left(\frac{\π}{3} - α\right) = \frac{3}{5}$$，求$$\sin\left(α + \frac{\π}{6}\right)$$。
设$$θ = \frac{\π}{3} - α$$，则$$\cos θ = \frac{3}{5}$$。
因此$$\sin\left(α + \frac{\π}{6}\right) = \sin\left(\frac{\π}{2} - θ\right) = \cos θ = \frac{3}{5}$$。
答案为：$$\boxed{D}$$