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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x \cdot\operatorname{c o s} \varphi+\operatorname{s i n} 2 x \cdot\operatorname{s i n} \varphi\left( | \varphi| < \frac{\pi} {2} \right)$$在$$x=\frac{\pi} {3}$$处取得最小值，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个单调递减区间为（）
D
A.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{4 \pi} {3} ]$$
B.$$[-\frac{2 \pi} {3}， \frac{\pi} {3} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{5 \pi} {6} ]$$
D.$$[-\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} ]$$
2、['两角和与差的余弦公式']正确率60.0%$${{c}{o}{s}{{2}{0}^{∘}}{{c}{o}{s}}{{1}{0}^{∘}}{−}{{s}{i}{n}}{{1}{0}^{∘}}{{s}{i}{n}}{{2}{0}^{∘}}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
3、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '特殊角的三角函数值'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率19.999999999999996%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1 0}=0$$，公差$${{d}{∈}{{(}{−}{2}{，}{0}{)}}}$$，若$${{c}{o}{s}^{2}{{a}_{4}}{−}{{c}{o}{s}^{2}}{{a}_{4}}{{s}{i}{n}^{2}}{{a}_{7}}{+}{{s}{i}{n}^{2}}{{a}_{4}}{{c}{o}{s}^{2}}{{a}_{7}}{−}{{s}{i}{n}^{2}}{{a}_{4}}{=}{−}{{c}{o}{s}}{{(}{{a}_{5}}{+}{{a}_{6}}{)}}{，}{{c}{o}{s}}{(}{{a}_{5}}{+}{{a}_{6}}{)}{≠}{0}}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$的最大值为
D
A.$${{π}}$$
B.$${{5}{π}}$$
C.$${{1}{0}{π}}$$
D.$${{1}{5}{π}}$$
4、['函数图象的平移变换'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%将函数$${{y}{=}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{2}{x}{−}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位长度，所得图象对应的函数为$${{g}{(}{x}{)}}$$，则$${{g}{(}{x}{)}{=}{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$
B.$${{−}{2}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$
C.$$2 \operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{\pi} {6} )$$
D.$$2 \operatorname{s i n} ( 2 x-\frac{\pi} {6} )$$
5、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '两角和与差的余弦公式'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} ( x+\frac{\pi} {6} )$$在区间$$[ 0， \frac{\pi} {3} ]$$上$${{f}{(}{x}{)}{⩽}{a}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的最小值是（）
D
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
6、['两角和与差的余弦公式']正确率60.0%计算$${{c}{o}{s}{{7}{5}^{∘}}{{c}{o}{s}}{{7}{5}^{∘}}{+}{{s}{i}{n}}{{7}{5}^{∘}}{{s}{i}{n}}{{7}{5}^{∘}}}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
7、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )=\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}，$$则$${{s}{i}{n}{2}{α}}$$的值是
D
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$- \frac{2} {5}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
8、['向量坐标与向量的数量积'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{=}{{(}{{c}{o}{s}{{7}{4}^{∘}}{，}{{s}{i}{n}}{{1}{4}^{∘}}}{)}}{，}}$$$${{b}^{→}{=}{{(}{{c}{o}{s}{{1}{4}^{∘}}{，}{{s}{i}{n}}{{7}{4}^{∘}}}{)}}}$$，则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}}$$（）
B
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{1}}$$
9、['两角和与差的余弦公式']正确率60.0%已知$${{c}{o}{s}{{1}{5}^{∘}}{{c}{o}{s}}{{7}{5}^{∘}}{+}{{s}{i}{n}}{{1}{5}^{∘}}{{s}{i}{n}}{{7}{5}^{∘}}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${_{1}}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
10、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若$$\frac{\mathrm{c o s} 2 \alpha} {\mathrm{c o s} ( \frac{\pi} {4}+\alpha)}=\frac{1} {2}$$，则$${{c}{o}{s}{α}{+}{{s}{i}{n}}{α}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
1. 首先化简函数 $$f(x) = \cos 2x \cos \varphi + \sin 2x \sin \varphi$$，利用余弦差公式可得 $$f(x) = \cos(2x - \varphi)$$。由于函数在 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 处取得最小值，即 $$\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{3} - \varphi\right) = -1$$，解得 $$\varphi = \frac{2\pi}{3} + k\pi$$。根据 $$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$$，取 $$\varphi = -\frac{\pi}{3}$$。因此，$$f(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$。求单调递减区间，解不等式 $$2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \pi$$，得 $$k\pi - \frac{\pi}{6} \leq x \leq k\pi + \frac{\pi}{3}$$。当 $$k = 0$$ 时，区间为 $$\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$$，对应选项 D。
2. 利用余弦加法公式，$$\cos 20^\circ \cos 10^\circ - \sin 10^\circ \sin 20^\circ = \cos(20^\circ + 10^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，对应选项 C。
3. 设等差数列通项为 $$a_n = a_1 + (n-1)d$$，由 $$a_{10} = 0$$ 得 $$a_1 = -9d$$。将 $$a_4 = -6d$$，$$a_7 = -3d$$，$$a_5 + a_6 = -7d$$ 代入方程，化简后得到 $$\cos(7d) = -1$$，解得 $$d = -\frac{\pi}{7}$$。因此，$$a_n = \frac{9\pi}{7} - \frac{\pi}{7}(n-1)$$。求前 $$n$$ 项和 $$S_n$$ 的最大值，当 $$n = 5$$ 时，$$S_5 = 5\pi$$，对应选项 B。
4. 将函数 $$y = \sqrt{3}\cos 2x - \sin 2x$$ 化为 $$y = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$。向右平移 $$\frac{\pi}{3}$$ 后，得到 $$g(x) = 2\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = 2\sin 2x$$，对应选项 A。
5. 函数 $$f(x) = \sin x - \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$ 展开后为 $$f(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{3}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$$。进一步化为 $$f(x) = \sqrt{3}\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$。在区间 $$[0, \frac{\pi}{3}]$$ 上，$$f(x)$$ 的最大值为 $$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，因此 $$a$$ 的最小值为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$，对应选项 D。
6. 表达式 $$\cos 75^\circ \cos 75^\circ + \sin 75^\circ \sin 75^\circ = \cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ = 1$$，对应选项 B。
7. 已知 $$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，利用余弦平方公式得 $$\sin^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{9}{10}$$。因此，$$\sin 2\alpha = \cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = 2\cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 2 \cdot \frac{10}{100} - 1 = -\frac{4}{5}$$，对应选项 A。
8. 向量点积 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos 74^\circ \cos 14^\circ + \sin 14^\circ \sin 74^\circ = \cos(74^\circ - 14^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$，对应选项 B。
9. 表达式 $$\cos 15^\circ \cos 75^\circ + \sin 15^\circ \sin 75^\circ = \cos(75^\circ - 15^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$，对应选项 B。
10. 将 $$\frac{\cos 2\alpha}{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} = \frac{1}{2}$$ 化简，利用 $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$$ 和 $$\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\sqrt{2}}$$，得到 $$\cos \alpha + \sin \alpha = \frac{1}{2}$$，对应选项 A。