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正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \alpha+6 0^{\circ} )=\frac{4} {5}， ~ 3 0^{\circ} < ~ \alpha< 1 2 0^{\circ}，$$则$$\operatorname{c o s} \alpha=$$（）
A
A.$$\frac{4 \sqrt{3}-3} {1 0}$$
B.$$- \frac{4 \sqrt{3}+3} {1 0}$$
C.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$
D.$$- \frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$
2、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '角的代换']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \! \left( \alpha-\frac{\pi} {3} \right)+\sqrt{3} \operatorname{c o s} \alpha=\frac1 3$$，则$$\operatorname{s i n} \Bigl( 2 \alpha+\frac{\pi} {6} \Bigr)=$$（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{1} {9}$$
D.$$- \frac{7} {9}$$
3、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率40.0%已知$$\alpha， \， \， \， \beta\in\left( 0， \， \， \， \frac{\pi} {2} \right)，$$$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{\sqrt{3}} {2}，$$$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\beta)=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} \beta=$$（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}+2 \sqrt{2}} {6}$$
D.$$\frac{1+2 \sqrt{6}} {6}$$
4、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率40.0%若$$0 < \alpha< \frac{\pi} {2}， 0 < \beta< \frac{\pi} {2}，$$$$\operatorname{s i n} \Big( \frac{\pi} {3}-\frac{\alpha} {2} \Big)=\frac{\sqrt{5}} {5}，$$$$\operatorname{c o s} \left( \frac\beta2-\frac\pi3 \right)=\frac4 5，$$则$$\operatorname{c o s} \frac{\alpha-\beta} {2}$$的值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{1 1 \sqrt{5}} {2 5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{7 \sqrt{5}} {2 5}$$
5、['两角和与差的正切公式'， '角的代换']正确率60.0%设$${{α}{，}{β}}$$满足$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{3 \pi} {4} \right)=3， \， \， \operatorname{t a n} \left( \beta+\frac{\pi} {4} \right)=2.$$则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=$$（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {7}$$
D.$${{1}}$$
6、['两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系'， '角的代换']正确率40.0%已知$${{α}}$$为钝角，且$$\operatorname{c o s} ( \alpha-\frac{\pi} {6} )=-\frac{3} {5}，$$则$${{c}{o}{s}{α}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{3-4 \sqrt{3}} {1 0}$$
B.$$- \frac{3+4 \sqrt{3}} {1 0}$$
C.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$
D.$$- \frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$
7、['两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '角的代换']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} ( \alpha+2 \beta)=3$$，$$\operatorname{t a n} ( \alpha-\beta)=2$$，则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+5 \beta)=$$（）
B
A.$$\frac{1 1} {5}$$
B.$$\frac{1 1} {2}$$
C.$$\frac{2} {1 1}$$
D.$$\frac{5} {1 1}$$
8、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的余弦公式'， '角的代换']正确率60.0%$${{R}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$三角形的外接圆半径，若$$a b < 4 R^{2} \operatorname{c o s} A \operatorname{c o s} B$$，则$${{∠}{C}}$$为$${{(}{)}}$$
C
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.无法判断
9、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '特殊角的三角函数值'， '角的代换']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{=}{{3}{0}^{∘}}}$$，则$$\sqrt3 \operatorname{s i n} A-\operatorname{c o s} ( B+C )$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{2}}$$
10、['三角函数值在各象限的符号'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '角的代换']正确率40.0%设$$\alpha， \ \beta\in\ ( 0， \ \pi) \， \ \ \sin\ ( \， \alpha+\beta) \ =\frac{5} {1 3}， \ \ \tan\alpha=\frac{4} {3}，$$则$${{c}{o}{s}{β}}$$的值是（）
A
A.$$- \frac{1 6} {6 5}$$
B.$$\frac{5 6} {6 5}$$
C.$$- \frac{1 6} {6 5} \div\frac{5 6} {6 5}$$
D.$$\frac{1 6} {6 5} x^{\ddag}-\frac{5 6} {6 5}$$
1. 已知 $$\sin (\alpha + 60^\circ) = \frac{4}{5}$$，$$30^\circ < \alpha < 120^\circ$$，求 $$\cos \alpha$$。
设 $$\theta = \alpha + 60^\circ$$，则 $$\sin \theta = \frac{4}{5}$$，$$\theta \in (90^\circ, 180^\circ)$$，$$\cos \theta = -\frac{3}{5}$$。
$$\cos \alpha = \cos (\theta - 60^\circ) = \cos \theta \cos 60^\circ + \sin \theta \sin 60^\circ = -\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-3 + 4\sqrt{3}}{10}$$。
答案：A
2. 已知 $$\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{1}{3}$$，求 $$\sin \left( 2\alpha + \frac{\pi}{6} \right)$$。
展开：$$\sin \alpha \cos \frac{\pi}{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{3} + \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{3}$$。
$$\sin \left( 2\alpha + \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( 2\left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) - \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \left( 2\left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) \right) = -\left( 1 - 2 \sin^2 \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) \right) = -\left( 1 - 2 \times \frac{1}{9} \right) = -\frac{7}{9}$$。
答案：D
3. 已知 $$\alpha, \beta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$，$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\cos (\alpha + \beta) = \frac{1}{3}$$，求 $$\cos \beta$$。
$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{1}{2}$$。
$$\sin (\alpha + \beta) = \sqrt{1 - \cos^2 (\alpha + \beta)} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
$$\cos \beta = \cos \left( (\alpha + \beta) - \alpha \right) = \cos (\alpha + \beta) \cos \alpha + \sin (\alpha + \beta) \sin \alpha = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{6}$$。
答案：C
4. 已知 $$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$，$$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$$，$$\sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\cos \left( \frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{4}{5}$$，求 $$\cos \frac{\alpha - \beta}{2}$$。
设 $$x = \frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{2}$$，$$y = \frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{3}$$，则 $$\sin x = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\cos y = \frac{4}{5}$$。
$$\cos x = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin y = \frac{3}{5}$$。
$$\frac{\alpha - \beta}{2} = \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - \left( y + \frac{\pi}{3} \right) = -x - y$$。
$$\cos \frac{\alpha - \beta}{2} = \cos (-x - y) = \cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{8\sqrt{5} - 3\sqrt{5}}{25} = \frac{5\sqrt{5}}{25} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
答案：A
5. 已知 $$\tan \left( \alpha + \frac{3\pi}{4} \right) = 3$$，$$\tan \left( \beta + \frac{\pi}{4} \right) = 2$$，求 $$\tan (\alpha + \beta)$$。
设 $$u = \alpha + \frac{3\pi}{4}$$，$$v = \beta + \frac{\pi}{4}$$，则 $$\tan u = 3$$，$$\tan v = 2$$。
$$\alpha + \beta = u + v - \pi$$，$$\tan (\alpha + \beta) = \tan (u + v - \pi) = \tan (u + v)$$。
$$\tan (u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v} = \frac{3 + 2}{1 - 3 \times 2} = \frac{5}{-5} = -1$$。
答案：A
6. 已知 $$\alpha$$ 为钝角，$$\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{3}{5}$$，求 $$\cos \alpha$$。
$$\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{1 - \cos^2 \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{4}{5}$$。
$$\cos \alpha = \cos \left( \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) + \frac{\pi}{6} \right) = \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) \cos \frac{\pi}{6} - \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) \sin \frac{\pi}{6} = -\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{-3\sqrt{3} - 4}{10}$$。
答案：B
7. 已知 $$\tan (\alpha + 2\beta) = 3$$，$$\tan (\alpha - \beta) = 2$$，求 $$\tan (\alpha + 5\beta)$$。
$$\alpha + 5\beta = (\alpha + 2\beta) + 3\beta$$，但直接计算较繁。
设 $$x = \alpha + 2\beta$$，$$y = \alpha - \beta$$，则 $$\tan x = 3$$，$$\tan y = 2$$。
$$\alpha = \frac{x + 2y}{3}$$，$$\beta = \frac{x - y}{3}$$。
$$\alpha + 5\beta = \frac{x + 2y}{3} + 5 \times \frac{x - y}{3} = \frac{6x - 3y}{3} = 2x - y$$。
$$\tan (\alpha + 5\beta) = \tan (2x - y) = \frac{\tan 2x - \tan y}{1 + \tan 2x \tan y}$$。
$$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{6}{1 - 9} = -\frac{3}{4}$$。
$$\tan (2x - y) = \frac{-\frac{3}{4} - 2}{1 + (-\frac{3}{4}) \times 2} = \frac{-\frac{11}{4}}{1 - \frac{3}{2}} = \frac{-\frac{11}{4}}{-\frac{1}{2}} = \frac{11}{2}$$。
答案：B
8. 在 $$\triangle ABC$$ 中，$$R$$ 为外接圆半径，若 $$ab < 4R^2 \cos A \cos B$$，判断 $$\angle C$$。
由正弦定理：$$a = 2R \sin A$$，$$b = 2R \sin B$$。
代入：$$4R^2 \sin A \sin B < 4R^2 \cos A \cos B$$，即 $$\sin A \sin B < \cos A \cos B$$。
$$\cos A \cos B - \sin A \sin B > 0$$，即 $$\cos (A + B) > 0$$。
$$A + B = \pi - C$$，$$\cos (\pi - C) = -\cos C > 0$$，即 $$\cos C < 0$$，故 $$\angle C$$ 为钝角。
答案：C
9. 在 $$\triangle ABC$$ 中，$$A = 30^\circ$$，求 $$\sqrt{3} \sin A - \cos (B + C)$$。
$$B + C = \pi - A = 150^\circ$$，$$\cos (B + C) = \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
$$\sin A = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$。
$$\sqrt{3} \times \frac{1}{2} - \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$。
答案：B
10. 已知 $$\alpha, \beta \in (0, \pi)$$，$$\sin (\alpha + \beta) = \frac{5}{13}$$，$$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$，求 $$\cos \beta$$。
由 $$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$，$$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$，$$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$。
$$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cos \beta + \frac{3}{5} \sin \beta = \frac{5}{13}$$。
又 $$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$。
设 $$x = \cos \beta$$，$$y = \sin \beta$$，则 $$\frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y = \frac{5}{13}$$，$$x^2 + y^2 = 1$$。
解得 $$x = \cos \beta = -\frac{16}{65}$$ 或 $$\frac{56}{65}$$，但 $$\beta \in (0, \pi)$$，需结合 $$\sin (\alpha + \beta) = \frac{5}{13} > 0$$ 判断。
若 $$\cos \beta = \frac{56}{65}$$，则 $$\sin \beta = \frac{33}{65}$$，$$\sin (\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \times \frac{56}{65} + \frac{3}{5} \times \frac{33}{65} = \frac{224 + 99}{325} = \frac{323}{325} \neq \frac{5}{13}$$，矛盾。
故 $$\cos \beta = -\frac{16}{65}$$。
答案：A