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正确率40.0%若$$\operatorname{t a n} \left( \alpha+\frac{\pi} {4} \right)=-3，$$则$$\operatorname{s i n} 2 \alpha-\operatorname{c o s}^{2} \alpha=$$（）
A
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$- \frac{2} {5}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{3}}$$
2、['两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%下列四个式子中是恒等式的是（）
D
A.$$\operatorname{s i n} ~ ( \alpha+\beta) ~=\operatorname{s i n} \alpha+\operatorname{s i n} \beta$$
B.$$\operatorname{c o s} ~ ( \alpha+\beta) ~=\operatorname{c o s} \alpha\operatorname{c o s} \beta+\operatorname{s i n} \beta\operatorname{s i n} \beta$$
C.$$\operatorname{t a n} ~ ( \alpha+\beta) ~=\frac{\operatorname{t a n} \alpha-\operatorname{t a n} \beta} {1-\operatorname{t a n} \alpha\operatorname{t a n} \beta}$$
D.$$\sin\ ( \alpha+\beta) \ \sin\ ( \alpha-\beta) \ =\sin^{2} \alpha-\sin^{2} \beta$$
3、['两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%$$\frac{\operatorname{t a n} 1 0^{\circ}+\operatorname{t a n} 3 5^{\circ}} {1-\operatorname{t a n} 1 0^{\circ} \operatorname{t a n} 3 5^{\circ}}=$$
B
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
4、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%$$\operatorname{t a n} {\frac{\pi} {9}}-4 \operatorname{s i n} {\frac{1 0 \pi} {9}}=\c{(}$$）
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
5、['同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知
且$$\operatorname{t a n} \alpha-1=\frac{2 \operatorname{c o s} \beta} {\operatorname{s i n} \beta-\operatorname{c o s} \beta}，$$则$$\alpha+\beta=~ ($$）
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
6、['给值求值'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=2 \sqrt{3}$$，则 （）
D
A.$$\mathrm{t a n} \alpha=\frac{\sqrt{3}} {1 3}$$
B.$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{3 \sqrt{3}} {7}$$
C.$$\operatorname{t a n} 2 \alpha=\frac{2 3 \sqrt{3}} 7$$
D.$$\operatorname{t a n} 2 \alpha=\frac{7 \sqrt{3}} {2 3}$$
7、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点为坐标原点，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，将角$${{α}}$$的终边逆时针旋转$$\frac{\pi} {4}$$后过点$$( \frac{\sqrt{5}} {5}， \ \frac{2 \sqrt{5}} {5} )$$，则
）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
8、['用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点在坐标原点$${{O}}$$，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，将$${{α}}$$的终边按顺时针方向旋转$$\frac{\pi} {4}$$后经过点$$( 3， 4 )$$，则$$\operatorname{s i n} \， 2 \alpha=$$（）
B
A.$$- \frac{1 2} {2 5}$$
B.$$- \frac{7} {2 5}$$
C.$$\frac{7} {2 5}$$
D.$$\frac{2 4} {2 5}$$
9、['一元二次方程根与系数的关系'， '判断三角形的形状'， '两角和与差的正切公式'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=p x^{2}+q x+r ( p \neq0， p < r )$$，满足$$f ( 0 ) < 0$$且$$f (-\frac{q} {2 p} ) > 0$$，设$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的三个内角分别为$$A. \， \， B. \， \， C， \， \， \， \operatorname{t a n} A. \， \， \， \operatorname{t a n} B$$为函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的两个零点，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$一定是（）
C
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
10、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$\operatorname{t a n} 2 5 5^{\circ}=$$（）
D
A.$${{−}{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{−}{2}{+}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$
1. 解析：
已知 $$tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = -3$$，利用加法公式展开：
$$\frac{tan\alpha + 1}{1 - tan\alpha \cdot 1} = -3$$
解得 $$tan\alpha = 2$$。
计算 $$sin2\alpha - cos^2\alpha$$：
$$sin2\alpha = \frac{2tan\alpha}{1 + tan^2\alpha} = \frac{4}{5}$$
$$cos^2\alpha = \frac{1}{1 + tan^2\alpha} = \frac{1}{5}$$
因此 $$sin2\alpha - cos^2\alpha = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$$，选 A。
2. 解析：
逐一验证选项：
A. 不成立，例如 $$\alpha = \beta = \frac{\pi}{2}$$ 时不等。
B. 错误，正确公式应为 $$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$$。
C. 错误，正确公式应为 $$tan(\alpha + \beta) = \frac{tan\alpha + tan\beta}{1 - tan\alpha tan\beta}$$。
D. 正确，展开后验证：
$$sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta) = (sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta)(sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta) = sin^2\alpha cos^2\beta - cos^2\alpha sin^2\beta = sin^2\alpha(1 - sin^2\beta) - (1 - sin^2\alpha)sin^2\beta = sin^2\alpha - sin^2\beta$$
选 D。
3. 解析：
分子分母形式符合 $$tan(A+B)$$ 公式：
$$\frac{tan10° + tan35°}{1 - tan10°tan35°} = tan(10° + 35°) = tan45° = 1$$
选 B。
4. 解析：
化简表达式：
$$tan\frac{\pi}{9} - 4sin\frac{10\pi}{9} = tan20° - 4sin200°$$
利用 $$sin200° = -sin20°$$：
$$= tan20° + 4sin20° = \frac{sin20° + 4sin20°cos20°}{cos20°} = \frac{sin20° + 2sin40°}{cos20°}$$
进一步化简得 $$\sqrt{3}$$，选 C。
5. 解析：
将给定等式变形：
$$tan\alpha - 1 = \frac{2cos\beta}{sin\beta - cos\beta}$$
右边分子分母同除以 $$cos\beta$$：
$$tan\alpha - 1 = \frac{2}{tan\beta - 1}$$
设 $$tan\alpha = x$$，$$tan\beta = y$$，则：
$$x - 1 = \frac{2}{y - 1}$$
整理得 $$(x - 1)(y - 1) = 2$$
展开后利用 $$tan(\alpha + \beta) = \frac{x + y}{1 - xy}$$ 计算得 1，故 $$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$$，选 A。
6. 解析：
由 $$tan\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = 2\sqrt{3}$$，展开得：
$$\frac{tan\alpha + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}tan\alpha} = 2\sqrt{3}$$
解得 $$tan\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{7}$$，验证 B 正确。
计算 $$tan2\alpha = \frac{2tan\alpha}{1 - tan^2\alpha} = \frac{7\sqrt{3}}{23}$$，D 也正确。
但题目要求单选，最直接的是 B。
7. 解析：
旋转后的角度为 $$\alpha + \frac{\pi}{4}$$，由点坐标得：
$$cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
利用半角公式计算 $$cos\alpha$$：
$$cos\alpha = cos\left[\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4}\right] = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$
因此 $$cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1 = \frac{4}{5}$$
所求表达式为 $$\frac{1}{2}cos2\alpha = \frac{2}{5}$$，但选项无此答案，检查计算可能有误。
重新推导得 $$sin\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，$$sin2\alpha = \frac{3}{5}$$，表达式为 $$\frac{1 + sin2\alpha}{cos2\alpha} = 2$$，选 D。
8. 解析：
旋转后的角度为 $$\alpha - \frac{\pi}{4}$$，由点坐标得：
$$cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{5}$$，$$sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{4}{5}$$
利用角度关系展开 $$sin2\alpha$$：
$$sin2\alpha = sin\left[2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{2}\right] = cos\left[2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\right] = 1 - 2sin^2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{7}{25}$$
选 B。
9. 解析：
由题意，$$f(x)$$ 为开口向下的抛物线，且 $$f(0) = r < 0$$，$$f\left(-\frac{q}{2p}\right) > 0$$，说明有两个实数根 $$tanA$$ 和 $$tanB$$。
由 $$p < r$$ 和 $$f(0) = r < 0$$，可得两根异号。设 $$tanA > 0$$，$$tanB < 0$$。
在三角形中，$$tanC = -tan(A+B) = -\frac{tanA + tanB}{1 - tanAtanB}$$，由于 $$tanA + tanB = -\frac{q}{p}$$，$$tanAtanB = \frac{r}{p}$$，代入得 $$tanC > 0$$。
因此三角形为钝角三角形，选 C。
10. 解析：
$$255° = 270° - 15°$$，利用诱导公式：
$$tan255° = tan(270° - 15°) = cot15° = \frac{1}{tan15°}$$
计算 $$tan15° = 2 - \sqrt{3}$$，因此 $$tan255° = 2 + \sqrt{3}$$，选 D。