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正确率40.0%已知在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{s i n} \frac{C} {2}=\frac{2 \sqrt{5}} {5}， \ B C=1， \ A C=5$$，则$${{A}{B}{=}{（}}$$）
A
A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${\sqrt {{3}{0}}}$$
C.$${\sqrt {{2}{9}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
2、['利用诱导公式求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {3}-\frac{\alpha} {2} )=-\frac{\sqrt{3}} {2}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {3}+\alpha)=\alpha$$）
C
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
3、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%$$\operatorname{s i n} 2 \alpha={\frac{2 4} {2 5}}， ~ 0 < \alpha< {\frac{\pi} {2}}，$$则$$\sqrt{2} \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {4}-\alpha)$$的值为（）
D
A.$$- \frac{1} {5}$$
B.$$\frac{1} {5}$$
C.$$- \frac{7} {5}$$
D.$$\frac{7} {5}$$
4、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{3} {4}，$$则$$\operatorname{s i n} 2 \alpha=~ ($$）
D
A.$$- \frac{1 2} {2 5}$$
B.$$\frac{1 2} {2 5}$$
C.$$- \frac{2 4} {2 5}$$
D.$$\frac{2 4} {2 5}$$
5、['利用诱导公式化简'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%函数$$y=2 \operatorname{s i n} ( x-\frac{3 \pi} {2} ) \operatorname{c o s} ( x-\frac{3 \pi} {2} )$$是（）
B
A.周期为$${{2}{π}}$$的奇函数
B.周期为$${{π}}$$的奇函数
C.周期为$${{π}}$$的偶函数
D.周期为$${{π}}$$的非奇非偶函数
6、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$2 \operatorname{c o s}^{2} \frac{A} {2}=\frac{b} {c}+1 \operatorname{c} a， \ b， \operatorname{c}$$分别为角$$A， ~ B， ~ C$$的对边），则$${{△}{A}{B}{C}}$$为（）
B
A.等边三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
7、['扇形弧长公式'， '余弦定理及其应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%如图，圆心角$$\angle A O B=1$$弧度，$${{A}{B}{=}{2}}$$，则$${{∠}{A}{O}{B}}$$对的弧长为（）
A
A.$$\frac{1} {\operatorname{s i n} 0. 5}$$
B.$${{s}{i}{n}{{0}{.}{5}}}$$
C.$${{2}{{s}{i}{n}}{1}}$$
D.$$\frac{1} {\operatorname{c o s} 0. 5}$$
8、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%已知锐角$${{θ}}$$的终边经过点$$P ( m， \sqrt{3} )$$且$$\operatorname{c o s} \theta=\frac{m} {2}$$，将函数，$$f ( x )=1+2 s ~ \mathrm{I} n x \operatorname{c o s} x$$的图象向右平移$${{θ}}$$个单位后得到函数$$y=g ( x )$$的图象，则$$y=g ( x )$$的图象的一个对称中心为
C
A.$$( \frac{\pi} {3}， 0 )$$
B.$$( \frac{\pi} {6}， 0 )$$
C.$$( \frac{\pi} {3}， 1 )$$
D.$$( \frac{\pi} {6}， 1 )$$
9、['两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若$$\frac{\mathrm{c o s} 2 \alpha} {\mathrm{c o s} ( \frac{\pi} {4}+\alpha)}=\frac{1} {2}$$，则$$\mathrm{c o s} \alpha+\mathrm{s i n} \alpha=\mathit{(}$$）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
10、['函数奇、偶性的图象特征'， '函数图象的识别'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '函数单调性的判断']正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的大致图象如图所示，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式可以是
D
A.$$f ( x )=x^{2} \operatorname{l n} | x |$$
B.$$f ( x )=( x-\frac{1} {x} ) [ \operatorname{s i n}^{2} ( \frac{\pi} {4}-x )-\frac{1} {2} ]$$
C.$$f ( x )=( e^{x}-e^{-x} ) \operatorname{c o s} \frac{\pi} {2} x$$
D.$$f ( x )=\frac{x \operatorname{l n} | x |} {| x |}$$
1. 已知在$$△ABC$$中，$$\sin \frac{C}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$BC=1$$，$$AC=5$$，求$$AB$$。
解析：
1. 由半角公式，$$\cos C = 1 - 2\sin^2 \frac{C}{2} = 1 - 2 \times \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$$。
2. 利用余弦定理，$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C = 25 + 1 - 2 \times 5 \times 1 \times \left(-\frac{3}{5}\right) = 26 + 6 = 32$$。
3. 因此，$$AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$。
答案：A.$$4\sqrt{2}$$
2. 已知$$\sin \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，求$$\cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$$。
解析：
1. 设$$\frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{2} = \theta$$，则$$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，解得$$\theta = -\frac{\pi}{3}$$或$$\theta = \frac{4\pi}{3}$$。
2. 取$$\theta = -\frac{\pi}{3}$$，则$$\frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{2} = -\frac{\pi}{3}$$，解得$$\alpha = \frac{4\pi}{3}$$。
3. 代入$$\cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos \left(\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}\right) = \cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$$。
答案：C.$$\frac{1}{2}$$
3. 已知$$\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$$，$$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$，求$$\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$$的值。
解析：
1. 由$$\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$$，得$$\cos 2\alpha = \pm \frac{7}{25}$$，因$$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$，取$$\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$$。
2. 利用和角公式，$$\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos \alpha + \sin \alpha$$。
3. 计算$$(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$$，故$$\cos \alpha + \sin \alpha = \frac{7}{5}$$。
答案：D.$$\frac{7}{5}$$
4. 已知$$\tan \alpha = \frac{3}{4}$$，求$$\sin 2\alpha$$。
解析：
1. 由$$\tan \alpha = \frac{3}{4}$$，设对边为3，邻边为4，斜边为5，故$$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\cos \alpha = \frac{4}{5}$$。
2. $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$。
答案：D.$$\frac{24}{25}$$
5. 函数$$y = 2 \sin \left(x - \frac{3\pi}{2}\right) \cos \left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$$的性质。
解析：
1. 利用二倍角公式，$$y = \sin \left(2x - 3\pi\right) = \sin (2x - \pi) = -\sin 2x$$。
2. 周期为$$\pi$$，且为奇函数。
答案：B.周期为$$\pi$$的奇函数
6. 在$$△ABC$$中，$$2 \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{b}{c} + 1$$，判断三角形的形状。
解析：
1. 利用半角公式，$$2 \cos^2 \frac{A}{2} = 1 + \cos A$$，故$$1 + \cos A = \frac{b}{c} + 1$$，即$$\cos A = \frac{b}{c}$$。
2. 由余弦定理，$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b}{c}$$，化简得$$b^2 + c^2 - a^2 = 2b^2$$，即$$c^2 = a^2 + b^2$$，故为直角三角形。
答案：B.直角三角形
7. 圆心角$$\angle AOB = 1$$弧度，$$AB = 2$$，求弧长。
解析：
1. 设半径为$$r$$，弦长公式$$AB = 2r \sin \frac{\theta}{2}$$，即$$2 = 2r \sin 0.5$$，故$$r = \frac{1}{\sin 0.5}$$。
2. 弧长$$l = r \theta = \frac{1}{\sin 0.5} \times 1 = \frac{1}{\sin 0.5}$$。
答案：A.$$\frac{1}{\sin 0.5}$$
8. 已知锐角$$\theta$$的终边经过点$$P(m, \sqrt{3})$$且$$\cos \theta = \frac{m}{2}$$，求函数$$g(x)$$的对称中心。
解析：
1. 由$$\cos \theta = \frac{m}{2}$$，且$$r = \sqrt{m^2 + 3} = 2$$，解得$$m = 1$$，故$$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
2. 函数$$f(x) = 1 + \sin 2x$$，平移后$$g(x) = 1 + \sin \left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$$。
3. 对称中心满足$$2x - \frac{2\pi}{3} = k\pi$$，取$$k=0$$，得$$x = \frac{\pi}{3}$$，$$g\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1$$。
答案：C.$$(\frac{\pi}{3}, 1)$$
9. 若$$\frac{\cos 2\alpha}{\cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} = \frac{1}{2}$$，求$$\cos \alpha + \sin \alpha$$。
解析：
1. 利用余弦倍角公式，$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$$。
2. 设$$\cos \alpha + \sin \alpha = t$$，则$$\cos 2\alpha = t^2 - 1$$。
3. 代入原式，$$\frac{t^2 - 1}{\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{1}{2}$$，化简得$$t = \frac{1}{2}$$。
答案：A.$$\frac{1}{2}$$
10. 函数$$f(x)$$的解析式。
解析：
1. 观察图像，函数在$$x=0$$附近有奇异性，且整体形状符合选项B的特征。
2. 选项B的函数$$f(x) = \left(x - \frac{1}{x}\right) \left[\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right) - \frac{1}{2}\right]$$，符合图像的振荡和渐近行为。
答案：B.$$f(x) = \left(x - \frac{1}{x}\right) \left[\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right) - \frac{1}{2}\right]$$