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正确率60.0%$$\operatorname{t a n} 4 0^{\circ}+\operatorname{t a n} 8 0^{\circ}-\sqrt{3} \mathrm{t a n} 8 0^{\circ} \operatorname{t a n} 4 0^{\circ}=$$（）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
2、['两角和与差的正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%已知$$\theta\in\left( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right)$$，且$$\operatorname{s i n} \Bigl( \theta+\frac{\pi} {4} \Bigr)=\frac{4} {5}$$，则$$\operatorname{t a n} \theta=$$（）
A
A.$${{7}}$$
B.$$\frac{4} {3}$$
C.$$\frac{1} {7}$$
D.$$\frac{1 2} {5}$$
3、['两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知：$${{α}}$$，$${{β}}$$均为锐角，$${{t}{a}{n}{α}}$$$$= \frac{1} {2}$$，$${{t}{a}{n}{β}}$$$$= \frac{1} {3}$$，则$${{α}{+}{β}}$$$${{=}}$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
5、['两角和与差的正切公式']正确率60.0%$${{t}{a}{n}}$$$$3 6^{\circ}+\operatorname{t a n}$$$$8 4^{\circ}-\sqrt{3} \operatorname{t a n}$$$${{3}{6}^{∘}{{t}{a}{n}}}$$$${{8}{4}^{∘}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
6、['两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{1} {2}， ~ ~ \operatorname{t a n} \frac{\beta} {2}=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{t a n} ~ ( \alpha+\beta) ~=~$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {7}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
7、['两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%$$\operatorname{t a n} 1 0^{\circ}+\operatorname{t a n} 3 5^{\circ}-\operatorname{c o s}^{2} 1 5^{\circ}+\operatorname{s i n}^{2} 1 5^{\circ}+\operatorname{t a n} 1 0^{\circ} \operatorname{t a n} 3 5^{\circ}=( \cdot)$$
A
A.$$1-\frac{\sqrt{3}} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$1+\frac{\sqrt{3}} {2}$$
8、['同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%若$$\operatorname{c o s} 2 \alpha=-\frac{4} {5}， \， \， \， \alpha\in( \frac{\pi} {2}， \pi)，$$则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\frac{\pi} {4} )=( \eta)$$
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
9、['正弦定理及其应用'， '向量的数量积的定义'， '两角和与差的正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%下面能得出$${{Δ}{A}{B}{C}}$$为锐角三角形的是（）
D
A.$$\operatorname{s i n} A+\operatorname{c o s} A=\frac{1} {5}$$
B.$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C} < 0$$
C.$$b=3， c=3 \sqrt{3}， B=3 0^{\circ}$$
D.$$\operatorname{t a n} A+\operatorname{t a n} B+\operatorname{t a n} C > 0$$
10、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right)=2 \operatorname{c o s} ( \pi-\alpha)$$，则$$\operatorname{t a n} \Bigl( \frac{\pi} {4}+\alpha\Bigr)=$$（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
1. 解析：利用正切的和角公式 $$ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $$。设 $$ A = 40^\circ $$，$$ B = 80^\circ $$，则 $$ \tan(120^\circ) = \frac{\tan 40^\circ + \tan 80^\circ}{1 - \tan 40^\circ \tan 80^\circ} $$。因为 $$ \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} $$，整理得 $$ \tan 40^\circ + \tan 80^\circ = -\sqrt{3} + \sqrt{3} \tan 40^\circ \tan 80^\circ $$。因此，原式 $$ \tan 40^\circ + \tan 80^\circ - \sqrt{3} \tan 40^\circ \tan 80^\circ = -\sqrt{3} $$。答案为 D。
2. 解析：由 $$ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{4}{5} $$，利用和角公式展开得 $$ \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{4}{5} $$，即 $$ \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \theta + \cos \theta) = \frac{4}{5} $$，故 $$ \sin \theta + \cos \theta = \frac{8}{5\sqrt{2}} $$。平方后得 $$ 1 + \sin 2\theta = \frac{64}{50} $$，解得 $$ \sin 2\theta = \frac{14}{25} $$。利用 $$ \tan \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} $$ 和 $$ \cos 2\theta = \pm \frac{\sqrt{1 - \sin^2 2\theta}}{1} $$（注意 $$ \theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) $$，$$ \cos 2\theta $$ 为负），最终计算得 $$ \tan \theta = \frac{1}{7} $$。答案为 C。
3. 解析：利用正切的和角公式 $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 $$。因为 $$ \alpha $$ 和 $$ \beta $$ 均为锐角，所以 $$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} $$。答案为 B。
5. 解析：类似第 1 题，利用 $$ \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} $$ 和 $$ 36^\circ + 84^\circ = 120^\circ $$，推导得 $$ \tan 36^\circ + \tan 84^\circ = -\sqrt{3} + \sqrt{3} \tan 36^\circ \tan 84^\circ $$。因此，原式 $$ \tan 36^\circ + \tan 84^\circ - \sqrt{3} \tan 36^\circ \tan 84^\circ = -\sqrt{3} $$。答案为 A。
6. 解析：先计算 $$ \tan \beta $$，利用半角公式 $$ \tan \beta = \frac{2 \tan \frac{\beta}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\beta}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{4} $$。然后利用和角公式 $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = 2 $$。答案为 B。
7. 解析：注意到 $$ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$，因此 $$ -\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$。另外，利用 $$ \tan(45^\circ) = 1 $$ 和 $$ 10^\circ + 35^\circ = 45^\circ $$，推导得 $$ \tan 10^\circ + \tan 35^\circ = 1 - \tan 10^\circ \tan 35^\circ $$。因此，原式 $$ \tan 10^\circ + \tan 35^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} + \tan 10^\circ \tan 35^\circ = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} $$。答案为 A。
8. 解析：由 $$ \cos 2\alpha = -\frac{4}{5} $$，利用 $$ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $$，解得 $$ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10} $$（因为 $$ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) $$）。然后计算 $$ \sin \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} $$，因此 $$ \tan \alpha = -3 $$。利用和角公式 $$ \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha} = \frac{-3 + 1}{1 - (-3)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$。答案为 B。
9. 解析：选项 D 表明 $$ \tan A + \tan B + \tan C > 0 $$。在锐角三角形中，三个角均为锐角，正切值为正，因此和为正值。其他选项无法保证三角形为锐角三角形。答案为 D。
10. 解析：化简方程 $$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = 2 \cos(\pi - \alpha) $$，得 $$ -\sin \alpha = -2 \cos \alpha $$，即 $$ \tan \alpha = 2 $$。利用和角公式 $$ \tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1 + 2}{1 - 2} = -3 $$。答案为 B。